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题型五 函数的实际应用
1.从燃油车时代的“市场换技术”，到新能源汽车赛道的突飞猛进，中国在全
球汽车产业的地位不断提高，众多中国车企正积极融入全球产业链，与其
他国家共享绿色发展最新成果．现有一款新能源汽车在充满电后，汽车可
行驶的路程x(km)与剩余电量y(kW?h) 之间满足一次函数关系．该汽车每千
米耗电0.1?kW?h，汽车行驶了100?km时剩余电量40?kW?h ，为保证汽车内
电子系统的正常工作，当电量低于2?kW?h 时，汽车将无法正常行驶．
?
类型1 一次函数的实际应用
【参考答案】设?y与?x之间的函数表达式为?y=?0.1?x+?b ，
将(100,40) 代入，
得?10+?b=40,解得?b=50 ，
∴y(kW?h)与x(km)之间的函数表达式为?y=?0.1?x+50 .
?
（2）该款汽车充满电后最多可以行驶多少千米？
【答案】令?0.1?x+50=2 ，
解得?x=480 ，
∴ 该款汽车充满电后最多可以行驶480?km ．
?
（1）求????(kW?h)与????(km) 之间的函数表达式；
2.【新趋势·跨学科】如图（1）,在测浮力的实验中,将一长方体石块从玻璃
器皿的上方,向下缓慢移动,直到浸入水中,弹簧测力计的示数F拉力(N) 与石块
下降的高度x(cm) 之间的关系如图（2）所示．
?
（1）求AB 所在直线的函数表达式；
?
【参考答案】设?AB 所在直线的函数表达式为?F拉力=kx+?b ，
将(6,4)，(10,2.5) 分别代入，
得&6k+b=4,&10k+b=2.5,解得&k=?38,&b=254,
∴?AB所在直线的函数表达式为?F拉力=?38?x+254 ．
?
（2）当石块下降的高度为8?cm 时，求该石块所受浮力的大小．
(提示:当石块位于水面上方时,F拉力=G重力 ;当石块入水后,F拉力=G重力?F浮力)
?
【答案】在?F拉力=?38?x+254中，令?x=8 ，
得?F拉力=?38×8+254=134 .
∵4?134=34(N)（点拨：分析题图可知石块的重力为4?N ），
∴ 当石块下降的高度为8?cm时，该石块所受浮力为34?N ．
?
3.【新情境】为响应“全民植树增绿,共建美丽中国”的号召,学校组织学生
到郊外参加义务植树活动,并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每
包质量均为50?g ,营养成分表如下.
?
（1）若要从这两种食品中摄入4?600?kJ热量和70?g 蛋白质,应选用A,B两种
食品各多少包?
?
【参考答案】设选用A种食品?x包,B种食品?y 包.
根据题意,得&700x+900y=4?600,&10x+15y=70,
解得&x=4,&y=2.
答:选用A种食品4包,B种食品2包.
?
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这
两种食品共7包,要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90?g ,且热量最低,应如
何选用这两种食品?
?
【答案】设选用A种食品?a包,则选用B种食品(7??a) 包,
根据题意,得10?a+15(7??a)≥90 ，
∴?a≤3 .
设总热量为w?kJ,则?w=700?a+900(7??a)=?200?a+6?300 .
∵?200<0 ,
∴?w随?a 的增大而减小,
∴ 当?a=3时,?w 最小,
∴7??a=7?3=4 .
答:应选用A种食品3包,B种食品4包.
?
4.某市为了科学处理垃圾，新建了A，B两类垃圾处理场共20个，其中A类
垃圾处理厂处理不可回收垃圾，B类垃圾处理厂处理可回收垃圾，已知每
一个A类垃圾处理场日处理量为30吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为
40吨，该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨．
（1）求该市新建的A，B两类垃圾处理场各有多少个.
【参考答案】设新建的A类垃圾处理场有?x个，B类垃圾处理场有?y 个，
根据题意，得&x+y=20,&30x+40y=720, 解得&x=8,&y=12.
答：新建的A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有12个．
?
（2）为了环保要求，不可回收垃圾再次细分为不可回收垃圾和有害垃圾，
致使A类垃圾处理场日处理量减少了5吨，市政府拟将a(a≥3) 个B类垃圾
处理场改建成A类垃圾处理场，请给出两类垃圾处理场日处理垃圾总量最
多的改建方案，最多日处理垃圾总量为多少吨？
?
