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题型一 选填重难题
1.【数学文化】1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:
1,1,2,3,5,? ,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数
之和.在这一列数的前2 024个数中,奇数的个数为( )
?
D
A.676 B.674 C.1 348 D.1 350
【解析】这一列数为1，1，2，3，5，8，13，21，34，? .奇数+奇数= 偶
数，奇数+偶数=奇数，偶数+奇数= 奇数，观察可知，每3个数为一组，
每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．由于2?024÷3=674??2 ，即
前2 024个数共有674组，且余2个数，674×2+2=1?350 ，因此奇数有
1 350个．故选D.
?
类型1 规律探索题
2.如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形,第1个图有4
个三角形,第2个图有7个三角形,第3个图有10个三角形……按照此规律排列
下去,第675个图中三角形的个数是( )
D
A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026
【解析】由题意可知第1个图中三角形的个数是4=1+3 ，第2个图中三角
形的个数是7=1+3×2，第3个图中三角形的个数是10=1+3×3??
第n个图中三角形的个数是1+3n，∴ 第675个图中三角形的个数是
1+3×675=2?026 .
?
3.如图,在平面直角坐标系中,风车图案的中心为正方形（正方形的中心为
O ），四个叶片为全等的平行四边形,其中一个叶片上的点A,C 的坐标分别
为(1,0),(0,4),将风车绕点O 逆时针旋转,每次旋转30?，则第2 025次旋转
结束时,点D 的坐标为( )
?
B
A.(?3,1) B.(3,?1)
C.(1,?3) D.(?1,?3)
?
【解析】易得D(1,3).∵风车绕点O 逆时针旋转，每次旋转30?，
而360?÷30?=12，∴ 每旋转12次为一个循环.
又∵2?025÷12=168??9，9×30?=270? ，
∴ 第2 025次旋转结束时点D的位置与第9次旋转结束时点D的位置相同，
即在第四象限，且此时点D到x轴的距离为1，
到y 轴的距离为3，
∴D(3,?1) .
?
4.如图,小好同学用计算机软件绘制函数y=x3?3x2+3x?1的图象,发现它
关于点(1,0) 中心对称.若点A1(0.1,y1),A2(0.2,y2),A3(0.3,y3),? ,A19?(1.9,y19)
,A20(2,y20) 都在函数图象上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1 ,则
y1+y2+y3+?+y19+y20 的值是( )
?
D
A.?1 B.?0.729
C.0 D.1
?
【解析】∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1 ，
∴0.1+1.92=0.2+1.82=?=0.9+1.12=1.
又∵ 该函数图象关于点(1,0) 中心对称，
∴y1+y2+y3+?+y9+y11+?+y19=0 ，
∴y1+y2+y3+?+y19+y20=y10+y20.
易知A10(1,0) ，即y10=0.
把x=2代入y=x3?3x2+3x?1 ，得y=1，
∴y20=1 ，
∴y1+y2+y3+?+y19+y20=y10+y20=0+1=1．
?
5.如图,在平面直角坐标系中,点A为y 轴上一点,AO=23,以AO为底构造等腰
三角形ABO ,且∠ABO=120?,将△ABO沿着射线OB 方向平移,每次平移的距离
都等于线段OB 的长,则第70次平移结束时, 点B的对应点B70 的坐标为( )
?
C
A.(713,72) B.(703,72)
C.(71,713) D.(72,703)
?
【解析】∵△ABO是等腰三角形,∠ABO=120? ,∴∠BOA=30?,BA=BO.
如图,过点B作BC⊥y 轴于点C，则AC=OC=3，
∴BC=33OC=1，∴点B的坐标为(1,3).
将△ABO沿着射线OB 方向平移，每次平移的距离都等于线段OB的长，
∴ 点B每次向右平移1个单位长度，向上平移3 个单位长度，
故第70次平移结束时，点B70的横坐标为1+70×1=71 ，
纵坐标为3+70×3=713，
∴B70(71,713) .
?
