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湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高二上学期暑假作业检测
（开学）数学试题
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则实数（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设是两个不同的平面，m是直线且，则“是”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D. ，
5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
6. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点.若，且，则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
7. 的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
8. 若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有（ ）
A. 若A，B对立事件，则
B. 若A，B是对立事件，则
C. 若A，B是互斥事件，，，则
D. 若A，B是互斥事件，，，则
10. 已知正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A. 当点P在直线上运动时，一定有
B. 当点P在直线上运动时，三棱锥的体积不变
C. 最小值为
D. 以点B为球心，为半径的球面与平面的交线长为
11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为12，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 外接圆直径的最小值为
C. 的值可以为 D. 的值可以为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，则________．
13. 已知三棱锥底面是以为斜边的直角三角形，平面且，设三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球体积与之比的最小值是_____.
14. 已知向量，则当取得最大值时，____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
16. 为完善学校体育教学模式，提高学生体育与健康素养，现对某校3000名高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生的调查结果.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于85分钟的学生称为“运动爱好者”.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生中“运动爱好者”的人数；
（2）在抽取的100名学生中，随机选取了10名学生的每天平均运动时间（单位：分钟）：，已知这10个数的平均数，方差，若剔除其中的20和12两个数，求剩余8个数的平均数与方差.
17. 如图，在平面凸四边形中，.
（1）求；
（2）若，，求.
18. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都是.
（1）试指出丙最终获胜的概率与的大小关系（不需给出理由）；
（2）求通过四场比赛决出胜负且甲最终获胜的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
19. 如图，三棱锥中，底面，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，，是中点，、分别在线段、上移动.
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值．
长郡中学2025年高二暑假作业检测试卷
数学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】5
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【16题答案】
【答案】（1），600
（2），方差为
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）丙最终获胜的概率大于
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）①②

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