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5.4.3正切函数的图象与性质课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．已知，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．利用三角函数图象，求出中的取值范围（ ）
A．， B．，
C． D．，
5．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知（其中为常数且），如果，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
8．已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（多选）已知函数，则（ ）
A．的一个周期为 B．的定义域为
C．是增函数 D．
10．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数是偶函数
11．已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．在上不单调 D．，有4个零点
三、填空题
12．函数的值域是 .
13．已知函数在单调递增，则的取值范围为 ．
14．已知，若，则 ．
四、解答题
15．已知函数的图象过点．
(1)求的单调递增区间；
(2)求不等式的解集．
16．已知函数在上单调递增.
(1)求的取值范围；
(2)若，求的单调递增区间；
(3)若，求的最小正周期.
17．已知函数的最小正周期为．
(1)求函数的单调区间；
(2)解不等式：．
18．设函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)求不等式的解集.
19．已知函数．
(1)若，求函数的定义域及最小正周期；
(2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围．
参考答案
一、单项选择题
1．C
【分析】思路一：由三角函数性质即可求解；思路二：作出的图象即可判断.
【详解】方法一：，又．
方法二：数形结合，如图，作出函数在上的图象，
，则的纵坐标分别对应，
则，．

故选：C.
2．A
【分析】根据题意分别判断充分性，必要性从而可求解.
【详解】必要性：若，则，，故必要性不满足；
充分性：若，则，故充分性满足；
故“”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故选：A.
3．C
【分析】画出函数的图象结合图象可得答案.
【详解】的零点个数就是方程根的个数，
也就是与图象交点的个数，
在同一直角坐标系中作出函数图象如下图所示，
据图象可以看出两个函数图象有三个交点.
故选：C．
4．D
【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象与性质求解不等式.
【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是，
所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，.
故选：D
5．A
【分析】由为奇函数化简不等式，再结合函数的单调性及定义域进行求解即可.
【详解】∵设，，所以为奇函数.
易知在区间上单调递增，所以在区间上单调递增.
因为不等式，即得，
所以，所以，
因为函数的定义域为，所以且，
所以，
又函数在区间上单调递增，
∴由得，，解得.
故选：A.
6．C
【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得.
【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数，
则有，解得，又因，故.
故选：C.
7．B
【分析】构造函数，则函数是奇函数且周期为，先求得，进而得到的值.
【详解】设，
则，
则函数是奇函数；
，
则函数是周期为的周期函数；
由，可得，则，
所以，
则
故选：B .
8．A
【分析】作出函数的简图，结合图象及对称性可得答案.
【详解】设，作出的简图，
不妨设，由正弦函数的对称性可知，
由图可知，即，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
二、多项选择题
9．AD
【分析】利用周期的定义可判断A，由正切函数的定义域可判断B，由正切函数的单调性可判断C，结合单调性可判断D.
【详解】因为，所以的一个周期为，A正确；
由，解得，所以的定义域为，B错误；
不能说正切函数在定义域内是增函数，C错误；
由，解得，当时，可得在上单调递增，所以，D正确．
故选：AD
10．CD
【分析】对于A，易得不是的周期；对于B，时，，根据单调性即可判断B；对于C，判断是否成立即可；对于D，根据定义法判断奇偶性即可.
【详解】A错，由于，，因此，
即的最小正周期不是．
B错，当时，，则函数在区间上是减函数．
C对，，
因此函数的图象关于直线对称．
D对，易知的定义域关于原点对称，由于，
因此函数是偶函数．
故选：CD.
11．ABD
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用函数对称性的定义可判断D选项.
【详解】对于A，易得的定义域为.
，
所以是偶函数，故A正确；
对于B，因为
，所以的一个周期是，故B正确；
对于C，看成由，和复合而成，
又，单调递增且，单调递减，
所以在上单调递减，故C错误；
对于D，同理可得在上单调递增，易得简图如下：
又的最大值为
，所以，与有4个交点，
故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．
【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果.
【详解】函数.
，令.
函数在上单调递增，
，即，
，
函数的值域为.
故答案为：
13．
【分析】根据给定的区间，结合正切函数的单调区间来确定的取值范围即可.
【详解】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得，
的取值范围为．
故答案为：.
14．1
【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出目标值.
【详解】函数，而，
则
，
所以.
故答案为：1
四、解答题
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据图象过点，结合，可得，再利用正切型函数的单调性代入求解即可；
（2）根据正切型函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）∵的图象过点，
∴，∵，∴，∴．
令，得，
即．
∴函数的单调递增区间为．
（2）由（1）知，．由，
得，即．
∴不等式的解集为.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合正切函数的单调性求解出的取值范围即可；
（2）利用正切函数的单调区间求解出要求的函数的单调区间即可；
（3）结合小问（1）求解出的最小正周期即可.
【详解】（1）当，，
因为在上单调递增，
所以，所以，
所以的取值范围为.
（2）若，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为：.
（3）若，则，得
则，，解得，，
又因为，所以，
的最小正周期为.
17．(1)单减区间为，无增区间
(2)
【分析】（1）求出，得到函数解析式，令，求出递减区间，无递增区间；
（2）得到，结合图象，得到不等式解集.
【详解】（1），故，解得，
故，其中的递增区间为的递减区间，
令，解得，
故的递减区间为，无递增区间；
（2），，故，
，，解得.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用整体代入法，根据正切函数的定义域，即可求出结果；
（2）利用整体代入法，根据正切函数的单调性，即可求出结果；
（3）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果.
【详解】（1）函数中，
令，，解得，，
所以函数的定义域为；
（2）由，
所以函数的单调递增区间为 ，
（3）不等式可化为，
解得，，
即，；
所以不等式的解集为，
19．(1)，
(2)
【分析】（1）把代入，利用正切函数定义域及周期公式列式求解.
（2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得.
【详解】（1）当时，，则函数的最小正周期；
由，解得，
所以函数的定义域为．
（2）由，得，
由函数在区间内单调递增，得，解得，又，
所以的取值范围为．
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