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第1章 因式分解
1.3 课时3 十字相乘法与分组分解法
1. 掌握分组分解法的分组原则及十字相乘法的操作步骤.
2. 能准确识别适用于十字相乘法和分组分解法的多项式，熟练运用这两种方法进行因式分解.
整式乘法
因式分解
一个多项式
几个整式的积
1.因式分解和整式乘法的关系是？
2.什么是提公因式法和公式法？
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法.
知识点1：十字相乘法因式分解
探究1：计算下列各式：
(1) (x + 2 )(x + 3) = ___________；
(2) (x + 1)(x - 4) =____________；
(3) (x + 4 )( x - 2) =____________；
请你根据上面的算式填空，你发现了什么？
(1) x2 + 5x + 6 = ______________ ；
(2) x2 - 3x - 4 =_______________；
(3) x2 + 2x - 8 =_______________；
x2 + 5x + 6
x2 - 3x - 4
x2 + 2x - 8
( x + 2 )( x + 3 )
( x + 1 )( x - 4 )
( x + 4 )( x - 2 )
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}多项式
常数项
一次项的
系数
分解因式
x2 + 5x + 6
6
5
(x + 2)(x + 3)
x2 - 3x - 4
- 4
- 3
(x + 1)(x - 4)
x2 + 2x - 8
- 8
2
(x + 4)(x - 2)
x2 + (p + q)x + pq =
规律
(x + p)
(x + q).
2×3
2 + 3
1×(-4)
1 + (-4)
4×(-2)
4 + (-2)
可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解.
x2 + (p + q)x + pq
x
x
p
q
x2 + (p + q)x + pq=(x+p)(x+q)
注意：1.拆两边；2.十字交叉相乘再相加；3.是否等于中间项.
二次项系数为1时
这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法.
例1 分解因式：x2－5x＋6.
解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为－2，－3，它们的乘积等于常数项6，交叉数的乘积之和为1×(－3)＋1×(－2)＝－5，它是一次项的系数，因此
x?－5x－6＝(x－2)(x－3)
1
1
－2
－3
探究2：计算下列各式：
(1) (x－1)(2x－5) = ___________；
(2) (3x＋1)(x＋3) =____________；
(3) (dx＋m)(ex＋n)=____________________；
请你根据上面的算式填空，你发现了什么？
(1)2x?－7x＋5= ______________ ；
(2) 3x?＋10x＋3 =_______________；
(3) dex?＋(em＋dn)x＋mn =______________；
2x?－7x＋5
3x?＋10x＋3
dex?＋(em＋dn)x＋mn
(x－1)(2x－5)
(3x＋1)(x＋3)
(dx＋m)(ex＋n)
dex?＋(em＋dn)x＋mn
dx
ex
m
n
dex?＋(em＋dn)x＋mn =(dx+m)(ex+n)
二次项系数不为1时
例2 把多项式 10x?＋23x＋12 因式分解.
解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，5，右上角和右下角分别写3，4，左边两个数的乘积等于二次项系数10，右边两个数的乘积等于常数项12，交叉数的乘积之和为2×4＋5×3＝23，它是一次项的系数，因此
10x?＋23x＋12＝(2x＋3)(5x＋4)
2
5
3
4
把下列多项式因式分解：
(1) x2－4x－5； (2) 6x2＋11x＋3.
解：(1) x2－4x－5＝(x＋1)(x－5)
(2) 6x2＋11x＋3＝(2x＋3)(3x＋1).
1
1
1
-5
2
3
3
1
例3 把多项式 x3－x?－x＋1 因式分解.
分析：x3－x?－x＋1 既不能直接使用提公因式法或公式法进行因式分解，也不能运用十字相乘法. 但若将其恰当分组，如分为 x3－x? 与 －x＋1 两组，则可继续进行因式分解.
知识点2：分组分解法因式分解
解：x3－x?－x＋1＝(x3－x?)－(x－1)＝x?(x－1)－(x－1)
＝(x－1)(x?－1)＝(x－1)(x＋1)(x－1)
＝(x＋1)(x－1)?.
归纳：因式分解有时需要先分组，分组后利用提取公因式或运用公式进行分解.
四项式的分组分式：
二、二分组：既可运用提公因式法，又可将平方差公式和提公因式法混合使用.（如x2?y2+ax+ay ）
一、三分组：主要运用完全平方公式和平方差公式.(如a2+2ab+b2?c2 )
?
利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法.
把下列多项式因式分解：
(3) x?－y?－3x－3y； (4) x?－10x＋25－y?.
解：(3) x?－y?－3x－3y
＝(x?－y?)－(3x＋3y)
＝(x－y)(x＋y)－3(x＋y)
＝(x＋y)(x－y－3).
(4) x?－10x＋25－y?
＝(x?－10x＋25)－y?
＝(x－5)?－y?
＝(x－5＋y)(x－5－y).
十字相乘法与分组分解法
十字相乘法公式
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
ax?＋bx＋c＝(dx＋m)(ex＋n)
一分：先分组；
二提：公因式；
三套：公式；
四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
分组分解法步骤
1.用分组分解法将x2?xy+2y?2x分解因式，下列分组不恰当的是( )
A．(x2?2x)+(2y?xy) B．(x2?xy)+(2y?2x)
C．(x2+2y)+(?xy?2x) D．(x2?2x)?(xy?2y)
2.下列六个多项式中，在实数范围内，能因式分解的有( )个
①????2+2?????15???②????2+1???③????2?6????+9???④????2+5??????
⑤????2?2???⑥2????2?6????3
A．3 B．4 C．5 D．6
?
C
B
3.若因式分解得：????2+????????+????=(????+5)(?????3)，则????、????的值为( )
A．????=2，????=?15
B．????=8，????=?15
C．????=?2，????=15
D．????=2，????=15
?
A
4.因式分解：(1)????4?????2+4?????4
?
解：(1)原式=????4?????2?4????+4
=????22??????22
=????2+?????2????2?????+2
=?????1????+2????2?????+2
?
(2)3ax＋4by＋4ay＋3bx.
(2)原式＝(3ax＋3bx)＋(4by＋4ay)
＝3x(a＋b)＋4y(a＋b)
＝(a＋b)(3x＋4y)
5. 已知整式 A = x(x＋3)＋5，整式 B = ax－1.
(1) 若 A＋B＝(x－2)2，求 a 的值；
(2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值.
解：(1) 因为A＋B＝x(x＋3)＋5＋ax－1＝x2＋(3＋a)x＋4，
且 A＋B＝(x－2)2＝x2－4x＋4，
所以 3＋a＝－4.
a＝－7.
(2) 因为A－B＝x(x＋3)＋5－(ax－1)＝x2＋(3－a)x＋6，
且 A＋B＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6，
所以 3－a＝－5.
a＝8.

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