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11.5 课时2 公式法
1.探索并运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解，体会转化思想．
2.能综合运用提公因式法、平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解．
1、什么叫分解因式
2、已学过哪一种分解因式的方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
提公因式法
还记得前面学过的乘法公式吗？
平方差公式：
两数和（差）的平方公式：
(a+b)(a-b)=a -b
(a±b)2=a2±2ab+b2
多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
这个多项式是两个数的平方差的形式.
思考
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
b2
a2
-
)
)(
(
b
a
b
a
b2
a2
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
例1 分解因式：
(1)25x2 － 16y2;
解： 25x2 － 16y2
=(5x )2 － (4y )2
= (5x ＋ 4y)(5x － 4y)；
分析：在(1)中，25x2=(5x) 2,16y2=(4y) 2,25x2－16y2=(5x)2－(4y)2，即可用平方差公式分解因式.
分析：在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整体，设x ＋ p = m， x ＋ q = n ，则原式化为m 2 － n 2.
(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2.
解：(x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2
= [( x ＋ p) + (x ＋ q)][(x ＋ p ) － (x ＋ q) ]
= (2x ＋ p ＋ q)(p － q).
例1 分解因式：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
例2 分解因式：
(1) x4－y4;
分析：对于(1)， x4－y4可以写成(x2) 2 － (y2) 2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.
解：原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
(2) a3b － ab.
分析：对于(2)， a3b － ab有公因式ab ，应先提出公因式，再进一步分解.
解：原式＝ab(a2-1)
＝ab(a+1)(a-1).
例2 分解因式：
分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式
注意：分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，
思考
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
归纳
完全平方式的特点：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
观察这两个式子：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
2
a
b
+ b2
±
=(a ± b)2
a2
例3 分解因式：
(1)x2+4xy+4y2；
分析：(1)中， x2=x2, 4y2= (2y)2,4xy=2·x·2y, 所以x2+4xy+4y2是一个完全平方式，即x2+4xy+4y2=x2+2·x·2y+ (2y)2.
a2
2
a
b
b2
解：x2+4xy+4y2
= (x+2y)2；
= x2 + 2·x·2y + (2y)2
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
解：-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
例3 分解因式：
解题的关键：判断该多项式是否符合完全平方公式的结构特点，若符合公式特点再确定公式中的a，b在本题中所代表的是什么式子，分解因式的结果要分解到每一个因式都不能再分解为止
例4 把下列各式分解因式：
(1)4x3y-4x2y2+xy3 ；
分析：(1)中有公因式xy，应先提出公因式，再进一步分解因式.
解: 原式=xy（4x2-4xy+y2）
=xy（2x-y）2
(2)3x3-12xy2 ；
分析：(2)中有公因式3x，应先提出公因式，再进一步分解因式.
解: 原式=3xy（4x2-4xy+y2）
=xy(2x-y)2；
例4 把下列各式分解因式：
(3)(a+b)2-12(a+b)+36.
分析：将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2-12m+36.
解：设a+b=m，则
原式=m2-12m+36
=(m-6)2
=(a+b-2) 2
例4 把下列各式分解因式：
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差、完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
分解因式的一般步骤：1.先提公因式；
2.利用公式；
3.分解因式时要分解到不能分解为止 .
1.分解因式：
（1）16x2+24x+9；
解：16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(2) x2－12x+36;
解：原式 =x2－2·x·6+62
=(x－6)2;
(3)3ax2+6axy+3ay2 ；
解: 原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2；
(4)－2xy － x2 －y2 ；
解：原式 =－(2xy+ x2 +y2)
=－(x+y)2.
(5)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
解：原式=[2(2a+b)] －2·2(2a+b)·1+1
=(4a+2b －1)2;
解：原式=(y+1) －x
=(y+1+x)(y+1－x)
(6) y2+2y+1－x2.
步骤
公式
公式法
a2-b2=(a+b)(a-b)
一提：提公因式；
二套：套公式；
三查：检查多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止
a2±2ab+b2=(a±b)2

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