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1.3 第5课时 用边角关系判定三角形全等的应用
1.进一步掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法及其适用条件
2.能利用全等三角形的性质进行简单的推理
知识回顾
已知条件 选择的判定定理
两边及其夹角分别相等 SAS
两角及其夹边分别相等 ASA
两角及其中一角的对边分别相等 AAS
三边分别相等 SSS
两边及其中一边的对角分别相等的三角形不一定全等；SSA不是全等三角形的判定定理
例1 如图，点E在BD上，AB＝BC，AE＝CE. 求证：AD＝CD.
A
B
C
D
E
？
？
分析：
1. AD、CD属于哪两个三角形？
2. 证△ABD≌△CBD需要几个条件？
目前有哪些条件？还缺什么条件？
A
B
C
D
E
？
？
证法1：在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE(SSS).
∴∠ABE＝∠CBE.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴AD＝CD.
例1 如图，点E在BD上，AB＝BC，AE＝CE. 求证：AD＝CD.
A
B
C
D
E
？
？
证法2：在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE(SSS).
∴∠AEB＝∠CEB.
∴∠AED＝∠CED.
在△AED和△CED中，
∴△AED≌△CED(SAS).
∴AD＝CD.
例1 如图，点E在BD上，AB＝BC，AE＝CE. 求证：AD＝CD.
证明：在和中，
， .
在和中，
， .
1.如图，四边形 的对角线与相交于点，， .
求证： .
活学活用
例2 如图，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B，D，点C在BD上，AB＝CD，BC＝DE. 求证：AC与CE垂直且相等.
A
B
C
D
E
分析：
1. AC、CE属于哪两个三角形？
2. 在△ABC和△CDE中，有哪些条件？
3. 要证AC⊥CE，只要证哪个角是90°？
如何得到这个角是90°？
例2 如图，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B，D，点C在BD上，AB＝CD，BC＝DE. 求证：AC与CE垂直且相等.
A
B
C
D
E
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°.
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE (SAS).
∴∠A＝∠ECD，AC＝CE.
∵∠B＝90°，
∴∠A＋∠ACB＝90°.
∴∠ECD＋∠ACB＝90°.
∴∠ACE＝90°.
∴AC与CE垂直且相等.
2.如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF. 求证：BE∥CF.
解题思路：利用角的关系推出直线间的位置关系，角的关系一般由三角形全等得到，然后寻找判定三角形全等所需的条件.
证明： ∵ AB∥CD， ∴ ∠DCO＝∠ABO，∠CDO＝∠BAO.
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC(AAS). ∴ OB＝OC.
∵OA＝OD，AE＝DF，∴OA＋AE＝OD＋DF，即OE＝OF.
在△COF和△BOE中，∴△COF≌△BOE(SAS).
∴∠F＝∠E，∴ BE//CF.
你还有不同的方法证明吗？
活学活用
另解:
由△AOB≌△DOC，得AB＝DC，
由∠CDO＝∠BAO，得∠CDF＝∠BAE.
在△ABE和△DCF中，
所以△ABE≌△DCF(SAS).所以∠E＝∠F. 所以BE//CF.
活学活用
2.如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF. 求证：BE∥CF.
解题思路：利用角的关系推出直线间的位置关系，角的关系一般由三角形全等得到，然后寻找判定三角形全等所需的条件.
已知条件 是否全等 图形(或反例) 形式结论
三边
两边一角 两边夹角
两边对角 (非直角)
两角一边 两角夹边
两角对边
三角
SSS
SAS
ASA
AAS
是
是
否
是
是
否
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
1.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(　　)
A.甲和乙
B.乙和丙
C.只有乙
D.只有丙
B
2.如图，AB=AC，AD=AE，下列结论中错误的是(　　)
A.∠B=∠C
B.BD=CE
C.BE⊥CD
D.△ABE≌△ACD
C
3.如图，点B，F，C，E都在一条直线上，AC=DF，BC=EF.添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)
A.∠ACE=∠DFB
B.∠ACB=∠DFE
C.∠B=∠E
D.AB=DE
C
4.如图，已知，，要直接证明 .
（1）若以“ ”为依据，则可添加条件__________；
（2）若以“ ”为依据，则可添加条件_________；
（3）若以“ ”为依据，则可添加条件_______________.
5.在和中，与交于点 ，且，
（1）请说明： ；
（2）当 时，求 的度数.
解：（1）在和中， ，
，，，即.
在和 中， .
，
， ．

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