【答案】若A类垃圾处理场增加?a个，则B类垃圾处理场为(12??a) 个．
设两类垃圾处理场日处理垃圾总量为?w 吨，则
?w=(30?5)×(8+?a)+40×(12??a)
=?15?a+680 .
∵?15<0，∴?w随着?a 的增大而减小．
又∵?a≥3 ，
∴ 当?a=3 时，改建后的两类垃圾处理场日处理垃圾总量最多，
w?max=?15×3+680=635 （吨）．
?
（注：B类垃圾处理厂日处理量40吨，大于A类垃圾处理厂日处理量25吨，
分析得?a越小越好，得?a=3 也可）
答：将3个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，两类垃圾处理场日处理
垃圾总量最多，为635吨．
?
5.共享电动车是一种新理念下的交通工具.现有A,B两种品牌的共享电动车,
收费与骑行时间之间的函数关系如图所示,其中A品牌收费y1（元）,B品牌
收费y2 （元）.根据以上信息,解答下列问题:
?
（1）A品牌每分钟收费____元.
0.2
（2）求B品牌收费的函数表达式,并描述
B品牌的收费方案.
【参考答案】由图象可知，当0当?x>10时，设?y2=?kx+?b ，
把(10,3)和(20,4)分别代入?y2=?kx+?b ，
得&10k+b=3,&20k+b=4,解得&k=0.1,&b=2,
∴?y2=0.1?x+2 .
?
综上，?y2=&3(010).
B品牌的收费方案：当骑行时间不超过10?min 时，收费3元；当骑行时间超
过10?min时，每多骑行1?min 加收0.1元.
?
（3）如果小豫每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班,
已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为18?km/h ,小豫家到工厂的距
离为9?km ,那么小豫选择哪个品牌的共享电动车更省钱?
?
【答案】方法一:9÷18=0.5(h)=30(min) ，
由图象可知，当骑行时间超过20?min时，y1>y2 .
∵30>20 ,
∴ 小豫选择B品牌的共享电动车更省钱．
?
方法二:9÷18=0.5(h)=30(min) ，则骑行时间需要30?min ，
?A品牌需要0.2×30=6（元），?B品牌需要0.1×30+2=5 （元），
∵5<6 ,
∴ 选择B品牌的共享电动车更省钱.
?
6.【新趋势·跨学科】科学实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变
化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x(℃) 与
声音在空气中传播的速度y （米/秒）之间的关系，在标准实验室里进行了
多次实验．下表为实验时记录的一些数据．
?
温度x/℃
…
0
5
10
15
20
…
声音在空气中传播的速度y/ （米/秒）
…
331
334
337
340
343
…
（1）在如图的平面直角坐标系中，描出上面数据所对应的点;
【参考答案】描点如图所示.
（2）根据描点发现这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的
类型最有可能是______（填“一次”“二次”或“反比例”）函数,并求出该函数
的解析式;
一次
【答案】设这个函数的解析式为y=kx+b ，
将(0,331)，(5,334) 代入函数解析式，
得&5k+b=334,&b=331,解得&k=0.6,&b=331,
∴ 这个函数的解析式为y=0.6x+331 .
?
（3）某地冬季的室外温度是?10?℃ ,小明同学看到烟花3秒后才听到声响,
利用第（2）问的函数，求小明与烟花爆炸处的距离．
（光的传播时间忽略不计）
?
【答案】在y=0.6x+331 中，
当x=?10时，y=0.6×(?10)+331=325 ，
∵ 小明同学看到烟花3秒后才听到声响，
∴325×3=975 （米）．
即小明与烟花爆炸处的距离为975米.
?
7.水龙头关闭不严会滴水,为了调查滴水量与滴水时间的关系,某兴趣小组进
行以下试验与探究:
试验:在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的量筒,每5?min 记录一次量筒
中的水量,但由于操作延误,开始计时的时候量筒中已经有少量水,因而得到
如下表中的一组数据.
?
时间t/min
5
10
15
20
25
…
水量y/mL
17
32
47
a
77
…
（1）探究:根据上表中的数据,请判断y=k1t(k1≠0) 和y=k2t+b (k2≠0,
k2,b为常数)哪个表达式能准确地反映水量y与时间t 之间的函数关系,求出该
表达式并写出漏记的a 值.
?
【参考答案】观察表格，发现时间t每增加5?min，水量y增加15?mL ，
故可得y=k2t+b能准确地反映水量y与时间t 之间的函数关系.
把t=5,y=17和t=10,y=32分别代入y=k2t+b ,
可得&5k2+b=17,&10k2+b=32,解得&k2=3,&b=2,
∴水量y与时间t的函数表达式为y=3t+2 .