6.如图,在平面直角坐标系中,点B在x轴上,点A 在第二象限,OA=OB=1,
∠AOB=120?.将△AOB 绕点O顺时针旋转并以点O 为位似中心扩大,每次旋
转120? ,扩大后的面积为原来的4倍.例如:将△AOB旋转并扩大后,得到
△A1OB1 ,且S△A1OB1=4S△AOB;将△A1OB1 再
旋转并扩大后,得到△A2OB2,且S△A2OB2=
4S△A1OB1??以此类推,则△A61OB61 的顶点
A61 的坐标是________.
?
(261,0)
?
【解析】在三角形变换的过程中,射线OAn(n为自然数) 的位置每3次变换
（旋转并扩大1次为1次变换）为1个循环.
∵61÷3=20??1，∴射线OA61 与射线OA1重合，
故点A61在x 轴正半轴上.
根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”,
可知OA1=2,OA2=22,OA3=23 ,OA4=24,?,
OA61=261，∴A61(261,0) .
?
类型2 函数问题
7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的顶点坐标为(?1,?2) ,
与y轴的交点在x 轴上方.下列结论正确的是( )
?
C
A.a<0 B.c<0 C.a?b+c=?2 D.b2?4ac=0
?
【解析】根据题意，画出抛物线的草图如图所示，可知
c>0，抛物线开口向上,且与x轴有两个交点，∴a>0 ，
b2?4ac>0.故选项A,B，D中的结论错误.将(?1,?2) 代入
y=ax2+bx+c，得a?b+c=?2 ,故选项C中结论正确.
?
8.如图，正方形ABCD的顶点A，C 在抛物线y=?x2+4上，点D在y轴上.
若A,C 两点的横坐标分别为m,n(m>n>0) ,则下列结论正确的是( )
?
B
A.m+n=1 B.m?n=1
C.m=1 D.mn=1
?
【解析】如图，分别过点A，C作y 轴的垂线，垂足
分别为M，N，易知A(m,?m2+4) ，
C(n,?n2+4)，∴AM=m,MO=?m2+4 ，
CN=n,NO=?n2+4．易证△CDN≌△DAM ，
∴DM=CN=n,DN=AM=m ,
?
∴MN=DM+DN=m+n.又MN=NO?MO=m2?n2 ，
∴m2?n2=m+n,即(m+n)(m?n)=m+n.∵m>n>0 ，
∴m+n≠0，∴m?n=1 ．
?
9.抛物线y=ax2?a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)，B(x2,y2) 两点.若
x1+x2<0，则直线y=ax+k 一定经过( )
?
D
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
【解析】由题意可知，x1，x2是关于x的一元二次方程kx=ax2?a 的两
个根，整理方程，可得ax2?kx?a=0，∴x1+x2=ka .又
∵x1+x2<0，∴ka<0.当a>0，k<0时，直线y=ax+k 经过第一、三、
四象限；当a<0，k>0时，直线y=ax+k 经过第一、二、四象限.综上，
直线y=ax+k 一定经过第一、四象限．故选D．
?
10.一次函数y=x?2n+4 ，二次函数
y=x2+(n?1)x?3，反比例函数y=n+1x 在
同一直角坐标系中的图象如图所示，则n 的取
值范围是( )
?
C
A.n>?1 B.n>2
C.?1?
【解析】由图象可得&?2n+4>0,&?n?12>0,&n+1>0, 解得
?
?1?
11.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B 在反比例函数
y=kx(x>0)的图象上,BC⊥x轴于点C,∠BAC=30? ,将△ABC沿AB 翻折,
若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上,则k 的值为_____.
?
23
?
【解析】如图,过点D作DE⊥x轴于点E.∵ 点A的坐标为(1,0)，∴OA=1.
在Rt△ABC 中，∠BAC=30?，设BC=a ，则AC=3a，∴B(1+3a,a) .
由翻折可知，∠DAB=∠CAB=30? ，AD=AC=3a ，
?
∴∠DAC=60?，∴AE=32a，DE=32a ，
∴D(1+32a,32a).
?
