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16.3.2 完全平方公式（第2课时 添括号）
教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生已经掌握平方差公式、完全平方公式以及去括号法则的前提下展开的。添括号法则可以看作是去括号法则的逆运用，是对整式变形能力的进一步延伸，为处理更复杂的多项式乘法提供了工具。
2. 内容分析
添括号法则不仅是整式乘法运算的重要补充，也为后续学习因式分解、分式化简、二次根式运算等内容奠定基础，是初中阶段“式的运算”中体现整体思想的关键环节。添括号法则作为去括号法则的逆运算，其价值在于为复杂多项式乘法提供转化工具——将不符合公式特征的多项式通过添括号转化为可直接应用乘法公式的形式，从而简化运算。这一法则不仅完善了整式变形的知识体系，更对提升学生灵活运用公式解决问题的能力起到关键作用，是连接基础公式与复杂运算的桥梁，在培养学生运算能力和数学思维方面具有重要作用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解添括号法则，能运用添括号法则将多项式变形。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解添括号法则，能运用添括号法则将多项式变形，进而结合平方差公式、完全平方公式解决较复杂的整式乘法问题。
（2）在运用添括号法则简化计算的过程中，体会“整体思想”和“转化思想”在数学中的应用，提升观察、分析多项式结构的能力，发展运算能力和逻辑推理素养。
2. 目标解析
（1）要求学生在明确法则核心的基础上，能根据多项式结构和乘法公式的需求，主动对多项式进行添括号变形，并结合平方差公式、完全平方公式解决某些复杂运算，实现从“不能用公式”到“能用公式”的转化。
（2）学生在运用添括号法则时，需将括号内的多项式视为一个整体，感悟整体思想；同时，通过添括号将复杂问题转化为已学的公式应用问题，理解转化思想的价值。在这一过程中，学生需精准分析多项式的项与符号特征，判断如何添括号才能契合公式结构，从而逐步提升观察分析能力，在规范变形与运算中强化逻辑推理，发展运算素养。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：一是添括号时符号处理错误，尤其是括号前为“ ”时，容易漏改括号内部分项的符号；二是难以根据公式需求确定添括号的位置，对“将哪几项括起来作为整体”缺乏判断。
应对策略：教学中可通过对比去括号与添括号的互逆过程，用“倒推”方式强化符号规则，并设计符号专项练习；针对整体感知薄弱的问题，结合具体例题，引导学生标注“整体项”，帮助学生建立结构化思维，减少变形失误。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能运用添括号法则和乘法公式解决较复杂的整式乘法问题。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 在研究特殊的多项式相乘时，我们学习了哪两个乘法公式？你能用符号语言描述这两个公式吗？
答 平方差公式：(a+b)(a b)=a2 b2.
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.
问题2 运用乘法公式计算：(x+2y 3)(x 2y+3).
有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式.
追问 如何将三项式相乘转化为二项式相乘？
答 运用整体思想，将其中两项看成一个整体.
此时要在式子中添括号，如何添括号呢？
设计意图：通过问题1，引导学生回顾平方差公式和完全平方公式，唤醒学生对已学乘法公式的记忆，巩固基础知识；问题2呈现需要变形后运用公式计算的整式乘法，制造认知冲突，引出添括号法则的学习需求。借助追问，启发学生运用整体思想，思考将三项式相乘转化为二项式相乘的方法，为后续探究添括号法则、解决复杂整式乘法问题做铺垫。
（二）合作探究
问题3 你还记得去括号法则吗？
答 去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加.
追问 利用去括号法则填空：
a+(b+c)= a+b+c ；a (b+c)= a b c .
反过来，就得到
a+b+c =a+(b+c)； a b c =a (b+c).
归纳 添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
设计意图：先通过问题3回顾去括号法则，激活学生已有的知识储备。接着让学生在运用去括号法则填空的过程中，自然地反向推导，自主探究出添括号法则。这样的设计，既借助旧知（去括号法则）搭建新知（添括号法则）的学习桥梁，降低了学习难度，又通过“反向思考”的方式，培养了学生的逆向思维和归纳概括能力。
（三）典例分析
例5 添括号：
(1) x2+2x 1= ( x2 2x+1 ).
(2) a2+4b2 4b+1=a2+( 4b2 4b+1 ).
(3) 2(a+b)2 a b=2(a+b)2 ( a+b ).
例6 运用乘法公式计算：
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ； (2) (a+b+c)2.
