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第十四章　全等三角形
14.1　全等三角形及其性质
14.1　全等三角形及其性质
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
观察
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
观察
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
观察
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
思考：他们能完全重合吗？
观察
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
思考：他们能完全重合吗？
观察
每组的两个图形有什么特点
完全重合
观察
把一块三角板按在纸上，画下图形，照图形剪下纸板.
剪下的纸板与三角板大小、形状完全相同吗？
他们能够完全重合吗？
想一想
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
概念
全等形包括规则图形和不规则图形全等.
两个图形全等，它们的形状一定相同 ，大小一定相等！
形状相同
大小相同
观察
下面三组图形，它们是不是全等图形？
为什么？
形状不同
观察
大小不同
观察
下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？
思考
B
A
C
N
P
M
A
C
B
D
E
下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？
思考
A
B
C
D
C
B
A
D
E
下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？
思考
B
D
C
一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等.
A
B
C
E
D
F
1.能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形.
E
D
F
2.把两个三角形重合到一起．
重合的顶点叫做对应顶点，
重合的边叫做对应边，
重合的角叫做对应角.
全等三角形的概念
对应顶点是点A和点D，
点B和点E，点C和点F；
对应边是AB和DE，
AC和DF，BC和EF;
对应角是∠A和∠D，
∠B和∠E,∠C和∠F，
A　
B
C
E
D
F
“全等”用符号“≌ ”表示，
图中的△ABC和△DEF全等，
记作:△ABC≌ △DEF，
读作:△ABC全等于△DEF.
全等三角形的表示
你能否直接从记作 ABC≌ DEF中判断出所有的对应顶点、对应边和对应角？
A
B
C
D
E
F
≌

≌
!
注意
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
S
O
T
D
C
N
M
O
A
B
两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有没有变化？由此你能得到什么结论？
寻找各图中两个全等三角形的对应元素.
观察与思考
E
A
D
C
B
F
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
如图：∵△ABC≌ △DFE，
∴ AB=DF， BC=FE，AC=DE.
几何语言：
∵△ABC≌ △DFE，
∴∠A=∠D，∠B=∠F，∠C=∠E.
D
E
F
A
B
C
图形语言：
全等三角形的性质
例题讲解，掌握新知
如图，△ABC≌△DCB，指出所有的对应边和对应角.
O
D
C
B
A
解：∵△ABC≌△DCB，
∴AB与DC，BC与CB，
AC与BD是对应边，
∠A与∠ D，
∠ABC与∠DCB，
∠ACB与∠DBC是对应角.
例题讲解，掌握新知
O
D
C
B
A
图中△ABO≌△DCO，试写出这两个三角形中相等的边和相等的角.
解：∵△ABO≌△DCO，
∴AB=DC，BO=CO，AO=DO，
∠A=∠ D，
∠ABO=∠DCO，
∠AOB=∠DOC.
A
B
C
D
E
F
∵△ACB≌△DEF，
∴AB=DF， CB=EF，AC=DE.
∴∠A=∠D，∠CBA=∠F，∠C= ∠DEF.
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
探究交流
A
B
C
D
∵△ABC≌△ABD，
∴AB=AB，BC=BD，AC=AD.
∴∠BAC=∠BAD，
∠ABC=∠ABD，
∠C= ∠D.
规律一：有公共边的，公共边是对应边.
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角.
探究交流
A
C
D
B
∵△AOC≌△BOD，
∴AO=BO，AC=BD，OC=OD.
∴∠A=∠B，∠C=∠D，
∠AOC= ∠BOD.
规律二：有对顶角的，对顶角是对应角.
O
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角.
探究交流
A
B
C
D
E
∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，BC=DE，
∴∠A=∠A，∠B=∠D，
∠ACB= ∠AED.
规律三：有公共角的，公共角是对应角.
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角.
探究交流
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
∵△ABC≌△FDE，
∴AB=FD，AC=FE，BC=DE，
∴∠A=∠F，
∠B=∠D，
∠ACB= ∠FED.
规律五：一对最大的角是对应角，
一对最小的角是对应角.
A
B
C
F
D
E
规律四：一对最长的边是对应边，
一对最短的边是对应边.
探究交流
3.有公共角的，公共角一定是对应角.
4.对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角．
5.在两个全等三角形中最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角.
1.有公共边的，公共边一定是对应边.
2.有对顶角的，对顶角一定是对应角.
规律
如图, △ABD ≌ △EBC.
D
A
B
C
E
2.如果AB=3cm，BC=5cm，求BE、BD的长.
∴BE=3cm，BD=5cm.
解：∵△ABD ≌ △EBC，
∴AB=EB，BC=BD，
∵AB=3cm，BC=5cm，
1.请找出对应边和对应角.
AB 与 EB、BC与BD、AD与EC，
∠A与∠BEC、∠D与∠C、∠ABD与∠EBC.
课堂练习
如图,，△EFG≌△NMH.
2.如果EF=2.1cm，EH=1.1cm，HN=3.3cm， 求NM、HG的长.
∴HG=EG-HG=3.3-1.1=2.2.
解：∵△EFG ≌ △NMH，
∴NM=EF=2.1，EG=HN=3.3，
1.请找出对应边和对应角.
N
M
F
G
E
H
课堂练习
△ABD≌△ACE，若∠ADB=100°，∠B=30°，
说出△ACE中各角的大小？
A
B
C
D
E
解：∵ △ABD≌△ACE，
∴∠AEC= ∠ADB=100 ° ，
∠C= ∠B=30 ° ，
又∵∠A+∠AEC+∠C=180°，
∴∠A=180 ° - ∠AEC- ∠C，
=180 ° -100 ° -30°=50 °.
课堂练习
如图,已知△ AOC ≌ △BOD，
求证：AC∥BD.
能力提高
证明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠A= ∠B，
∴ AC∥BD.
把四边形ABCD纸片沿EF折叠使点C落在四边形ABCD内部，如图,则∠C与∠1+∠2之间的一种数量关系始终保持不变，这个规律是( )
∠C=∠1+∠2
2∠C=∠1+∠2
3∠C=∠1+∠2
3∠C=2(∠1+∠2)
A
B
C
D
1
2
E
F
C′
B
能力提高
互相重合的角叫做__________.
互相重合的边叫做__________.
其中：互相重合的顶点叫做__________.
2.___________________________叫全等三角形.
1.能够重合的两个图形叫做 .
全等形
4.全等三角形的 和 相等.
对应边
对应角
对应顶点
课 堂 小 结
能够完全重合的两个三角形
3.“全等”用符号“____”来表示，读作“ ”.
对应边
对应角
5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上.
全等于
≌
本课结束

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