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11.3.2 两数和(差)的平方
1.经历完全平方公式的探索及推导过程，掌握完全平方公式的结构特征.
2.灵活应用完全平方公式进行计算.
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=（a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
1.(p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
2.(m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
3.(p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
4.(m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
探究
前面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘.
(a+b) 2= ( a + b)(a + b )=a2+ab+ab+b2
= a2+2ab+b2
(a-b) 2= ( a - b)(a - b )=a2-ab-ab+b2
= a2-2ab+b2
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a-b) 2=a2-2ab+b2
两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记：首平方，尾平方，积的2倍中间放
公式特征：
1.积为二次三项式
2.积中两项为两数的平方和
3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式
你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图2
思考
几何解释:
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
b
a
a
b
图 1
几何解释:
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
b
a
b
a
=
-
-
a2
ab
图2
b2
+
ab
例1 计算：
(1)(2x+3y)2;
解：(2x+3y)2
=(2x)2+2 2x 3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2；
(2)
解：
(3)(3x-2y)3;
解：(3x-2y)2
=(3x)2-2 3x 2y+(2y)2
=9x2-12xy+4y2；
(4)
解：解法1
例1 计算：
解：解法2
(4)
例1 计算：
弄清题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b，同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的完全平方公式；
应用完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2计算时，应注意：
(a+b)2与(-a-b)2相等吗
(a-b)2与(b-a)2相等吗
(a-b)2与a2-b2相等吗
为什么
(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2;
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2;
(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
思考
(a+b+c)2
解：(a+b+c)2
= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404；
(2) 992.
解：992
= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
例3 若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
解题时常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
1.下列计算正确的是(　　)
A．(x＋y)2＝x2＋y2
B．(x－y)2＝x2－2xy－y2
C．(x＋1)(x－1)＝x2－1
D．(x－1)2＝x2－1
C
2.若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为(　　)
A．3
B．±3
C．6
D．±6
C
3.运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2
=16m2+8mn+n2；
(1)(4m+n)2；
=(4m)2+2 (4m) n+n2
=y2
-y
+
=y2
+
-2 y
(2) .
解：
4.利用乘法公式计算：
(1)982－101×99；
＝(2022－2021)2＝1.
解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
解：原式＝20222－2×2022×2021＋20212
(2)20222－2022×4042＋20212.
5.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：∵x+y=8,
∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4,
∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②，得
4xy=48，
∴xy=12.
常用结论
内容
两数和（差）
的平方
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a±b) 2=a2±2ab+b2
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.

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