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?5　三元一次方程组
第五章　二元一次方程组
学习目标
1.理解三元一次方程(组)的定义，会判断一个方程组是不是三元一次方程组；
2.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会消元思想.(重难点)
复习回顾
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元.
化归转化思想
消元法：代入消元法和加减消元法.
情境引入
问题1：已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
我们知道当问题中有两个未知数，两个等量关系时，可以列二元一次方程组解决.
但上述问题中有几个未知数，几个等量关系，该如何设未知数呢？
有三个未知数，三个等量关系，因此可以设三个未知数.
新课讲授
在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，
????+????+????=23，?????????=1，2????+?????????=20.
?
问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
未知数的次数都是1.
含两个未知数，
?????????=1.
?
二元一次方程
如何命名呢？
未知数的次数都是1.
含三个未知数，
????+????+????=23.
?
2????+?????????=20.
?
探究一：三元一次方程(组)的概念
由题意可得到方程组：
知识归纳
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
在这个方程组中，????+????+????=23和2????+?????????=20都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.
?
三元一次方程：
三元一次方程组：
小牛试刀
1.下列方程组中，是三元一次方程的是(　　)
A.????????+????=1 B.????+????2+????2=0
C.1????+????+????=0 D.53????+2?????????=2
?
D
小牛试刀
2.下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　)
A.????+????+????=3，????+????+3????=4，????+????+????=5 B.????+????+????=0，????+2????????=18，?????2????=11
C.????+????+????=3，?????????+????=0，????=????+4 D.????+????=3，????+1????=4，????+????=5
?
C
新课讲授
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
思考：怎样解三元一次方程组呢？
????+????+????=23，?????????=1，2????+?????????=20.
?
我们会解二元一次方程组，能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
用代入消元法试一试！
探究二：求解三元一次方程组
新课讲授
解：由方程②得x=y+1，　　　　　④
把④分别代入①③，得2y+z=22， ⑤
3y-z=18，　　　　　　　　　　　 ⑥
把y=8代入④，得x=9.
经检验，x=9，y=8，z=6适合原方程.
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得????=8，????=6.
?
所以原方程组的解是????=9，????=8，????=6.
?
消去了未知数x，变成二元一次方程组了！
检验可以口算或在草稿纸上演算，以后可以不必写出.
解方程组：
????+????+????=23，　①?????????=1，　　　?②2????+?????????=20.　③
?
新课讲授
做一做：(1)解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数y(或z)，从而得到方程组的解吗？
(2)你还有其他方法吗？与同伴进行交流.
解：(1)由方程②可变形为y=x-1，代入①和③中，可以先消去y.
议一议：上述不同的解法有什么共同之处？与二元一次方程组的解法有什么联系？解三元一次方程组的思路是什么？
(2)可以先利用加减消元，由方程①+③可消去z，得3x+2y=43，
再与方程②联立即可求出x，y的值，进而求出z的值.
知识归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
小牛试刀
3.解方程组3?????????+????=4，?????①2????+3?????????=12，②????+????+????=6，???????③时，第一次消去未知数的最佳
方法是(　　)
A.加减法消去x，①-③×2与②-③×2
B.加减法消去y，①+③与①×3+②
C.加减法消去z，①+②与③+②
D.代入法消去x，y，z中的任何一个
?
C
典例分析
例1.解方程组：????+?????????=?5，①????+?????????=?1，②????+?????????=15.?????③
?
解：由①+②，得2y=-6，解得y=-3，
②+③，得2x=14，解得x=7，
把x=7，y=-3代入①，得-3+z-7=-5，解得z=5，
∴原方程组的解为????=7，????=?3，????=5.
?
典例分析
例2.一个三位数，各位数字之和是14，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2，求这个三位数.
解：设个位数字是x，十位数字是y，百位数字是z.
答：这个数是275.
????+????+????=14，????+????=????，7????=????+????+2.
?
解得????=5，????=7，????=2.
?
学以致用
1.下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　)
A.2????=5，????2+????=7，????+????+????=6 B.3?????????+????=?2，?????2????+????=9，????=?3
C.????+?????????=7，????????????=1，?????3????=4 D.????+????=9，????+????=1，????+????=9
?
D
学以致用
2.已知x，y，z满足方程组????+????=1，①????+????=5，②????+????=2，③则x+y+z的值为(　　)
A.4 B.5 C.8 D.10
?
A
3.解三元一次方程组?????????+????=?3，①????+2?????????=1，?②????+????=0，???????????③要使解法较为简单，
首先应进行的变形为(　　)
A.①+② B.①-② C.①+③ D.②-③
?
A
学以致用
4.小华到学校超市买铅笔11支，作业本5本，笔芯2支，共花12.5元；小刚在这家超市买同样的铅笔10支，同样的作业本4本，同样的笔芯1支，共花10元.则买这样的铅笔1支、作业本1本、笔芯1支共需 元.
2.5
0
5.若????=1，????=?2，????=2是三元一次方程4?????(?????1)????+2????=6的一组解，则m的值为 .
?
课堂小结
三元一次方程组
含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.
共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
三元一次方程(组)的概念
三元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
“消元法”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”.
三元一次方程组的解法
谢谢观看！

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