解 (1)原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
追问 为什么要把后两项看成一个整体？
(2)原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
追问 还有其他的添括号方法吗？
(2)原式= [a+(b+c)]2
= a2+2a(b+c)+(b+c)2
=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
方法总结
(1)选用平方差公式进行计算时，需要将相同项看成一个整体，相反项看成一个整体.
(2)选用完全平方公式进行计算时，需要将多项式分为两组.
设计意图：例5通过不同形式的添括号练习，让学生强化对添括号法则的理解与应用，熟练掌握添括号的操作技巧，突破添括号变形的难点。例6聚焦乘法公式与添括号法则的结合，展示 “添括号凑公式结构” 的解题思路。借助追问，引导学生理解 “将多项式合理分组，转化为乘法公式适用形式” 的必要性，掌握利用整体思想，结合添括号法则，灵活运用平方差、完全平方公式解决复杂整式乘法问题的方法。
（四）巩固练习
1. 在等号右边的括号内填上适当的项.
(1) a+b c=a+( b c ) ； (2) a b+c=a ( b c ) ；
(3) a+b c=a ( b+c ) ； (4) a+b+c=a ( b c ) .
2. 下列去括号与添括号变形中，正确的是（ C ）.
A. 2a (3b c)=2a 3b c B. 3a+2(2b 1)=3a+4b 1
C. a+2b 3c=a+(2b 3c) D. m n+a b=m (n+a b)
3. 运用乘法公式计算：
(1) (x+y 1)(x y 1) ； (2) (2x+y+z)(2x y z) .
解 (1)原式=[(x–1)+y][(x–1)–y]
= (x–1)2–y2
= (x2–2x+1)–y2
= x2–2x+1–y2.
(2)原式=[2x+(y+z)][2x–(y+z)]
= (2x)2–(y+z)2
= 4x2–(y2+2yz+z2)
= 4x2–y2–2yz–z2.
4. 运用乘法公式计算：
(1) (a+2b–1)2 ； (2) (2x–y+1)2 .
解 (1)原式= [(a+2b)–1]2
= (a+2b)2–2(a+2b)+12
=a2+4ab+4b2–2a–4b+1.
(2)原式= [(2x–y)+1]2
= (2x–y)2+2(2x–y)+12
=4x2–4xy+y2+4x–2y+1.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
（六）感受中考
1．（2025·吉林长春）已知，则代数式的值为 3 ．
解：∵，
∴，
2．（2024·江苏苏州）若，则 4 ．
解：∵，
∴，
3．（2023·辽宁沈阳）当时，代数式的值为 2 ．
解：
当时，原式.
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：通过思维导图清晰展示添括号法则在多项式乘法运算中的 “桥梁” 作用，让学生理解知识间的逻辑关联，明白复杂多项式乘法可利用整体思想，通过添括号，转化为适用于乘法公式的形式，从而简化运算。
（八）布置作业
1.必做题：习题16.3 第3题.
2.探究性作业：(小组合作)
（2023·重庆B卷）在多项式x y z m n（其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．
例如：x y |z m| n=x y z+m n，|x y| z |m n|=x y z m+n，...
下列说法正确的是 .(填序号)
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
16.3.2 完全平方公式
第2课时 添括号
第十六章 整式的乘法
人教版(新教材)数学八年级上册
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
学习目标
理解添括号法则，能运用添括号法则将多项式变形，进而结合平方差公式、完全平方公式解决较复杂的整式乘法问题.
一
在运用添括号法则简化计算的过程中，体会“整体思想”和“转化思想”在数学中的应用，提升观察、分析多项式结构的能力，发展运算能力和逻辑推理素养.
二
复习引入
问题1 在研究特殊的多项式相乘时，我们学习了哪两个乘法公式？你能用符号语言描述这两个公式吗？
答 平方差公式：(a+b)(a b)=a2 b2.
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.
复习引入
问题2 运用乘法公式计算：(x+2y 3)(x 2y+3).
追问 如何将三项式相乘转化为二项式相乘？
答 运用整体思想，将其中两项看成一个整体.
有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式.
此时要在式子中添括号，如何添括号呢？
a+(b+c)
a (b+c)
；
.
= ；
= .
合作探究
问题3 你还记得去括号法则吗？
追问 利用去括号法则填空：
答 去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加.
a+b+c
a b c
= ；
= .
