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2024-2025学年黑龙江省鸡西二中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 2 条路，那么从甲地经乙地到丙地共有( )种不同的走法．
A. 3 B. 5 C. 6 D. 8
2.某班有男生 25 人，女生 20 人，现从中任选一名学生担任数学课代表，则不同的选法有( )
A. 25 种 B. 20 种 C. 45 种 D. 500 种
3 ( ) = 1.已知 3 , ( ) =
1
6，则 ( | ) =( )
A. 1 1 1 12 B. 3 C. 6 D. 9
4.设随机变量 的分布列为 ( = ) = ( +1) ( = 1,2,3 且 为常数)，则 (0.5 < < 2.5) =( )
A. 89 B.
6
7 C.
7
8 D.
5
6
5.从 0，1，2，3，4，5 共六个数字中选出四个数，组成没有重复数字的四位数，其中偶数有( )个．
A. 156 B. 108 C. 360 D. 180
6.一个口袋中有 2 个白球和 3 个黑球，从中任取 2 个球，设 表示取到白球个数，则 的分布列为( )
A. ( = 0) = 3 610 , ( = 1) = 10 , ( = 2) =
1
10
B. ( = 0) = 1 , ( = 1) = 6 , ( = 2) = 310 10 10
C. ( = 0) = 3 1 610 , ( = 1) = 10 , ( = 2) = 10
D. ( = 0) = 610 , ( = 1) =
3 , ( = 2) = 110 10
7.已知事件 ， ，且 ( ) = 12 , ( ) =
2 2
3 , ( | ) = 3，则 ( )等于( )
A. 1 B. 46 9 C.
1
2 D.
5
6
8.从 0，2，3，4，5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数，其中奇数个数为( )
A. 36 B. 30 C. 24 D. 18
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于( 2 )6 的展开式，下列结论正确的是( )
A.各项系数之和为 1 B.二项式系数之和为26
C.存在常数项 D. 4的系数为 24
10.关于条件概率与全概率公式，下列说法正确的是( )
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A.条件概率 ( | )表示在事件 发生的条件下，事件 发生的概率
B.全概率公式是将一个复杂事件的概率分解为若干个互斥事件的概率之和
C.若 … 1 2 是样本空间 的一个划分，则 ( ) = =1 ( ) ( | )
D.条件概率满足概率的基本性质
11 ( 1.若 ) 的展开式中存在常数项，则 的取值可以是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
12.从 4 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加某项活动，其中至少有 1 名女生的选法共有______种.
13.已知 ( ) = 0.3， ( ) = 0.4， ( ) = 0.2，则 ( | ) =______．
14.已知等差数列{ }，若 1 = 7， 10 = 10，则 50 = ______．
15.已知 = 5，在 = 3 处的导数______．
四、解答题：本题共 6小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 12 分)
从 0、1、2、3、4 这五个数字中任取三个不同的数字组成三位数，求：
(1)组成的三位数偶数的个数；
(2)组成的三位数中大于 200 的个数．
17.(本小题 12 分)
已知 ( ) = 14， ( | ) =
1 1
3， ( | ) = 2，求 ( )和 ( )．
18.(本小题 12 分)

求余弦曲线 = 在点( 2 , 0)的切线方程．
19.(本小题 12 分)
有 3 名男生，4 名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法种数．
(1)男生必须排在一起；
(2)男、女生各不相邻；
(3)甲乙两人中间必须有 3 人．
20.(本小题 12 分)
设离散型随机变量 的分布列为 ( = ) = ( +1)， = 1，2，3，4，其中 为常数．
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(1)求 的值；
(2) ( ≥ 2)．
21.(本小题 12 分)
某学校组织知识竞赛，共设 20 道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了 5 名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