∵点B，D 均在该反比例函数的图象上，
∴k=a(1+3a)=32a?(1+32a) ，
解得a=233 （另一值不合题意，已舍去），
∴k=23 .
?
类型3 多结论判断
12.如图，正方形ABCD中，AB=2 ，把△ABC绕点A逆时针旋转60?得到
△AEF ，连接DF ．下列结论错误的是( )
?
B
A.∠CAE=15? B.∠ADF=150?
C.B，D，F三点共线 D.DF=6?2
?
【解析】在正方形ABCD中，∠BAC=12∠BAD=45? .由旋转知∠BAE=60?，
∴∠CAE=60??45?=15? ，故A中结论正确.
如图,连接CF,由旋转知∠CAF=60? ,AC=AF,∴△ACF是等边三角形,
∴∠AFC=60? ,AF=CF=AC=22+22=22.
?
又AD=CD，DF=DF ，∴△ADF≌△CDF，
∴∠AFD=∠CFD=12×60?=30?，
∠ADF=∠CDF=12×(360??90?)=135?，
故B中结论错误.
?
连接BD ,则∠ADB=12∠ADC=45? ,∴∠ADB+∠ADF=45?+135?=180?,
∴B,D,F 三点共线,故C中结论正确.过点D作DG⊥AF于点G,设DG=x ,则在
Rt△DFG中，DF=2x，FG=3x ，∴AG=22?3x，∴ 在Rt△ADG 中，
x2+(22?3x)2=22，解得x=6+22 （不符合
题意，舍去）或x=6?22，∴DF=2x=6?2 ，
故D中结论正确.故选B.
?
13.如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，直径CF交线段BE 于
点G，且AC?=AF?，点E是AG的中点.下列结论：
①AB=CD ；
②∠C=22.5? ；
③△BFG是等腰三角形；
④BG=3AE .
其中正确的结论是________.（填写所有正确结论的序号）
?
①②③
【解析】如图，连接AC，AD，AF，∵AC?=AF? ，
∴AC=AF，∠D=∠B.∵CF是☉O 的直径，
∴∠CAF=90? ，∴∠2+∠3=90?.∵AB⊥CD ，
∴∠AEC=90? ,∴∠1+∠2=90? ，∴∠1=∠3 ，
?
∴△ACD≌△FAB，∴CD=AB，故结论①正确. ∵AC=AF ，
∠CAF=90? ，∴∠ACF=∠AFC=45?.∵CE⊥AG，点E是AG 的中点，
∴CE垂直平分AG，∴CA=CG，∴∠ECG=12∠ACF=22.5? ，故结论②正
确.
?
∵CA=CG，∴∠2=∠4.∵∠2=∠6，∠4=∠5，∴∠5=∠6 ，
∴BF=BG,∴△BFG 是等腰三角形，故结论③正确.
∵∠D=∠AFC=45? ，∴△ADE 为等腰直角三角形，
∴AD=2AE.∵△ACD≌△FAB，∴AD=BF ，
∴BG=BF=2AE ，故结论④错误.综上，正确的结论有①②③.
?
14.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是正方形,反比例函数y=kx
(k≠0,x>0) 的图象与正方形的边AB，BC分别交于点E，F，FD⊥x 轴于
点D，交OE于点G．下列结论：
①OF=OE ；
②四边形AEGD与△FOG的面积相等；
③EF=CF+AE ；
④若∠EOF=45?,EF=4,则直线EF 的函数解
?
①②④
析式为y=?x+4+22 ．
其中正确的结论是_________.（填写所有正确结论的序号）
?
结论
分析
正误
①
∵ 四边形OABC是正方形，∴∠OAB=∠OCB=90? ，
OA=OC.∵ 点E，F都在反比例函数y=kx 的图象上，
∴OC?CF=OA?AE，∴CF=AE，∴△OCF≌△OAE ，
∴OF=OE .
?
【解析】分析如下，故正确的结论是①②④.
