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题型三 解直角三角形的实际应用
1.风能作为一种清洁能源，受到世界各国的重视.图（1）是某规格风力发
电机，其工作发电时，当风轮叶片末端旋转至最高点时，如图（2）所示，
测得∠CAB=60? ；当风轮叶片末端旋转至最低点时，如图（3）所示，
测得∠DAB=33? ．若AB=100.2?m，OE=0.2?m ，则该规格的风力发电
机的风轮叶片长为多少？(结果精确到1?m．参考数据：3≈1.732 ，
sin?33?≈0.545，cos?33?≈0.839，tan?33?≈0.649)
?
图（1）
图（2）
图（3）
【参考答案】过点?O作?OM⊥?AB，垂足为?M，则MB=OE=0.2?m ，
∵AB=100.2?m ，
∴AM=AB?MB=100?m ．
?
图（1）
如图（1），∵∠?CAB=60? ，
∴tan∠CAB=CMAM=3,即CM100≈3 ，
∴CM=1003≈173.2?m ．
?
∴tan∠DAM=DMAM≈0.649，即DM100=0.649 ,
∴DM=64.9?m ．
由题意得，发电机的风轮叶片长为CM?DM2≈54?m ．
?
答：该规格的风力发电机的风轮叶片长约54?m ．
?
图（2）
如图（2），∵∠?DAB=33? ，
?
2.如图,甲、乙两艘货轮同时从A港出发,分别向B,D 两港运送物资,最后到达
A港正东方向的C 港装运新的物资.甲货轮沿A 港的东南方向航行40海里后到
达B港,再沿北偏东60?方向航行一定距离到达C 港.乙货轮沿A港的北偏东
60?方向航行一定距离到达D港,再沿南偏东30? 方向航行一定距离到达C 港.
?
（1）求A,C 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）.
?
在Rt△AEB中，∠?BAE=45? ，?AB=40 ，
∴BE=AE=AB?cos∠BAE=40×22=202 .
在Rt△?EBC中，∠?EBC=60? ，
?
∴CE=BE?tan∠EBC=202×3=206 ，
∴?AC=?AE+?CE=20??2+20??6≈20×1.41+20×2.45=77.2 .
?
答：?A，?C两港之间的距离约为77.2海里.
?
【参考答案】如图，过点?????作?????????⊥?????????，垂足为????? .
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B,D 两港的时间相同）,则哪艘
货轮先到达C 港?请通过计算说明.
(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)
?
【答案】在Rt△EBC中，∠?EBC=60? ，?BE=20??2 ，
∴BC=BEcos∠EBC=20212=402 .
?
甲货轮的航线为?A→?B→?C ，
?AB+?BC=40+40??2≈40+40×1.41=96.4 .
由题易知∠?ADC=90? ，
在Rt△ADC中，∠?DAC=30? ，
?
∴CD=AC?sin∠DAC=(202+206)×12=102+106 ，
AD=AC?cos∠DAC=(202+206)×32=106+302 .
乙货轮的航线为?A→?D→?C ，
?AD+?DC=10??6+30??2+10??2+10??6=20??6+40??2≈20×2.45+40×1.41=105.4 .
∵两艘货轮的速度相同，停靠?B，?D两港的
时间相同，96.4<105.4 ，
∴甲货轮先到达?C 港．
?
3.学完了三角函数知识后，某校“综合与实践”小组的同学决定利用所学知
识测量学校附近一纪念塔的高度，他们设计了下表中的两种测量方案．小
组经实地考察放弃了方案一，采用了方案二．为了减小测量误差，小组在
测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们
的平均值作为测量结果填入表格，测量数据如下表．
课题
测量纪念塔的高度
成员
组长：××× ，组员：××× ，××× ，×××
工具
测倾器，皮尺等
设
计
方
案
方案一
测量示
意图
_________________________________________
说明：AB 表示纪念塔，在马路对面一建
筑物CD的D处测A点的仰角，点B,C 在同
一水平线上．需要测量的数据有CD 的高
度，BC的长度，∠ADE 的度数．
设
计
方
案
方案二
测量示
意图
____________________________________
说明：AB 表示纪念塔，测倾器
CD=EF=1.5?m，在广场上D点处测得A
点的仰角为α ，F点处测得A 点的仰角为
β ，点B，D，F 在同一水平线上.需要测
量的数据有α ，β 的度数，FD 的长度．
实
施
方
案
方案二
的测量
数据
α 的平均值
β 的平均值
FD 长度的平均值
51.4?
45.0?
12.3?m
续表
（1）“综合与实践”小组为什么放弃方案一？你认为原因可能是什么？
（写出一条即可）
【参考答案】答案不唯一.如：方案一中，纪念塔底部不可直接到达，无法
测量?BC 的长度.
?
（2）请你根据他们的测量数据计算纪念塔AB的高度．( 结果保留整数.参
考数据：2≈1.41,sin?51.4?≈0.78,cos?51.4?≈0.62，tan?51.4?≈1.25)
?
【答案】设直线?EC交?AB于点?G ，如图,
?
则?BG=?EF=?CD=1.5 .