把t=20,y=a代入y=3t+2，
得a=3×20+2=62 .
?
（2）应用:
①若该量筒的容量为100?mL,则30?min 后该量筒是否滴满?
?
【答案】把t=30代入y=3t+2,
得y=3×30+2=92 .
∵92<100,
∴30?min 后该量筒没有滴满.
?
②成年人每天大约需饮水1?600?mL ,请估算这个水龙头一个月（按30天计）
的滴水量可供一位成年人饮用的天数.
?
【答案】由函数表达式可知每分钟的滴水量为3?mL ，
则30天滴水量为30×24×60×3=129?600(mL) ,
129?600÷1?600=81 （天）.
答：这个水龙头一个月（按30天计）的滴水量可供一位成年人饮用81天．
?
8.【新趋势·跨学科】科学课上,同学用自制密度计测量液体的密度(如图)．
密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的
密度ρ (单位：g/cm3) 的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1?g/cm3 的水
中时，h=20?cm ．
?
（1）求h关于ρ 的函数解析式．
?
类型2 反比例函数的实际应用
【参考答案】设h关于ρ 的函数解析式为h=kρ ，
把ρ=1，h=20代入解析式，
得k=1×20=20 ．
∴h关于ρ 的函数解析式为h=20ρ .
?
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25?cm ，求该液体的密度ρ ．
?
【答案】把h=25代入h=20ρ，
得25=20ρ ．
解得ρ=0.8 ．
答：该液体的密度ρ 为0.8?g/cm3 ．
?
9.【新素材·注意力指标】实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力
指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段
时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随
时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，其中当20≤x≤45 时，图象
是双曲线的一部分．

?
（1）求点C，D所在双曲线的函数表达式和
直线AB 的函数表达式；
?
【参考答案】设双曲线的函数表达式为y=kx ，
将C(20,45)代入，得k=20×45=900 ，
∴ 双曲线的函数表达式为y=900x ．
当x=45时，y=20 ，
∴D(45,20),∴A(0,20) ．
设直线AB的函数表达式为y=mx+n ，
将A(0,20)，B(10,45) 分别代入，
得&n=20,&10m+n=45,解得&m=2.5,&n=20,
∴ 直线AB的函数表达式为y=2.5x+20 .
?
（2）张老师想在数学课上讲解一道数学综合题，希望学生的注意力指标
不低于36，那么她最多可以讲多少分钟？
【答案】对于y=900x，当y=36时，x=25 ；
对于y=2.5x+20，当y=36时，x=6.4 .
25?6.4=18.6 ，
?
故张老师最多可以讲18.6分钟.
10.【新趋势·跨学科】某气球内充满一定质量的气体．通过测量，当温度
不变时，该气球内气体的压强p(kPa)和气体体积V(m3) 的几组对应值如下
表．
?
V/m3
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
p/kPa
150.4
112.5
90.0
75.1
64.3
（1）根据表中的数据画出函数图象，并求出压强
p(kPa)关于体积V(m3) 的函数表达式．（函数表达式
中的系数精确到1）
?
【参考答案】描点并连线,画出的函数图象如下所示.
根据题意，可设p关于V的函数表达式为p=kV ，
将(1,90)代入p=kV ，得k=90 ，
∴ 压强p(kPa)关于体积V(m3)的函数表达式为p=90V .
?
（2）当气体体积为2?m3 时，气球内气体的压强是多少？
?
【答案】将V=2代入p=90V，
得p=902=45 ，
故当气体体积为2?m3时，气球内气体的压强是45?kPa .
?
（3）当气球内气体的压强大于180?kPa 时，气球就会爆炸．请问气体的
体积不小于多少时，气球才不会爆炸．
?
【答案】∵ 当气球内气体的压强大于180?kPa 时，气球就会爆炸,
?
∴p≤180，即90V≤180 ，
∴V≥0.5 .
故当气体的体积不小于0.5?m3 时，气球才不会爆炸．
?
11.小明同学练习推铅球，从推出到铅球触地过程中，铅球的竖直高度
y(m)和水平距离x(m)近似满足函数关系y=a(x?h)2+k(a<0) ．某次
训练，铅球的水平距离x(m)和竖直高度y(m) 的几组对应数据如下：
?
水平距离x/m
0
1.2
2
3
3.8
4.2
m
竖直高度y/m
1.7
2.38
2.7
2.95
3.03
3.03
2.95
类型3 二次函数的实际应用
根据上述数据，回答下列问题：
（1）表格中的m= ___．
?