20 0 100
19 1 94
18 2 88
14 6 64
10 10 40
(1)设答对一道题得 分，答错一道题得 分，求 ， 的值；
(2)若参赛者 的得分不低于 70 分，则他答对了几道题？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.31
13.0.5
14.22753
15.405
16.(1)当个位数字不为 0 时，个位数字只能从 2、4 中选一个，有 2 种选法；
百位数字不能为 0，所以百位数字可以从剩下的 3 个非 0 数字中选一个，有 3 种选法；
十位数字可以从剩下的 3 个数字中选一个，有 3 种选法．
根据乘法原理，此时组成的偶数个数为 2 × 3 × 3 = 18．
当个位数字为 0 时，
百位数字可以从 1、2、3、4这 4个数字中任选一个，有 4 种选法；
十位数字可以从剩下的 3 个数字中任选一个，有 3 种选法．
根据乘法原理，此时组成的偶数个数为 4 × 3 = 12 个．
将两种情况的个数相加，得到组成的三位数是偶数的总个数为 12 + 18 = 30 个．
(2)百位数字可以从 2、3、4 这 3 个数字中任选一个，有 3 种选法；
十位数字可以从剩下的 4 个数字中任选一个，有 4 种选法；
个位数字可以从剩下的 3 个数字中任选一个，有 3 种选法．
根据乘法原理，组成的三位数中大于 200 的个数为 3 × 4 × 3 = 36 个．
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17. 1 1解：根据题意， ( ) = 4， ( | ) = 3，
则 ( ) = ( ) ( | ) = 14 ×
1 1
3 = 12；
1
( | ) = ( ) ( ) = ( )又由 ，则 = 12 ( ) ( | ) 1 =
1
6．
2
故 ( ) = 1 112， ( ) = 6．
18.解：由题意， ′ = ，
则 ′| = = 1．2
故余弦曲线 = ( 在点 2 , 0)的切线斜率为 1．
∴切线方程为 = ( 2 )，
即 + 2 = 0．
∴ 余弦曲线 = 在点( 2 , 0)的切线方程为 + 2 = 0．
19.(1)第一步：男生必须排在一起，共有 33 = 6 种排法，
第二步：将 3 名男生看作一个整体，与 4 名女生进行排列，共有 55 = 120 种排法．
故根据分步乘法计数原理，男生必须排在一起的排法共有 6 × 120 = 720 种．
(2)若男女各不相邻，必须是 3 名男生将 4 名女生隔开，
第一步：将 4 名女生进行排列，共有 44 = 24 种排法，
第二步：将 3 名男生插入 4 名女生之间的 3 个空位中(两端除外，不合题意)，共有 33 = 6 种排法．
故根据分步乘法计数原理，男女各不相邻的排法共有 24 × 6 = 144 种．
(3)甲、乙两人中间必须有 3 人，
第一步：将甲、乙两人全排列，则共有 22 = 2 种情况，
第二步：在甲、乙两人中间插入 3 人，可以从剩下的 5 人中选出 3 人进行排列，共有 35 = 60 种排法，
第三步：将剩下的 2 人与排好的 5 人组成的整体进行排列，共有 33 = 6 种排法．
故根据分步乘法计数原理，甲、乙两人中间必须有 3 人的排法共有 2 × 60 × 6 = 720 种．
20.(1)根据题意，由 的分布列，有 ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) + ( = 4) = 1，

又由 ( = ) = ( +1)， = 1，2，3，4，则有1×2+ 2×3 + 3×4 + 4×5 = 1，
4
即2+ 6+ 12 + 20 = 1，变形可得：5 = 1，
即 = 54．
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(2) ( ≥ 2) = ( = 2) + ( = 3) + ( = 4) = 1 ( = 1)，
5
又由 ( = 1) = 4 51×2 = 8，所以 ( ≥ 2) = 1
5
8 =
3
8．
21.(1)由题意， 全部答对，总共得 100 分，总共有 20 道选择题，
因此每一题得分为 100 ÷ 20 = 5 分，
根据 答对 19 题，答错 1 题，得 94 分，因此答错一题扣分为 19 × 5 94 = 1 分．
综上所述， = 5， = 1．
(2)设一名参赛者 答对了 道题，答错了(20 )道题，
根据题意得 5 (20 ) ≥ 70，整理得 6 ≥ 90，解得 ≥ 15，
结合 为小于等于 20 的正整数，可知他答对的题目数为 15 或 16 或 17 或 18 或 19 或 20．
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