结论
分析
正误
②
∵FD⊥x轴，点E，F都在反比例函数y=kx 的图象上，
∴OD?DF=OA?AE，∴S△ODF=S△OAE ，
∴S△ODF?S△ODG=S△OAE?S△ODG ，
即S△FOG=S四边形AEGD .
?
结论
分析
正误
③
如图，将△OAE绕点O逆时针旋转90? 得到△OCE′ ，则
CE′=AE，∴CF+AE=E′F.易知当∠EOF=∠E′OF=45?
时，△FOE′≌△FOE，∴EF=E′F.而∠EOF 不一定等于
45? ，∴EF=CF+AE 不一定成立.
________________________________________________
×
结论
分析
正误
④
当∠EOF=45? 时，由③得EF=CF+AE=4.∵CF=AE，
∴CF=AE=2 ，BF=BE，∴△BEF 为等腰直角三角形，
∴BF=BE=22EF=22，∴AB=2+22 ，
∴OA=OC=2+22，∴E(2+22，2)，F(2,2+22) .
设直线EF的函数解析式为y=ax+b ,则
&2+22a+b=2,&2a+b=2+22,解得&a=?1,&b=4+22,
∴直线EF 的函数解析式为y=?x+4+22 .
?
15.如图，边长为2的等边三角形ABC 中，AH⊥BC于点H，E为线段BH 上一
动点，连接AE,CD⊥AE于点F，分别交AB,AH于点D，G ,连接FH，BF．
给出下列结论：
①当点E为BH 的中点时，AD=AG；
②∠EFH=60?；
③点E 从点B运动到点H，点F经过的路径长为1；
④BF 的最小值为3?1 ．
其中正确的结论有______.
（填写所有正确结论的序号）
?
②④
【解析】当AE平分∠BAH时，易证AD=AG，
∴当点E 为BH的中点时，AD≠AG ，故结论①错误.
由∠AFC=∠AHC=90?，得点F，H在以AC 为直径的圆上.
如图，作以AC为直径的⊙O，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60?，
∴∠EFH=∠ACH=60? （点拨：圆内接四边形的
任意一个外角等于它的内对角），故结论②正确.
?
设⊙O交AB于点I ,则点E从点B运动到点H,点F的路径为IH?,且点I为AB的
中点，连接IH，易知H为BC的中点，
则IH=12AC=1（点拨：三角形中位线定理），
∴IH? 的长大于1，故结论③错误.
连接OB，当点F为OB与⊙O 的交点时，BF有最小值，
易求得OB=3，OF=1，
∴BF 的最小值为3?1 ，故结论④正确.
综上所述，正确的结论是②④.
?
16.如图,点E为矩形ABCD的边BC上一点(点E与点B 不重合),AB=6,AD=8,
将△ABE沿AE 对折，得到△AFE，连接DF，CF．给出下列四个结论：
①∠BAF 与∠BEF互补；
②若点F到边AD，BC 的距离相等，则sin∠BAE=12；
③若点F到边AB，CD 的距离相等,则tan∠BAE=12；
④△CDF 的面积的最小值为6．
其中正确的结论有________.
（填写所有正确结论的序号）
?
①②④
【解析】在矩形ABCD中,∠B=90?,∴由折叠知∠AFE=∠B=90?
（点拨：折叠前后的对应角相等、对应边相等）,∴∠BAF+∠BEF=360?
?∠AFE?∠B=180? (点拨:四边形的内角和为360?),故∠BAF与∠BEF 互补，
结论①正确. 若点F到边AD，BC的距离相等，过点F作FM⊥AD于点M，
∵AB=6 ，∴FM=12AB=3. 由折叠知AF=AB=6，∠EAF=∠BAE ，
∴MF=12AF，∴∠MAF=30?，∴∠BAE=
12×(90??30?)=30? ，∴sin∠BAE=12，
结论②正确.
?
若点F到边AB，CD 的距离相等，过点F作FP⊥AB于点P，
∵AD=8 ，∴PF=4.在Rt△APF中，AP=AF2?PF2=2??5 ，
∴BP=AB?AP=6?2??5.
