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第1章 因式分解
1.2 提公因式法
课时2 提多项式公因式
1.理解多项式公因式的概念，能够准确识别多项式中的公共多项式因式.
2.掌握提取多项式公因式和含分数公因式的方法和步骤，能够正确地进行因式分解.
把下列多项式因式分解：
(1)6????2?????9????????2
?
解： 6????2?????9????????2=3????????(2?????3????)
?
(2)????????+1?????(????+1)
?
解：????????+1?????????+1
=(????+1)(?????????)
?
公因式可以是单项式的形式，也可以是多项式的形式.
你能快速找出它们的公因式并把它提出来吗？
看作整体
（1）x(x－2)－y(x－2)；
做一做：把下列多项式因式分解：
解：(1) x(x－2)－y(x－2)＝(x－2)(x－y).
(2) x(x－2)－y(2－x)＝x(x－2)－y[－(x－2)]
变形为－(x－2)
＝x(x－2)＋y(x－2)
＝(x－2)(x＋y).
（2）x(x－2)－y(2－x).
1.如果多项式中的各部分含有相同的多项式因式，可把这个多项式看作一个整体，然后按照确定单项式公因式的方法确定公因式．
2.公因式的系数取各项系数的绝对值的最大公因数，公因式的字母及指数取各项都含有的相同字母的最低次幂．
确定多项式公因式
1.10a2(x＋y)2－5a(x＋y)3应提取的公因式是______________；
2.2x(－x＋y)2－(x－y)3应提取的公因式是__________．
5a(x＋y)2
(x－y)2
变形为(x－y)2
例5 把多项式 12xy?(x－y)2－18x?y(y－x)? 因式分解.
分析：(1) 公因式的系数是多少?
(2) 公因式中含哪些字母因式？对应字母的最低次数各是多少？
(3) 公因式中含有什么式子？
6
x 与 y；x 与 y 的最低次数都是 1
xy (x－y)2
解：12xy?(x－y)?－18x?y(y－x)?=12xy?(x－y)?－18x?y(x－y)?
=6xy(x－y)?·2y－6xy(x－y)?·3x
=6xy(x－y)? (2y－3x).
例5 把多项式 12xy?(x－y)2－18x?y(y－x)? 因式分解.
公因式为6xy(x－y)2
10×????
?
2×????
?
例6 把多项式 23x3y－103xy2 因式分解.
?
公因式的系数为 2????.
?
解：23x3y－103xy2 ＝23xy·x2－23xy·5y
＝ 23xy(x2－5y).
?
3.下列因式分解正确的是( )
D
A.3????(????+????)?(????+????)2=(????+????)(2????+????)
B.6(????+????)2?2(????+????)=2(????+????)(3????+?????1)
C.3(?????????)2+2(?????????)=(?????????)(3?????3????+2)
D.????????(?????????)?????(?????????)=?????(?????????)(????+1)
?
议一议：将多项式 49 x3y2－23 x2y3 因式分解，对比其他同学的答案，你们的结果一样吗？
?
分析 49＝23×23，所以公因式的系数为 23.
?
49 x3y2－ 23 x2y3＝23x2y2·23x－23x2y2·y
?
＝ 23x2y223????－????
?
提公因式法
提公因式法（多项式）
确定公因式的方法：三定，
即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式(整体思想)；
第二步提公因式
注意
（1）分解因式是一种恒等变形；
（2）公因式：要提尽；
（3）不要漏项；
（4）提负号，要注意变号
1.把82????2?????22????????分解因式（? ???）
A．22????????4????+1 B．2????42?????2
C． ????????82?????22 D．22????????4?????1
2.把多项式????2?????2+????2?????分解因式正确的是（　　）
A．?????2????2+???? B．?????????2????+1
C．?????????2?????1 D．2?????????2+????
?
D
C
3.一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：?????????,
?????1,3,????2?1,????,????+1分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式3????????2?1?3????????2?1因式分解，结果呈现的密码信息可能是（??? ）
A．我爱数学
B．我爱祖国
C．爱数学
D．爱祖国
?
A
4.把下列多项式因式分解：
（1）35????2?????95????????2 ；
?
解：原式=35????????(?????3????) .
?
（2）(2????+????)(2?????3????)+2????(2????+????) .
?
解：原式=(2????+????)(4?????3????) .
?
5. 分解因式：( x - y )2 + y( y - x ).
解法1：( x - y )2 + y( y - x )
= ( x - y )2 - y( x - y )
= ( x - y )( x - y - y )
= ( x - y )( x - 2y ).
解法2：( x - y )2 + y( y - x )
= ( y - x )2 + y( y - x )
= ( y - x )( y - x + y )
= ( y - x )( 2y - x ).
解：(1) 2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.
(2) 原式 = (2x + 1)[(2x + 1) - (2x - 1)]
= (2x + 1)(2x + 1 - 2x + 1)
= 2(2x + 1).
6. (1) 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值；
(2) 化简求值：(2x + 1)2 - (2x + 1)(2x - 1)，其中 x =12.
?
将 x =12代入上式，得
?
原式 = 4.

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