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浙教版九年级数学上册第3章《圆的基本性质》单元检测（解析版）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知⊙O的半径为5．若，则点与的位置关系是（ 　　）
A．点P在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断
【答案】C
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，（即点到圆心的距离，即圆的半径）．
【详解】解：∵，
∴点与的位置关系是点在圆外．
故选：C．
2．如图，在中，，的度数是（ 　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理．直接由圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
如图，在中，半径交弦于点，点为中点，
若，，则的长为（ 　　）
A．8 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．根据垂径定理，可得，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵点为中点，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．
4.如图，四边形内接于，若，则（ 　　）
A．80° B．130° C．50° D．100°
【答案】B
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，求出即可．掌握圆周角定理以及圆内接四边形的对角互补，是解题的关键．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∴；
故选B．
5．如图，，，，为上四点，若，则的度数是（ 　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
【答案】D
【分析】利用圆周角定理可求出∠C的度数，根据圆内接四边形的性质即可求出∠A的度数.
【详解】∵∠BOD=110°，
∴∠C=55°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°-55°=125°，
故选D.
如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，
连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ 　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．
【详解】连接DC，
∵
∴∠DOC=90°，OD=1，
∴∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选B．
如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，
两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，
若，则的长是（ 　　）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得．
【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
故选A．
8. 如图，将半径为的沿折叠，使得折痕垂直半径，
当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（ 　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，折叠的性质．根据点经过的三等分可求出、的长，延长交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长，根据垂径定理，勾股定理即可求解．
【详解】解：延长交于点，连接，
，
为的中点，
，，
，，，
，
，
在中，
，
，
，
故选：A．
9. 如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是（ 　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴．
∵，
∴．
∵绕顶点A顺时针旋转度后得到，
∴．
∴．
故选A．
10 .如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象．
①的半径为； ②A，B两点间的距离为；
③点P的运动速度为； ④的度数为．
以上说法正确的是（ 　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查的是动点图象问题，由题图②得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判定①、②、③，最后根据可对④进行判断．
【详解】解：由题图②得，当时，，即此时A、O、P三点共线，则的半径，故①正确，不符合题意；
当时，点P到达点B处，此时，
∴A、B两点间的距离为，故②正确，不符合题意；
点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为，
∴点P的运动速度是，故③正确，不符合题意；
当点P运动到点B时，，即，
∴是等边三角形，
∴，故④错误，符合题意．
综上，正确的说法是①②③．
故选：A．
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB于点C，则OC ＝___________
【答案】3cm
12．如图，内接于，是直径，若，则 _____ ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵内接于，是直径，
∴，
∵,，
∴
∴，
故答案为：．
13 .如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，
掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，若弧长为米，
“弓”所在圆的半径1．2米，则“弓”所对的圆心角的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键．直接利用弧长公式计算即可．
【详解】解： 设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，
则，
解得：，
故答案为：．
14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，
则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
【答案】（2，0）
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
所以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，
则圆心是（2，0），
故答案为：（2,0）．
15 .一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．
小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，
纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径．
【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于，
∴，，
由矩形的性质可知，，
∴三点共线，
设，则，
由勾股定理得，，即；
，即；
∵，
∴，
解得，，
∴或（舍去），
∴纸杯的直径是，
故答案为：．
如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结．
已知于点，；下列结论：
①； ②若点为的中点，则；
③若，则； ④；
其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出，由是的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点为的中点，得出，进而证明全等三角形的判定和性质，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②，连接，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出继而判断③；勾股定理得出，当时，，即可判断④．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴
故①正确，符合题意；
②∵点为的中点，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
③连接，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④∵，
∴，
当时，，
故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．如图，在中，弦、于点，且．求证：．
证明：∵，
∴，，
∴
在与中，
∵，
∴，
∴．
18.如图是我国古代园林的圆形拱门，它是的一部分．已知拱门的地面宽度，
它的最大高度，求构成该拱门的的半径．
【答案】构成该拱门的的半径为．
【分析】题目主要考查垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，结合图形求解即可．
