资源简介

第1章 因式分解
1.3 公式法
课时1 利用平方差公式进行因式分解
1.理解平方差公式的结构特征，能够准确识别可以使用平方差公式进行因式分解的多项式．
2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解，培养观察、归纳、类比、概括能力．
如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？
a米
b米
b米
a米
(a-b)米
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
探究：计算下列各式：
(1)(a＋2)(a－2)＝_________；
(2)(a＋b)(a－b)＝________；
(3)(3a＋2b)(3a－2b)＝_________．
a2－4
a2－b2
9a2－4b2
请你根据上面的算式填空，你发现了什么？
(1)a2－4＝_________________；
(2)a2－b2＝________________；
(3)9a2－4b2＝_________________ ．
(a＋2)(a－2)
(a＋b)(a－b)
(3a＋2b)(3a－2b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
整式乘法
(x+y)(x?????)=x2?y2
?
因式分解
x2?y2=(x+y)(x?????)
?
像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
x?－25＝ ＝ .
在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式：
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x?－25因式分解：
x?－5?
(x＋5)(x－5)
如何把x2-25因式分解？
????+5?????5=????2?52=????2?25.
?
5x
例1 把多项式 25x?－4y? 因式分解.
分析 25x?＝(5x)? 和 4y?＝(2y)? ，有平方差公式的逆用可知，
x2 ? y2 = (x+y)(x?????)
?
2y
解：25????2?4????2=(5????)2?(2????)2
=(5????+2????)(5?????2????)
?
方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
做一做：把多项式(????+????)2?(?????????)2因式分解？
?
作为整体
(????+????)是公式中的????
(?????????)是公式中的????
?
于是(????+????)2?(???? ? ????)2=[(????+????)+(?????????)][(????+????)?(?????????)]
=2???? ? 2???? = 4????????.
?
解：由平方差公式得
????+????+(?????????)????+?????(?????????)=????+????2?(?????????)2
?
议一议：与同学交流，具有什么特征的多项式可用平方差公式分解因式？
1、必须是二项式（两项）；
2、两项都能写成平方的形式（两个平方）
3、两项符号相反（一正一负）
能运用平方差公式分解因式的多项式的特点：
x2?y2=(x+y)(x?????)
?
例2 把多项式 x4－y4 因式分解.
解： x4－y4＝( x2 )2－( y2 )2
＝( x2＋y2 )(x2－y2 )
＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ).
因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止.
到这一步，因式分解完了没有呢？
分解因式：
(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n )
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
例3 把多项式 x5－x3y? 因式分解.
分析：多项式 x5－x3y? 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解.
解：x5－x3y?＝x3(x2－y?)
＝x3( x＋y )(x－y).
思考：这个多项式有没有公因式？如果有，你觉得应该怎样进行因式分解？
例4 把多项式 x4 － 9 因式分解.
解： x4－9＝( x2 )2－32
＝( x2＋3 )( x2－3 )
＝( x2＋3 )[ x2－(3 )2 ]
?
＝( x2＋3 )( x＋3 )( x－3 ).
?
????=????2(????≥0)
?
做一做：用简便方法计算：
(1) 6.12?3.92; (2) 0.122?0.882.
?
解：(1)?6.12?3.92
=6.1+3.96.1?3.9
=10×2.2
=22
?
(2) 0.122?0.882
=0.12+0.880.12?0.88
=1×0.76
=0.76
?
公式
平方差公式分解因式
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解
1.下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（??? ）
A．?????2?????2 B．????2+????2 C．????2?????2 D．????2?????2?1
2.因式分解“16????2?Δ”得4????+5????4?????5????，则“Δ”是（? ??）
A．16 B．?16????2 C．25????2 D．?25????2
3.若????2?????2=6，且?????????=3，则????+????的值为（ ?? ?）
A．1 B．2 C．2或-2 D．4
?
C
C
B
4. 如图，在边长为 6.8 cm 的正方形钢板上，挖去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得剩余部分面积为：
6.82 - 4×1.62
＝ 6.82 - (2×1.6)2
＝ 6.82 - 3.22
＝ (6.8 + 3.2)(6.8 - 3.2)
＝ 10×3.6
＝ 36 (cm2).
答：剩余部分的面积为 36 cm2.
5.试说明：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．
即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．
解：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n ? 2 = 8n.
因为 n 为整数，
所以8n 一定能被 8 整除，
方法总结：整除问题的基本思路，是将代数式化为整式的乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．

展开更多......

收起↑