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(共18张PPT)
11.3.1 两数和乘以这两数的差
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
你还记得多项式与多项式是如何相乘的？
(a + b)( m + n)
=am
+an
+bm
+bn
（1）(x ＋1)( x－1)= ；
（2）(m ＋2)( m－2)= ；
（3）(2m＋1)(2m－1)= ；
（4）(5y ＋z)(5y－z)= .
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
x2 － 12
m2－22
(2m)2 － 12
(5y)2 － z2
探究
这几个运算都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘.
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2= a2-b2
(a+b) (a-b) =a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，这个公式叫做平方差公式.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
=
－
(a+b)(a－b)
a2
b2
b2
a
a
b
b
(a-b)(a+b)
a2
观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：
探究
例1 计算:
(1)(a+3)(a-3); (2)(2a+3b)(2a-3b);
解: (1) (a+3)(a-3)
=a2-32
=a2-9.
解：(2)(2a+3b)(2a-3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2.
解：(3) (1+2c)(1-2c)
=12-(2c)2
=1-4c2.
解：(4)(-2x-y)(2x-y)
=(-y-2x)(-y+2x)
=(-y)2-(2x)2
=y2-4x2.
(3)(1+2c)(1-2c); (4)(-2x-y)(2x-y).
例1 计算:
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
2.右边是相同项的平方减去相反项的平方；
3.公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
解：原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
计算：
例2 计算:1998×2002.
解：1998×2002
=(2000-2)(2000+2)
=4000000-4
=3999996.
=2000 -2
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
解:(a+2)(a-2)=a2-4
答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
C
(1)(a+3b)(a- 3b)；
=4x4－y2.
=a2－9b2 ；
解：原式=(-2x2 )2－y2
解：原式=a2－(3b)2
(2)(－2x2－y)(－2x2+y).
2.利用平方差公式计算：
3.计算：
(1) 51×49; (2)102 × 98.
解: 原式=(50＋1)(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499
解: 102×98
= 1002-22
=10000 – 4
=(100＋2)(100－2)
=9996
4.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3
=2x2－1.
将x＝2代入，得
原式=2×22-1=7.
5.如图，有一个狡猾的地主，把一块边长为am的正方形土地租给马老汉栽种.过了一年，他对马老汉说∶"我把你这块地的一边减少5 m，另一边增加5 m，继续租给你，你也没吃亏，你看如何 "马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了.同学们，你们觉得马老汉有没有吃亏 请说明理由.
解∶马老汉吃亏了.理由如下∶
∵a -(a＋5)(a-5)=a -(a -25)=25,
∴与原来相比，马老汉的土地面积减少了25 m ，即马老汉吃亏了.
注意
内容
两数和乘以
这两数的差
在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
(a+b)(a-b)=a2-b2

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