资源简介

(共17张PPT)
第1章 因式分解
1.3 公式法
课时2 利用完全平方公式进行因式分解
1. 掌握运用完全平方公式分解因式的方法，灵活运用完全平方公式把多项式分解因式.
2. 会综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．
分解下列因式：
(1)x2－4y2； (2)(x＋3y)2－(x－3y)2.
解：(1)原式＝(x＋2y)(x－2y)；
(2)原式＝(x＋3y＋x－3y)(x＋3y－x＋3y)＝12xy.
根据学方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2”的式子因式分解吗？
探究：计算下列各式：
(1)(a－2b)2＝________________；
(2)(7a－b)2＝________________；
(3)(3a－2b)2＝_______________．
a2－4ab＋4b2
49a2－14ab＋b2
9a2－12ab＋4b2
请你根据上面的算式填空，你发现了什么？
(1)a2－4ab＋4b2＝______________；
(2)49a2－14ab＋b2＝____________；
(3)9a2－12ab＋4b2＝____________ ．
(a－2b)2
(7a－b)2
(3a－2b)2
两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
整式乘法
(x±y)2=x2±2xy＋y2
因式分解
x2±2xy＋y2=(x±y)2
x ＋4x＋4＝ .
在完全平方公式中，将 y 用 2 代入得到等式：
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x －25因式分解：
如何把x ＋4x＋4因式分解？
.
这种方法就是利用完全平方公式进行因式分解．
例5 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解：
分析：9x2 = (3x)2， 1 = 1 ，2·3x·1 = 6x，
因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 ，就可把 9x2－6x＋1 因式分解.
解： 9x2－6x＋1
= (3x－1)2.
= (3x)2－2 · 3x · 1 + 12
议一议：与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？
x2±2xy＋y2=(x±y)2
1、必须是三项式（三项）；
2、两项都能写成平方的形式（两个平方），符号相同；
3、两底数乘积积的2倍放中间，符号既可以为正也可以为负.
能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
例6 把下列多项式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2.
解：(1) －4x2＋12xy－9y2
＝－(4x －12xy＋9y )
＝－[(2x) －2·2x·3y＋(3y) ]
＝－(2x－3y) .
分析：(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为
－(4x2－12xy＋9y2)
然后再利用公式因式分解.
例6 把下列多项式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2.
解：(2) x5＋2x3y＋xy2
＝x(x4＋2x y＋y )
＝x[(x ) ＋2·x ·y＋y ]
＝x(x ＋y) .
分析：(2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解；
例7 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解.
解： x4－2x2＋1
＝(x ) －2·x ·1＋1
＝(x －1)
归纳：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号．
注意:分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
到这一步，因式分解完了没有呢？
＝[(x＋1)(x－1)]
＝(x＋1) (x－1) .
可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y) －4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试.
分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 - 4m + 4.
解：(x＋y) －4(x＋y)＋4
＝(x＋y) －2·(x＋y)·2＋2
＝(x＋y－2) .
归纳：完全平方公式中的x、y无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方式的形式，就能用完全平方公式因式分解.
利用完全平方公式因式分解
公式
a2±2ab＋b2 = (a±b)2
特点
(1)要求多项式有三项；
(2)其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负.
1.下面的多项式能否用完全平方公式分解因式？说明理由.
（1） x2 - 12xy + 36y2； （2） x2 - 10x - 25；
（3） 9x2 y2 - 3xy + 1； （4）-2xy - x2 - y2.
解：(1)能用，符合完全平方公式分解因式的结构特点.
(2)不能用， x2 与-25不同号.
(3)不能用，- 3xy不是首尾项之积的2倍.
(4)能用，符合完全平方公式分解因式的结构特点.
2.因式分解：
（1） ；
解：(1)原式
.
（2） .
(2)
.
3.利用完全平方公式简便计算：
(1) 1002 - 2×100×99 + 99 ； (2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 - 99)
(2) 原式 = (34 + 16)2
= 1.
= 2500.
4.已知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29＝0，求 x2y2 + 2xy + 1 的值.
解：由题可知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29
因为 (x - 2)2 ≥ 0，(y - 5)2 ≥ 0，
所以 x - 2＝0，y - 5＝0，
所以 x＝2，y＝5.
所以 x2y2 + 2xy + 1 ＝ ( xy + 1 )2＝ 112 ＝ 121.
几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0
＝ x2 - 4x +4+ y2 - 10y + 25
＝ (x - 2)2 + (y - 5)2＝0，

展开更多......

收起↑