设?AG=?x .
在Rt△ACG中，∠?ACG=α=51.4? ，
?
∴CG=AGtan?α≈4AG5=4x5 .
在Rt△AEG中，∠?AEG=β=45.0? ，
∴EG=AGtan?β=AG=x .
∵?EC=?DF=12.3，即?EG??CG=12.3 ，
∴?x?4x5=12.3 ，
∴?x=61.5，即?AG=61.5 ,
∴AB=AG+BG=63(m) .
答：纪念塔?AB的高度为63?m ．
?
4.素材一：某款遮阳篷如图（1）所示，图（2）、图（3）是它的侧面抽象
示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB可绕点C 旋转且长度保持不变，
遮阳篷AB可自由伸缩，篷面始终保持平整.点D在地面l 上，
CA=CB=CD=1.5?m ．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α 的正切值如下表.
?
时刻/时
12
13
14
15
tan?α
5
2.5
1.25
1
（1）如图（2），当∠ACB=90? 时，这天12时在靠点E 左侧位置摆放的
绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离DE ；
?
【参考答案】如图（1），过点?B作?BM⊥?l于点?M，则四边形?BCDM 是矩形.
∵?CB=?CD ，
∴ 四边形?BCDM 是正方形，
∴CD=BM=BC=DM=1.5?m .
在Rt△BEM中，tan∠BEM=BMEM，即5=1.5EM ，
∴EM=0.3?m ，
∴DE=DM?EM=1.5?0.3=1.2(m) .
?
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离?DE为1.2?m ．
?
图（1）
（2）如图（3），旋转摇臂CB，使点B与墙壁的距离为1.2?m ，为使绿萝
在这天12时—14 时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距
离是多少？
?
【答案】如图（2），过点?B作?BF⊥?AD于点?F ，过点?B作?BH⊥?l于点?H，
则四边形?BFDH 是矩形，DH=BF=1.2?m ，
?
∴CF=BC2?BF2=1.52?1.22=0.9(m) ，
∴BH=DF=CD?CF=1.5?0.9=0.6(m) .
由题意可知在12时—14时tan?α 逐渐减小，
∴ 在14时绿萝刚好不被阳光照射到的位置为绿
萝摆放位置与墙壁的最远距离.
?
图（2）
设此时经过点?B的太阳光线与地面的交点为?G，则tan∠BGH=1.25 .
在Rt△BGH中，tan∠BGH=BHGH，即1.25=0.6GH ，
∴GH=0.48?m ，
∴DG=DH?GH=1.2?0.48=0.72(m) .
?
答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72?m ．
?
图（2）
5.图（1）是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围
内才能被识别），其示意图如图（2），摄像头A的仰角、俯角均为15? ，
摄像头高度OA=160?cm，识别的最远水平距离OB=150?cm .
?
图（1）
图（2）
（1）身高208?cm的小杜,头部高度
为26?cm ,他站在离摄像头水平距离
130?cm的点C 处,请问小杜最少需要
下蹲多少厘米才能被识别;
?
图（1）
【参考答案】如图（1）,过点?C作?OB 的垂线分别交仰角、俯角线于点?E,?D,
交水平线于点?F ，
则AF=OC=130?cm,CF=OA=160?cm .
?
在Rt△AEF中，tan∠EAF=EFAF ，
∴EF=AF?tan?15?≈130×0.27=35.1(cm) .
?
∵∠?EAF=∠?DAF，?AF=?AF，∠?AFE=∠?AFD ，
?
∴△AEF≌△ADF(ASA) ，
∴EF=DF=35.1?cm ，
∴CE=160+35.1=195.1(cm) ，
ED=35.1+35.1=70.2(cm) ,
∴ 小杜头顶超出点?E 的高度为
208?195.1=12.9(cm) .
∵26<70.2 ，
∴ 小杜最少需要下蹲12.9?cm 才能被识别.
?
图（1）
（2）身高120?cm的小若,头部高度为15?cm,踮起脚尖可以增高3?cm ,但仍无
法被识别,社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20? ,如图(3),此时小若
能被识别吗？请计算说明.(参考数据:sin?15?≈0.26,cos?15?≈0.97,tan?15?
≈0.27 ,sin?20?≈0.34,cos?20?≈0.94,tan?20?≈0.36)
?
图（3）
图（2）
【答案】如图（2），过点?B作?OB 的垂线分别交仰角、俯角线于点?M，?N，
交水平线于点?P ,则AP=OB=150?cm,BP=OA=160?cm .
?
在Rt△APM中，tan∠MAP=MPAP ，
∴MP=AP?tan?20?≈150×0.36=54(cm) .
?
∵∠?MAP=∠?NAP，?AP=?AP，∠?APM=∠?APN ，
∴△AMP≌△ANP(ASA) ，
∴PN=MP=54?cm ，
?
∴BN=160?54=106(cm) .
∵ 小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3=123(cm) ，
∴ 小若头顶超出点?N 的高度为123?106=17(cm) .
∵17>15 ，
∴ 小若踮起脚尖后能被识别．
?
图（2）

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