连接．设的半径为，由题意可得，点O在上，在中，利用勾股定理即可得出的值．
【详解】解：连接．设的半径为，
根据题意得：，，
∴．
∵，
∴；
在中，由，
得．
解得：．
答：构成该拱门的的半径为．
如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．

连接，求的度数；
(2) 若，求的长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键．
（1）根据是直径，求出，再根据点D在上且平分，求出的度数；
（2）由题意得，利用勾股定理求出的长，即可求得的长．
【详解】（1）解：∵是直径，
∴，
∵点在上且平分，
，
；
（2）解：点D在上且平分，
，
，
，
，
．
如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，
连接．
求证：；
连接，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角是直角可得：，再根据已知易得：，然后证明，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：，再根据垂径定理可得：，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
(1)求证：为的中点．
(2)若＝，＝，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键．
（1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解；
（2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解．
【详解】（1）证明：是半圆的直径，
＝，
，
，
，
是半圆的半径，
为的中点；
（2）解：由（1）可知，＝，
是半圆的直径，
＝＝＝＝，
由（）可知，为的中点，
是的中位线，
＝＝，
＝﹣＝﹣＝，
即的长为．
22．如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；
（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．
【详解】证明：（1），
，
，
，
又,
四边形是平行四边形．
（2）如图，连接
，
四边形是的内接四边形
如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，
连结，，．
(1)求证：平分．
(2)如图2，延长，相交于点E．
①求证：．
②若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】(1)由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的三线合一证明结论；
(2)由直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，得结论；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，得，，求出，设的半径为r，由勾股定理求出符合题意的r值即可．
【详解】（1）证明∵点C为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分；
（2）①证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5．
24．如图1，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点．
(1)若，
①求所对圆心角的度数；
②连结，，求证：是等边三角形．
(2)如图2，若，，求的面积．
【答案】(1)①，②见解析
(2)
【分析】（1）①利用邻补角的意义和角平分线的定义解答即可；
②利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等边三角形的判定定理解答即可；
（2）连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质得到为等腰直角三角形，可求；利用等腰三角形的判定定理以及垂径定理得到，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）①解：，
．
所对圆心角的度数；
②证明：是的外角的角平分线，
．
，
，
为圆内接四边形的外角，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：连接并延长交于点，连接，，如图，
则，
，
为等腰直角三角形，
，
．
是的外角的角平分线，
，
为圆内接四边形的外角，
．
，
，
，
．
．
，
，
．
∴的面积为．
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浙教版九年级数学上册第3章《圆的基本性质》单元检测
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
已知⊙O的半径为5．若，则点与的位置关系是（ 　　）
A．点P在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断
2． 如图，在中，，的度数是（ 　　）
A． B． C． D．
如图，在中，半径交弦于点，点为中点，
若，，则的长为（ 　　）
A．8 B．5 C．4 D．3
如图，四边形内接于，若，则（ 　　）
A．80° B．130° C．50° D．100°
5．如图，，，，为上四点，若，则的度数是（ 　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，
连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ 　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，
两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，
若，则的长是（ 　　）
A． B．4 C．6 D．
8. 如图，将半径为的沿折叠，使得折痕垂直半径，
当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（ 　　）
A． B． C． D．
9. 如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是（ 　　）
A． B． C． D．
10 .如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象．
①的半径为； ②A，B两点间的距离为；
③点P的运动速度为； ④的度数为．
以上说法正确的是（ 　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB于点C，则OC ＝___________
12．如图，内接于，是直径，若，则 _____ ．
13 .如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，
掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，若弧长为米，
“弓”所在圆的半径1．2米，则“弓”所对的圆心角的度数为 ．
14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，
则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
15 .一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．
小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，
纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结．
已知于点，；下列结论：
①； ②若点为的中点，则；
③若，则； ④；
其中正确的是 ．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．如图，在中，弦、于点，且．求证：．
18. 如图是我国古代园林的圆形拱门，它是的一部分．已知拱门的地面宽度，
它的最大高度，求构成该拱门的的半径．
如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．

连接，求的度数；
(2) 若，求的长．
如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，
连接．
求证：；
连接，若，求的度数．
21．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
求证：为的中点．
若＝，＝，求的长．
22．如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，
过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，
连结，，．
求证：平分．
(2) 如图2，延长，相交于点E．
① 求证：．
② 若，，求的半径．
24．如图1，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点．
若，
① 求所对圆心角的度数；
② 连结，，求证：是等边三角形．
(2) 如图2，若，，求的面积．
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