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(共21张PPT)
14.2　三角形全等的判定(5)
第十四章　全等三角形
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.(难点)
2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角
三角形全等.(重点)
学习目标
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
SSS：三边分别相等的两个三角形全等.
旧识回顾
目前为止，我们学过几种判定三角形全等的方法？
本节课我们学习判定三角形全等的最后一个基本事实：HL(斜边直角边).
校元旦晚会的舞台背景是由两个直角三角形形状的KT板展板一左一右组成，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都
各有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮工作人员想个办法吗？
情境导入
用“HL”(斜边、直角边)判定三角形全等
思考探究：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
C
B
A
AC
BC
AB
前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？
新知探究
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.
由三角形全等的条件可知，对于两个直角
三角形，满足一直角边及其相对(或相邻)的
锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形
就全等了.
新知探究
用“HL”(斜边、直角边)判定三角形全等
C
B
A
如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形
全等吗？
如图，若我们已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.
A
B
C
D
E
F
但如果这两个三角形都是直角三角形，
即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，
现在能判定△ABC≌△DEF吗？
新知探究
A
B
C
A′
N
M
C′
B′
我们任意的在纸上画一个Rt △ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？这两个三角形全等吗？
新知探究
画法：
(1)画∠MC′N=90°；
(2)在射线C′M上取B′C′=BC；
(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，
交射线C′N于点A′；
(4)连接A′B′.
如图，由∠C=∠C′=90°可知：
点C与点C'重合，射线C'A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.
由B'C'=BC，可知点B'与点B重合.
C'
A'
B'
C
A
B
(C')
(B')
新知探究
为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的
连线和边AB的大小关系.
设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM，
则∠BMA>∠C，∠BMA是钝角.
若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M′，
则有AB>BM′>BM.
设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN>AB.
新知探究
C
A
B
(C')
(B')
M
M'
N
(A')
因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.
再由点A′在射线CA上，A′B′=AB，可知点A′与点A重合.
这样，△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，
△A′B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C'≌△ABC.
在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法.
新知探究
C
A
B
(C')
(B')
M
M'
N
(A')
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
A
B
C
A′
B′
C′
∴Rt△AB′C′≌Rt△ABC(HL).
新知探究
1.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.
求证： Rt△ABE≌Rt△CBF.
分析：根据AB=CB，∠ABE=∠CBF=90°，AE=CF，
可利用“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CBF.
证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”.
典例精析
C
A
B
F
E
2.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.
求证：BC=AD.
D
A
B
C
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
典例精析
1.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和
△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE. 求证：BC=BE.
证明：∵AD，AF分别是两个
钝角△ABC和△ABE的高，
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴CD=EF.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多.使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.
当堂检验
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.
∴BD－CD=BF－EF.
即BC=BE.
2.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿
两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB.
D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
解：D、E与路段AB的距离相等.
理由：∵C是路段AB的中点，
∴AC=BC，
又∵两人同时同速度出发，并同时到达D，E两地.
∴CD=CE，
当堂检验
又DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL).
∴DA=EB，
即D、E与路段AB的距离相等.
当堂检验
A
B
C
D
E
3.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证：AE=DF．
A
B
C
D
E
F
证明：∵CE=BF，
∴CE－EF=BF－EF，
即CF=BE.
又∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC=∠AEB=90°.
注：等边加(减)等边，其和(差)还是等边，
等角加(减)等角，其和(差)还是等角.
在Rt△DFC和Rt△AEB中，
∴Rt△DFC≌Rt△AEB(HL).
∴AE=DF.
当堂检验
1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写
成“斜边、直角边”或“HL”).
斜边、直角边 (HL) 如图所示，
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).

课堂总结
2.判定两个直角三角形全等的思路
已知对应相等 的元素 可选择的判定 方法 需寻找的条件
一锐角 ASA或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等.
斜边(H) HL或 AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角
对应相等.
一直角 边(L) HL或ASA或AAS或 SAS 可证斜边对应相等或证已知边相邻的
锐角对应相等或证已知边所对的锐角
对应相等或证另一直角边对应相等.
课堂总结
结
本
束
课

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