连接BF，在Rt△BFP 中，tan∠PFB=BPFP=3?52.
∵AB=AF，BE=EF，∴AE 垂直平分BF.
易得∠BAE=∠PFB，
∴tan∠BAE=tan∠PFB=3?52 ，结论③错误.
?
∵AF=6，
∴当点E在BC上运动时，点F在以点A 为圆心、6为半径的一段圆弧上.
易知当点F在AD上时，点F 到CD的距离最短，即△CDF 的面积最小，
如图，DF=AD?AF=8?6=2 ,
∴S△FCD=12CD×DF=12×6×2=6 ，故结论④正确.
综上，正确的结论有①②④．
?
17.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x 轴于
点A(?3,0)，B(1,0),交y轴于点C .以下结论:
①a+b+c=0；
②a+3b+2c<0 ；
③当以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形时,c=7 ;
④当c=3时,在△AOC内有一动点P,若OP=2 ,则CP+23AP的最小值为973 .
其中正确的结论有________.（填写所有正确结论的序号）
?
①②④
【解析】∵ 抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x 轴于点B(1,0)，
∴a+b+c=0，故结论①正确.
∵ 抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x 轴于点A(?3,0)，B(1,0)，
∴?b2a=?3+12=?1 ，∴b=2a.
∵a+b+c=0，∴c=?3a ，
∴a+3b+2c=a+6a?6a=a.
∵a<0 ，∴a+3b+2c<0，
故结论②正确.
?
∵抛物线的对称轴为直线x=?1 ，∴AC≠BC.
∵A(?3,0)，B(1,0)，C(0,c)，∴AB=4，OC=c .
当AC=AB=4时,结合AC2=OA2+OC2 ,得42=32+c2,
∴c=7 （负值已舍去）；
当BC=AB=4时,结合BC2=OB2+OC2 ,得42=12+c2,
∴c=15 （负值已舍去）.
综上,当以点A,B,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,c=7或15,
故结论③错误.
?
当c=3 时，C(0,3)，则OC=3.如图所示，取点H(?43,0) ，连接PH，
则OH=43，∴OHOP=23. ∵OPOA=23，∴OHOP=OPOA .
又∵∠HOP=∠POA,∴△HOP?△POA
(依据：两边对应成比例及夹角相等的三角形相似),
∴PHAP=OHOP=23,∴PH=23AP (关键点:将23AP进行转化),
∴CP+23AP=CP+PH.
当C,,,,P,H三点共线时,CP+PH 的值最小,即此时CP+23AP的值最小,最小值
为CH 的长.在Rt△CHO中，CH=OH2+OC2=973 ，故结论④正确.
综上，正确的结论有①②④.
?
类型4 几何图形中的计算
18.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E ，且AC⊥BD，AC=AD，
∠CBD=∠CAD，CB=5 ，CD=45，则AD 的长是( )
?
B
A.9 B.10 C.403 D.443
?
【解析】设CE=a，DE=b，AE=c ，则AD=AC=a+c.
在Rt△CDE 中，CD2=CE2+DE2，∴(45)2=a2+b2?① .
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2 ，∴(a+c)2=c2+b2?② .
联立①②，可得a2+2ac+c2=c2+80?a2,∴2a2+2ac=80?③ .
∵∠CBD=∠CAD，∠BEC=∠AED=90? ，
∴△BCE?△ADE，∴CEDE=BCAD，即ab=5a+c，
∴a2+ac=5b?④ .
联立③④，可得2?5b=80，∴b=8，
∴(45)2=a2+82，∴a=4 ，∴2×42+2×4c=80，
∴c=6，∴AD=4+6=10 .
?
19.如图,E是线段AB上一点,△ADE和△BCE 是位于直线AB同侧的两个等边
三角形，点P,F 分别是CD,AB的中点.若AB=4 ,则下列结论错误的是( )
?
A
A.PA+PB的最小值为33
B.PE+PF的最小值为23
C.△CDE 周长的最小值为6
D.四边形ABCD面积的最小值为33
?
