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11.5 课时1 提公因式法
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
反过来：
整式的乘积
多项式
整式的乘积
多项式
运用前面所学的知识填空：
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) a2 -b2 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
a+b a-b
a+b
探究
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a2＋1＝a(a＋ )　　　　　　
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
D
∵ 不是整式，∴a2＋1＝ a(a＋ )不是因式分解
∵(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化积，∴不是因式分解，而是整式乘法
∵a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，结果不是积的形式，∴不是因式分解
x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的概念，∴是因式分解
因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
pa+pb+pc
公共的因式 p
我们看多项式 pa+pb+pc
它的各项都有一个公共的因式 p，我们把因式 p叫做这个多项式的公因式.
归纳
( a+b+c )
pa+ pb + pc
p
=
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
归纳
如何确定一个多项式的最大公因式？
找 2x 2 – 4 xy 的公因式.
系数：最大公约数
2
字母：相同的字母
x
所以公因式是2x
指数：相同字母的最低次数
1
思考
正确找出多项式的最大公因式的步骤：
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
例1 把下列多项式分解因式：
(2)3a2 - 9ab.
解：3a2 - 9ab
(1)-5a2 + 25a;
= 3a(a-3b)
解：-5a2 + 25a
= -5a(a-5).
第1步:找公因式；
提公因式法分解因式的一般步骤：
第2步:提公因式,即用多项式除以公因式.
注意：如果第一项是负的，一般把负号提前.
例2 把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
分析：先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式.
这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4；
两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是2，
因此选定4ab2为要提出的公因式.
解： 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
另一个因式将是2a2b+3b2c,
它还有公因式是b.
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？
例2 把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
例3 把2a(b+c) - 3(b+c)分解因式.
分析：b+c是这两个式子的公因式，可以直接提出.
解：2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
1.下列式子从左到右变形是因式分解的是(　　)
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
B
C
2.下列各式从左到右的变形不是因式分解的是( )
A.
B. x2-1=(x+1)(x-1)
C.2x+8x-1=2x(x+4)-1
D.a2-2ab+b2=(a-b)2
3.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（　　）
A．x+1
B．2x
C．x+2
D．x+3
D
4.把下列各式分解因式：
(1)ax ＋ ay; (2)3mx －6my.
解：原式= a(x＋y)；
解：原式=3m(x－2y).
5.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)(-2)101+(-2)100;
解：原式=1.99×(1.99+0.01)
=3.98；
解：原式=(-2)100 ×(-2+1)
=2100 ×(-1)
=-2100;
6.已知x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
解：∵x+y=2，xy=-3
∴ x2y+xy2
= xy(x+y)
= 2×(-3)
=-6
提公
因式法
因式分解
提公因式法
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
提公因式法分解因式的一般步骤：
1.找公因式；2.提公因式.
正确找出多项式的最大公因式的步骤：
1.定系数；2.定字母；3.定指数.

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