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13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
第十三章　13.2　与三角形有关的线段
1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念并会运用.(重点)
2.了解三角形的重心的概念.
学习目标
情境引入
1.如何找线段AB的中点？
2.怎样画∠ACB的平分线？
3.“过一点画已知直线的垂线”，能画几条？怎样去画？
一、三角形的中线
知识梳理
1.定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的 .
符号语言：∵BD=CD，
∴AD是△ABC的边BC上的中线.
2.三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的
.
3.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分.
中线
重心
如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则
(1)AB=2　　　=2　　　，BD=　　　，AE=　　　；
例1
AF
BF
BC
CE
解析　∵AD，BE，CF是△ABC的三条中线，
∴AB=2AF=2BF，BD=BC，AE=CE.
(2)若S△ABC=3，则S△ABD=　　　.
1.5
解析　∵AD是△ABC的中线，S△ABC=3，
∴S△ABD=S△ABC=1.5.
如图所示，AD是△ABC的边BC上的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为
A.19 cm B.22 cm
C.25 cm D.31 cm
跟踪训练1
√
解析　∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.
∵△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，
∴△ACD的周长为25-6=19(cm).
二、三角形的角平分线
知识梳理
定义：如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的 .
符号语言：∵∠BAD=∠CAD，
∴AD是△ABC的角平分线.
注意点：(1)三角形共有三条角平分线，它们相交于三角形内一点.(2)角平分线是在角的内部将角分成相等两部分的射线，三角形的角平分线是线段.
角平分线
如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DF∥AB，EF交BD于点O.DO是△DEF的角平分线吗？请说明理由.
例2
解　DO是△DEF的角平分线，理由如下：
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠FBD，
∵DE∥BC，DF∥AB，
∴∠FBD=∠EDB，∠EBD=∠FDB，
∴∠EDB=∠FDB，
∴DO是△DEF的角平分线.
反思感悟
(1)角平分线是在角的内部将角分成相等两部分的射线.
(2)角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段.
(课本P9练习第2题)如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=　　 ；∠3=　 　；∠ACB=2　　　.
跟踪训练2
∠2
∠ABC
∠4
三、三角形的高
问题　你还能画出锐角三角形其他的高吗？还能画出几条高？这几条高有什么特征？
提示　可以，还可画出2条；3条高交于一点.
知识梳理
1.定义：如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画 ，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线.三角形的高线简称三角形的 .
符号语言：∵AD⊥BC，
∴AD是△ABC的边BC上的高.
2.锐角三角形的三条高都在三角形的 ；
直角三角形的两条高分别与两条直角边重合；
钝角三角形有两条高在三角形的 .
垂线
高
内部
外部
作出三角形的三条高.
例3
解　如图，AD，BE，CF即为所求.
反思感悟
三角形任意一边上的高必须满足：
(1)过三角形的一个顶点.
(2)为顶点到其对边所在直线的垂线段.
下面四个图形中，作△ABC的边AB上的高，正确的是
跟踪训练3
√
解析　根据三角形高线作法逐项分析判断如下：
边AC上的高，A不符合题意；
边AB上的高，B符合题意；
不是△ABC的高，C不符合题意；
边BC上的高，D不符合题意.
四、三角形的高、中线、角平分线的综合应用
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.
(1)△ABC，△ADC有没有共同的高线？如果有，画出这条高线；
例4
解　有，如图，
∵△ABC，△ADC有公共顶点A，过点A画AE⊥BC，
则AE⊥CD，
∴AE是△ABC，△ADC共同的高线.
(2)△ABD与△ADC的面积相等吗？请说明理由.
解　相等，理由如下：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴S△ADC=CD·AE=BD·AE=S△ABD，
即△ABD与△ADC的面积相等.
(课本P10习题13.2第7题)如图，在△ABC中，若AB=2，BC=4，则△ABC的高AD与CE的比是多少？(提示：利用三角形的面积公式)
跟踪训练4
解　S△ABC=AB·CE=BC·AD，
∵AB=2，BC=4，
∴×2·CE=×4·AD，
∴=.
三角形的高、中线与角平分线的比较
名称 基本图形 画法 性质
高 用直角三角板过点A画BC的垂线 三条高线相交于三角形内部、外部或边上一点
中线 用直尺连接点A和BC的中点D 三条中线相交于三角形内一点，且把三角形分成面积相等的两部分
角平分线 利用量角器画角的平分线的一部分 三条角平分线相交于三角形内一点
1.下列说法正确的是
A.三角形的三条高都在三角形内部
B.三角形的三条中线相交于一点
C.三角形的三条角平分线可能在三角形内部，也可能在三角形外部
D.三角形的角平分线是射线
√
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，图中线段可以作为△ABC的高的有
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
√
3.下列是真命题的是
A.过三角形的顶点和它对边中点的直线，是三角形的中线
B.三角形的角平分线其实就是角的平分线
C.三角形的高就是顶点到对边的垂线
D.三角形的三条中线的交点叫作重心，重心一定在三角形内部
√
解析　连接三角形的顶点和它对边中点的线段，是三角形的中线，故本选项命题是假命题，A不符合题意；
三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线，三角形的角平分线是顶点与角的平分线与对边交点之间的线段，故本选项命题是假命题，B不符合题意；
三角形的高就是顶点到对边的垂线段，故本选项命题是假命题，C不符合题意；
三角形的三条中线的交点叫作重心，重心一定在三角形内部，故本选项命题是真命题，符合题意.
4.如图，在△ABC中，AB=BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形三边的长.
解　∵AD为中线，
∴BD=DC，
∵AB=BC，
∴AB=2BD=2DC，
设BD=x，AC=y，
当AB+BD=15，即3x=15时，则AC+CD=12，即x+y=12，
∴x=5时，y=7；
当AB+BD=12即3x=12时，则AC+CD=15，即x+y=15.
∴x=4时，y=11.
∴AB=10，BC=10，AC=7或AB=8，BC=8，AC=11.
10+7=17>10，10-7=3<10，则能构成三角形；
8+8=16>11，11-8=3<8，则能构成三角形，
∴这个三角形的三边的长分别为10，10，7或8，8，11.
本课结束

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