图示分析过程
确定点
P 的运
动路线
如图，延长AD，BC交于点H，连接PH，分别取AH,BH的中点M ,
N，连接MN，由∠DAE=∠ABC=60? 可知△ABH 是等边三角
形.易知DE//BH，EC//AH，∴ 四边形DECH是平行四边形.又∵
点P是CD的中点，∴ 点E,P,H共线且点P是EH的中点，∴ 点P 在
△ABH的中位线MN上（关键点：确定点P 的运动路线）.
__________________________________
确定点P 的运动路线后，逐项分析如下.
A
以MN为对称轴作点A的对称点G，连接GP，AG，则GP=AP ，
MN⊥ AG.又MN//AB，∴AG⊥ AB.易知AG=4×32=23 ，当
点G，P，B共线时，AP+PB 有最小值（提示：“将军饮马”模
型），如图，最小值为AG2+AB2=(23)2+42=27 ，即
PA+PB的最小值为27 .
_________________________________
图示分析过程
B
∵PE=PH，∴PE+PF=PH+PF，则当点H,P,F 共线，且
HF⊥AB时，PH+PF有最小值，即PE+PF 有最小值
（依据：两点之间线段最短、垂线段最短），如图，最小值为
HF的长，即PE+PF的最小值为23 .
________________________________
图示分析过程
C
易知DE+CE=AE+BE=AB=4，故△CDE 的周长为
4+CD，如图，分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为S ，
Q，则SQ=12AB=2，过点D作DK⊥CS于点K，则DK=2 ，易
知DK的长即为CD的最小值，∴△CDE 周长的最小值为6.
__________________________________
图示分析过程
D
如图,过点C作CT⊥AH于点T,则CT=32CH ,∴S△DCH=12DH×32CH=34DH?CH .易知CH=4?BC=4?BE=AE=AD=4?DH.
设CH?=x ,则DH=4?x,∴S△DCH=34(4?x)?x=?34(x?2)2+3 ,
故当x=2时,S△DCH的值最大,
即当CH=2时,△DCH 的面积最大,
最大值为3,此时四边形ABCD 的面积最小,
S四边形ABCD=S△ABH?3=34×42?3=33 .
20.如图,以AB为直径的⊙O与AC相切于点A,以AC为边作平行四边形ACDE ,
点D,E均在⊙O上,DE与AB交于点F,连接CE,与⊙O交于点G,连接DG .若
AB=10,DE=8,则AF=___,DG= _ ______.
?
8
20??1313
?
【解析】如图,连接DO并延长,交⊙O于点H ,连接GH,设CE与AB交于点M,
∵以AB为直径的⊙O与AC 相切于点A，∴AB⊥AC，∴∠CAB=90?.
∵ 四边形ACDE为平行四边形，∴DE//AC，AC=DE=8 ，
∴∠BFD=∠CAB=90? ，∴AB⊥DE ，
∴DF=EF=12DE=4（点拨：垂径定理）.
∵AB=10 ，∴DO=AO=12AB=5，
∴OF=OD2?DF2=3 ，∴AF=OA+OF=8.
?
∵DE//AC ，∴△EFM?△CAM，∴EFAC=FMAM，∴48=FM8?FM ，
解得FM=83，∴EM=EF2+FM2=4133.
∵DH为⊙O 的直径，∴DH=10，∠DGH=90?，∴∠DGH=∠EFM .
又∵∠DEG=∠DHG （依据：同弧所对的圆周角相等），
∴△EFM?△HGD，∴FMDG=EMDH，即83DG=413310 ，
∴DG=201313 ．
?
21.如图，M是正方形ABCD的边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP ，
将线段BP以B为中心逆时针旋转90? 得到线段BQ，连接MQ.若AB=4 ，
MP=1，则MQ 的最小值为__________.
?
210?1
?
【解析】连接BM,以B为中心,将BM 逆时针旋转90?,点M的对应点为点E,
连接EQ ,则点E为定点.
易证△BPM≌△BQE(SAS) ，∴QE=MP=1，
∴点Q在以点E 为圆心，1为半径的圆上.
