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2.1 代数式的概念
1.1 多项式的因式分解
第1章 因式分解
1.理解因式分解的概念；
2.能对多项式进行因式分解；
3.掌握因式分解与整式乘法的关系--互逆关系，并能运用这种关系解决因式分解的相关问题.
2.若有一个多项式 3x2+6x，类似地，能不能像分解数字一样把它拆分成几个整式相乘的形式，从而解决一些复杂的代数问题呢？
1.如何快速计算1225？
原式=3×4×25=3×(4×25)=3×100=300
探究一：探索因式分解的概念
活动 阅读下列材料，填空并回答问题
(1) 因为(x + 1) = ，所以 x + 2x + 1 = (x + 1)( )；
(2) 因为x(x－) = ，所以 x －x = x( ).
(1) (x + 1) = x + 2x + 1
x + 2x + 1= (x + 1)(x + 1)
x －x=x(x－)
(2) x(x－) =x －x
问题1：箭头左边的变形是什么运算？变形的结果是和的形式还是积的形式？箭头右边变形的结果是什么形式？
一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式.
单项式可看作只有一项的多项式
↗
x + 2x + 1= (x + 1)
x －x=x(x－)
x + 1 是多项式 x + 2x + 1 的因式
x 和 x－ 都是 x －x 的因式.
问题2：f = gh的右边是什么形式？对照定义，找出下列两个多项式的因式.
乘积的形式
问题3：对于多项式f，f = gh这一过程是什么变形？小组讨论.
多项式的因式分解： 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.
注意:1.分解的对象必须是多项式；2.分解的结果一定是积的形式.
3.结果中的每一个因式都必须是整式.
问题4：多项式的因式分解：多项式=（整式）（整式）（整式），思考这种书写方式正确吗？多项式的因式分解过程有什么需要注意的地方？小组讨论并回答说明理由
思考 因式分解是一种怎样的变形？它与方程的变形（如解方程时的移项、去分母等）有什么区别？
因式分解是多项式的恒等变形，变形前后对所有字母取值都相等.
区别：因式分解对象是多项式，目的是变 “和差” 为 “积”，不改变字母取值范围；
方程变形对象是等式，目的是求未知数，可能因乘除含未知数的式子改变取值范围.
1.判断下列变形是否为因式分解，并说明理由.
(1)x2 + 5x = x(x + 5);
(2)x(x - 3) = x2 - 3x;
(3)x2 + 2x + 1 = (2x + 1) + x2
(4)x2 2=x(x )
(5)4x2 - 8x= 2x(2x - 4)
是，积的形式
否，是乘法运算
否，和的形式
否，结果中有因式不是整式
否，分解不彻底
小组讨论，发散思维，多项式的因式分解如果分解不彻底会发生什么？
2.下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2
C．x2+y2 D．﹣x2﹣y2
B
活动1 根据要求填空，并回答问题
探究二：掌握因式分解与整式乘法的关系
根据左面算式填空:
(1) 3x2-3x=_________
(2)ma+mb+mc=___________
(3) m2-16=__________
(4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=___________
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)= ,
(2) m(a+b+c) = ,
(3)(m+4)(m-4)= ,
(4)(x-3)2= ,
(5)a(a+1)(a-1)= ,
3x2 - 3x
ma+mb+mc
m2 -16
x2-6x+90
a3-a
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)2
a(a+1)(a-1)
问题1：观察上面的两组等式，说说它们分别是什么运算？两者之间有什么联系？
互为逆过程
左边为整式乘法，右边为因式分解
x2 － y2 ( x + y )( x － y )
多项式的因式分解
多项式的乘法
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程，如
问题2：观察上面的示意图，小组讨论，如何判断x2 - 6x + 9 = (x - 2)(x - 3)这个因式分解是否正确？
用多项式的乘法计算右边：x2 - 5x + 6左边，因此错误.
因式分解的正确性可以通过逆向的整式乘法验证.
例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值.
解：因为x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)，
而a(x﹣2)(x+3)=ax2+ax-6a.
所以a=1，b=﹣6a=﹣6.
因式分解与整式乘法为互逆运算是此类问题的关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.
3.检验下列因式分解是否正确.
(1)x2 + xy = x(x+y) ；
(2) a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3) ；
(3) 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .
看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等.
解：（1）因为x( x + y ) = x2 + xy ，所以正确.
（2）因为(a-2)(a-3) = a2-5a+6，所以正确.
（3）因为(2m-n)(2m+n)= 4m2-n2≠2m2-n2，所以不正确.
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.
多项式的因式分解
定义
与整式乘法的关系
互逆的变形过程
1.选择:
(1)下列各式由左到右的变形是因式分解的是 ( )
　A.-9+a2=-(3+a)(3-a) B.(x-2)(x-3)=x2-5x+6
　C.a2-2ab+b2+a=(a-b)2+a D.m2+m=m2(1+ )
(2)(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的结果( ) 　　
　A.m2+4n2 B.-m2+4n2
　C.m2-4n2 　D.-m2-4n2
A
C
2.判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
D. ax+by+c=x(a+b)+c
E. 2a3b=a2 2ab
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
√
×
×
×
×
×
3. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值.
解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4，
所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b).
则 x4 + mx3 + nx﹣16= x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b.
比较系数得
a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16.
解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20.
所以 mn =﹣5×20 =﹣100．
4. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值.
解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，所以 a = 6.
同理，乙看错了 a，但 b 是正确的，
分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9，所以 b = 9.
因此 a + b = 15.

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