5
【解析】解法提示：由抛物线的对称性可知，点(3.8,3.03)，(4.2,3.03) 关
于y轴对称，点(3,2.95)，(m,2.95)关于y 轴对称，
∴3.8+4.2=3+m，解得m=5 .
?
水平距离x/m
0
1.2
2
3
3.8
4.2
m
竖直高度y/m
1.7
2.38
2.7
2.95
3.03
3.03
2.95
（2）求满足条件的抛物线的表达式.
【参考答案】由抛物线的对称性可知，h=(3.8+4.2)÷2=4 ，则
y=a(x?4)2+k ,
把(0,1.7)，(2,2.7)分别代入y=a(x?4)2+k ，
得&16a+k=1.7,&4a+k=2.7,解得&a=?112,&k=9130,
∴ 抛物线的表达式为y=?112(x?4)2+9130 .
?
（3）若铅球落地后的水平距离s(m)与对应分值f （分）之间满足
f=5s?32.5，请计算小明这次铅球训练的成绩( 结果精确到0.1分.参考数
据：9.1≈3.02) .
?
【答案】令y=0，得?112(x?4)2+9130=0 ，
解得x1=4+29.1,x2=4?29.1 （舍去），
∴ 铅球落地后的水平距离s=4+29.1 .
把s=4+29.1代入f=5s?32.5，得f=5(4+29.1)?32.5≈17.7
（分）.
故小明这次铅球训练的成绩约为17.7分.
?
12.【新情境·探究刹车性能】根据以下素材,探索并完成任务.
探究汽车刹车性能
“道路千万条,安全第一条”.刹车系统是车辆行驶安全的重要保障,某兴趣小
组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）.
素材1
刹车时间:驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止,汽车所行驶的时间.
刹车距离:驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止,汽车所行驶的距离.
_______________________________________________________________________________________
续表
素材2
汽车研发中心设计一款新型汽车,该兴趣小组成员记录了模拟汽车
在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据,具体如下:
_____________________________________________________________________
素材3
该兴趣小组成员发现:
①刹车距离y(单位:m)与刹车时间t(单位:s) 之间具有函数关系
y=at2+bt(a≠0,a,b为常数) ;
②刹车距离y随刹车时间t 的增大而增大,当刹车距离最远时,汽车完
全停止.
（1）求y关于t 的函数表达式.
?
【参考答案】将(1,27),(2,48)分别代入y=at2+bt ,
得&27=a+b,&48=4a+2b,解得&a=?3,&b=30,
∴y关于t的函数表达式为y=?3t2+30t .
?
请根据以上信息,解答下列问题.
（2）司机在匀速驾驶过程中突然发现正前方90?m 处路面上有一个障碍物,
若立刻刹车,则该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物?请说明理由.
?
【答案】不会.
理由：y=?3t2+30t=?3(t?5)2+75 ,
∵?3<0 ,
∴ 当t=5时，刹车距离最大，为75?m .
∵75<90 ,
∴ 该车在不变道的情况下不会撞到障碍物.
?
13.【发现问题】
当行驶中的赛车撞到物体时，赛车所受的损坏程度可以用“撞击影响”来衡
量，而赛车的撞击影响(I)与赛车行驶速度v(km/min) 存在某种函数关
系．以下是某型号赛车的行驶速度与撞击影响的试验数据：
?
v/(km/min)
…
0
1
2
3
4
…
I
…
0
3
12
27
48
…
（1）请在图中描出上表对应的点，
并用光滑的曲线连接．
【参考答案】如图所示.
（2）观察图象并猜测：I是v 的______函数．请你据此求出I关于v 的函数
表达式，并验证所求表达式的合理性．
?
二次
【猜想验证】
【答案】∵ 函数图象经过点(0,0) ，
∴ 设函数表达式为I=av2+bv(a≠0) ，
将(1,3)，(2,12) 分别代入，
得&a+b=3,&4a+2b=12,解得&a=3,&b=0,
∴ 函数表达式为I=3v2 .
验证：∵ 当v=3时，I=3×32=27 ，
?
当v=4时，I=3×42=48 ,
∴ 所求表达式合理.
?
（3）某车队搭载V10 引擎的赛车马力达到1 000匹，在某赛道跑出
372?km/h 的极速．利用你得到的撞击影响公式，计算此速度的撞击
影响是多少？
?
【答案】∵372?km/h=315?km/min ，
∴ 撞击影响
I=3v2=3×(315)2=115.32 ．
?
【实际应用】

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