如图，当点Q在线段ME 上时，MQ的值最小，
此时MQ=ME?QE（提示：点圆模型）.
∵BC=4 ，MC=12CD=2，∴BM=25.
易知△MBE 是等腰直角三角形，
∴ME=2BM=210，∴MQ的最小值为210?1 .
?
22.如图,已知两条平行线l1,l2,A是l1上的定点,AB⊥l2于点B,C,D分别是l1,l2
上的动点,且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H ,则当
∠BAH最大时,sin∠BAH 的值为__.
?
13
?
【解析】∵l1//l2，AB⊥l2于点B，A 是定点，
∴B为定点，AB 的长度为定值.
∵l1//l2，∴∠ACE=∠BDE ，∠CAE=∠DBE.
又∵AC=BD ，∴△ACE≌△BDE ，∴BE=AE=12AB.
∵BH⊥CD，∴∠BHE=90?，
∴点H在以BE 为直径的圆上运动，
如图.设圆心为O，则AO=AE+OE=3OE.
当AH与⊙O 相切时，∠BAH最大，
连接OH,则sin∠BAH=OHAO=OE3OE=13 ．
?
23.如图，在?ABCD中，∠C=120? ,AB=8，BC=10，E为边CD 的中
点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF,连接AD′,BD′ .则
△ABD′ 面积的最小值为____________.
?
20??3?16
?
【解析】∵ 在?ABCD 中,∠BCD=120?,AB=8 ，
∴CD=AB=8，AB//CD ，则∠ABC=180??∠BCD=60?.
∵E 为边CD的中点，∴DE=CE=12CD=4.
∵△DEF沿EF翻折得△D′EF ，∴ED′=DE=4，
∴点D′在以E 为圆心,4为半径的圆上运动(关键点:找到动点D′的运动轨迹),
如图(1).过点E作EM⊥BA交BA 的延长线于点M,交⊙E于点D′,如图(2),
?
此时D′到边AB的距离最短,为D′M 的长,即△ABD′的面积最小.
过点C 作CN⊥AB于点N.∵AB//CD ，
∴EM=CN=BC?sin?60?=5??3 （提示：平行线间的距离处处相等），
∴D′M=EM?ED′=5??3?4 ，
∴△ABD′ 面积的最小值为12×8×(5??3?4)=20??3?16 ．
?
24.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4 ，点E，F分别为边AB，CD上
的动点,且AE=CF,,将线段EF绕点F逆时针旋转90?得到线段FG ,连接DG ．
?
（1）当点E为AB的中点时，线段DG 的长是___；
?
1
【解析】当点E为AB的中点时，CF=AE=BE=DF=12AB=3 ，可知四
边形AEFD为矩形，∴∠EFD=90? ，EF=AD=BC=4 .由旋转知
∠EFG=90? ，FG=EF，∴F，D，G 三点共线，如图（1），
∴DG=FG?FD=EF?3=4?3=1 .
?
图（1）
（2）当点E在边AB上运动时，线段DG 的最小值是_ ___．
?
255
?
【解析】设AE=a，过点F作FH⊥AB于点H，过点G作GI⊥CD于点I ，则
四边形BHFC是矩形，∴FH=BC=4，BH=CF=AE=a .易证
△GFI≌△EFH，∴FI=FH=4，GI=EH.
?
图（2）
图（3）
①当02?a .在Rt△DGI中，DG2=ID2+IG2 ，
∴DG2=(2?a)2+(6?2a)2=5a2?28a+40=5(a?145)2+45，
∴当a=145时，DG2取最小值45，此时DG=255.
?
图（2）
②当3GI=EH=2a?6，ID=FI?FD=4?6+a=a?2 .
在Rt△DGI中，DG2=ID2+IG2 ，
∴DG2=(a?2)2+(2a?6)2=5a2?28a+40=5(a?145)2+45，
∴ 当a=145时，DG2取最小值45，此时DG=255.
综上，DG的最小值是255 .
?
图（3）

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