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2.1 认识实数（2）
第二章 实数
学习目标
1.了解实数的意义，能对实数按要求分类.(重点）
2.了解实数范围内相关概念的意义.(重点）
3.了解实数与数轴上点的一一对应关系.能用数轴上
的点表示无理数.(难点）
一般地，不是有理数的数都是无限不循环小数吗？为了研究这个问题，我们不妨看看有理数的小数表示有什么共同特征。
导入新课
情境引入
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
讲授新课
无限不循环小数为无理数.
如π=3.14159265…，0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0）
1、有理数的小数描述：
2、有理数的常见形式：
1、整数.
2、分数.
3、有限小数.
有限小数和无限循环小数是有理数.
4、无限循环小数.
归纳小结
1、无理数定义：
3、无理数的常见形式：
无限不循环小数叫做无理数.
（1）具有特殊意义的数.
（2）具有特殊结构的数.
如：π
如：0.2020020002…（相邻两个2之间的0的个数逐次加1）
2、无理数的特征：
（1）无限、不循环、小数.
（2）不能化成分数.
（3）开方开不尽的数.
如：????
?
例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，- ，0.57,0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）

. .
解：有理数有：3.14， ， 0.57；

. .
无理数有：0.1010001000001…
（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.
有理数和无理数统称为实数.
尝试·思考
无理数和有理数一样，也有正、负之分。
（1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。
正数集合
负数集合
3.14，0.57,
0.1010001000001…
（1）按定义分：
实数
有理数
无理数：
整数
分数
0
正整数
负整数
正分数
负分数
有限小数和无限循环小数
无限不循环小数.
（2）还记得有理数的分类方法吗?你能用类似的方法对实数进行分类吗?
正实数
负实数
数实
负有理数
正有理数
0
负无理数
正无理数
0
正实数
负实数
（2）按性质分：
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
例如：
与 互为相反数
与 互为倒数
归纳小结
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
例1.分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
解：(1)因为 ＝－4，
所以 的相反数是4，倒数是 ，绝对值是4.
(2)因为 ＝15，
所以 的相反数是－15，倒数是 ，绝对值是15.
(3) 的相反数是－ ，倒数是 ，绝对值是 .
（1）a是一个实数，它的相反数为_____ ，绝对值为_____；
（2）如果a≠0，那么它的倒数为_____.
-a
|a|
归纳小结
（1）如图，OA=OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数？
（2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗?与同伴进行交流。
－2
－1
0
1
2
B
A
前面讨论的两个正方形，边长分别是，且满足a2=2，b2=5。
1
思考·交流
－2
－1
0
1
2
-
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
★实数和数轴上的点是一一对应的.
例2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和 ，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解：因为数轴上A，B两点表示的数分别为－1和3 ，
所以点B到点A的距离为1＋3 ，则点C到点A的距离为1＋3 ，
设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，
所以－1－x＝1＋3 ，所以x＝－2－3
?
【方法梳理】当点C为点B关于点A的对称点时，点C到点A的距离等于点B到点A的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．
例3.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为
和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有(　　)
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解析：因为2 ≈1.414，所以 2 和5.1之间的整数有2，3，4，5， 所以A，B两点之间表示整数的点共有4个．
?
C
【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论．
1.判断题：
①实数不是有理数就是无理数. （ ）
③无理数都是无限小数. （ ）
④带根号的数都是无理数. （ ）
⑤无理数一定都带根号. （ ）
⑥两个无理数之积不一定是无理数. （ ）
⑦两个无理数之和一定是无理数. （ ）
⑧数轴上的任何一点都可以表示实数.（ ）
×
×
×
②无理数都是无限不循环小数. （ ）
√
√
√
√
√
当堂检测
2.把下列各数填入相应的集合内：
（1）有理数集合{ …}；
（2）无理数集合{ …}；
（3）正实数集合{ …}；
（4）负实数集合{ …}.
0.15.
·
·
0.15
·
·
0.15
·
·
3.在 -3，－3 ， －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ）
A. -3 B.－3 C. －1 D. 0
?
D
4.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 ．
【解析】1＜ ＜2，2＜ ＜3， 在 与 之间的整数是2.
A
B
2
5. 实数 a,b 的位置如图，
化简 |a + b| – |a – b|.
a
0
b
解:由数轴可知，a+b<0，a－b<0，从而
原式=－(a＋b)－[－（a－b）]
= －a－b＋（a－b）
= －a－b＋a－b
= －2b
实数
有理数和无理数统称实数
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
实数与数轴上的点一一对应
课堂小结

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