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广西钦州市第十三中学2025-2026学年高三上学期第三周考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
3．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.以下函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A．B．C． D．
4．已知函数则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
5．已知，则（ ）
A．B．C． D．
6．已知是定义在R上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（ ）
A．2为的周期B．C． D．
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C． D．的最大值为5
10．已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
11．双曲函数最初由17世纪数学家雅各布 伯努利提出：两端系于两个固定点的均匀绳索．在仅受其自身重力的作用下形成的曲线是什么曲线？他本人和伽利略起初都误认为是一条抛物线．但是，雅各布 伯努利随后通过不懈努力用微分方程推导出其曲线方程为：，并称为悬链线．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且满足：，容易求得其中一个函数为最简单的悬链线方程，则（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的值可以是 .（写一个符合条件的的值即可）
13．函数（），若在上恒成立，则的取值范围是 .
14．若函数（）满足，且函数的图象与函数的图象的交点分别为，，…，，则 .
四、解答题（共5小题，共80分）
15．已知函数.
(1)求证：是奇函数；
(2)当时，求的最小值.
16．若存在常数、，使得函数对于同时满足：，，则称函数为“”类函数．
(1)判断函数是否为“”类函数？如果是，写出一组的值；如果不是，请说明理由；
(2)函数是“”类函数，且当时，．证明：是周期函数，并求出在上的解析式；
17．设是一个定义域为的函数.若是的一个非空子集，且对于任意的，都有，则称是关联的.
(1)判断函数和函数是否是关联的，无需说明理由；（表示不超过的最大整数）
(2)若函数是关联的，且在上，，解不等式；
(3)已知正实数满足，函数是关联的，且，求的解析式.
18．莱奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一.他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为.
(1)解不等式：；
(2)函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围.
19．已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”，有序数对称为函数的“平衡点对”.
(1)若为函数的“平衡点对”，求的值；
(2)若，且均为的“平衡点对”，求的最大值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C BC A A D ABC ABC
题号 11
答案 ABD
12．（答案不唯一）13．14．7
15．（1）因的定义域为.
对于任意，都有，且，
故是奇函数.
（2）已知，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，函数取得最小值4.
16．(1)是“”类函数，（答案不唯一）；
（2）是“”类函数，
，
，
，是周期为的周期函数.
当时，，
当时，，
.
故，
17．(1)函数不是关联的，函数是关联的；(2)； (3).
18．(1)；(2).
19．(1)或者；(2)1.

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