合作探究
反过来，就得到
a+b+c
a b c
a+(b+c)
a (b+c)
添 括 号 法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
典例分析
例5 添括号：
(1) x2+2x 1= ( ).
(2) a2+4b2 4b+1=a2+( ).
(3) 2(a+b)2 a b=2(a+b)2 ( ).
x2 2x+1
4b2 4b+1
a+b
典例分析
例6 运用乘法公式计算：
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ；
解 (1)原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
为什么要把后两项看成一个整体？
相同项
相反项
平方差公式
完全平方公式
典例分析
例6 运用乘法公式计算：
(2) (a+b+c)2.
解 (2)原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
还有其他的添括号方法吗？
完全平方公式
完全平方公式
典例分析
例6 运用乘法公式计算：
(2) (a+b+c)2.
解 (2)原式= [a+(b+c)]2
= a2+2a(b+c)+(b+c)2
=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
典例分析
方法总结
(1)选用平方差公式进行计算时，需要将相同项看成一个整体，相反项看成一个整体.
(2)选用完全平方公式进行计算时，需要将多项式分为两组.
巩固练习
1. 在等号右边的括号内填上适当的项.
(1) a+b c=a+( ) ； (2) a b+c=a ( ) ；
(3) a+b c=a ( ) ； (4) a+b+c=a ( ) .
b c
b c
b+c
b c
巩固练习
2. 下列去括号与添括号变形中，正确的是（　　）.
A. 2a (3b c)=2a 3b c B. 3a+2(2b 1)=3a+4b 1
C. a+2b 3c=a+(2b 3c) D. m n+a b=m (n+a b)
C
3. 运用乘法公式计算：
(1) (x+y 1)(x y 1) ； (2) (2x+y+z)(2x y z) .
巩固练习
解 (1)原式=[(x–1)+y][(x–1)–y]
= (x–1)2–y2
= (x2–2x+1)–y2
= x2–2x+1–y2.
3. 运用乘法公式计算：
(1) (x+y 1)(x y 1) ； (2) (2x+y+z)(2x y z) .
巩固练习
解 (2)原式=[2x+(y+z)][2x–(y+z)]
= (2x)2–(y+z)2
= 4x2–(y2+2yz+z2)
= 4x2–y2–2yz–z2.
4. 运用乘法公式计算：
(1) (a+2b–1)2 ； (2) (2x–y+1)2 .
巩固练习
解 (1)原式= [(a+2b)–1]2
= (a+2b)2–2(a+2b)+12
=a2+4ab+4b2–2a–4b+1.
4. 运用乘法公式计算：
(1) (a+2b–1)2 ； (2) (2x–y+1)2 .
巩固练习
解 (2)原式= [(2x–y)+1]2
= (2x–y)2+2(2x–y)+12
=4x2–4xy+y2+4x–2y+1.
归纳总结
添括号法则 法则 添括号时，如果括号前面是 ，括到括号里的各项都 .
；如果括号前面是 ，括到括号里的各项都 .
运用乘法公式计算 (1)选用平方差公式进行计算时，需要将 看成一个整体，
看成一个整体.
(2)选用完全平方公式进行计算时，需要将多项式分为 .
正号
不变
相反项
相同项
符号
负号
改变符号
两组
感受中考
1.(2025·吉林长春)已知x2+2x=4，则代数式7–x2–2x的值为 .
3
解 ∵x2+2x=4，
∴7–x2–2x =7–(x2+2x) =7–4 =3.
解 ∵a=b+2，
∴(b–a)2= [b–(b + 2)]2=(b–b–2)2=(–2)2=4.
感受中考
2.(2024·江苏苏州)若a=b+2，则(b–a)2= .
4
感受中考
2
解 原式=2a+4b–3a–5b+5= –a–b+5= –(a+b)+5.
当a+b=3时，原式= –3+5=2.
3.(2023·辽宁沈阳)当a+b=3时，代数式2(a+2b)–(3a+5b)+5的值为 .
小结梳理
多项式×多项式
(a+b+c)(a b c)
(a+b+c)2
添括号
整体思想
乘法公式
(a+b)(a b)=a2 b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
多项式×多项式
[a+(b+c)][a (b+c)]
[a+(b+c)]2
布置作业
必做题：习题16.3 第3题.
1
探究性作业：(小组合作)
（2023·重庆B卷）在多项式x y z m n（其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x y |z m| n=x y z+m n，|x y| z |m n|=x y z m+n，...下列说法正确的是 .(填序号)
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
2
人教版八年级上册
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