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2024-2025学年河南省郑州八十八中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.三角形中，到三边距离相等的点是（　　）
A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
2.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（　　）
A. B. C. D.
3.如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（　　）
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
5.下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）-ma＜-mb；（3）ac2＞bc2；（4）-ac2≤-bc2中，能推出a＞b的有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满且溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（　　）
A. 20cm3以上，30cm3以下 B. 30cm3以上，40cm3以下
C. 40cm3以上，50cm3以下 D. 50cm3以上，60cm3以下
7.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A. 8a2b3c=2a2 2b3 2c B. x2y+xy2+xy=xy（x+y）
C. D. 3x3+27x=3x（x2+9）
8.已知a=2023x+2022，b=2023x+2023，c=2023x+2024，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠C的度数是（　　）
A. 15° B. 30° C. 35° D. 40°
10.如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm,再向右平移1cm,得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为（　　）
A. 7cm2
B. 6cm2
C. 5cm2
D. 4cm2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾；
②因此假设不成立，所以∠B＜90°；
③假设在△ABC中，∠B≥90°；
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是______．（填序号）
12.如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为4cm，△OBC的面积为______cm2．
13.若不等式组的解集中任一个x的值均不在2≤x≤5的范围内，则a的取值范围是______．
14.如图，ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为 ．
15.如图，D是等边三角形ABC外一点，AD=3，CD=2，当BD长最大时，△ABC的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来.
（2）因式分解：9a2（x-y）+16b2（y-x）.
17.(本小题8分)
在下图中，把△ABC向右平移5个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转90度．
（1）画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母；
（2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说明理由．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高.尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
作∠ABC的平分线与AD交于点E，过点E作EH⊥AB于H.
19.(本小题7分)
如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为______；
（2）若每块小长方形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．

20.(本小题8分)
如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
21.(本小题12分)
在“五 一”期间，某公司组织318名员工到雷山西江千户苗寨旅游，旅行社承诺每辆车安排有一名随团导游，并为此次旅行安排8名导游，现打算同时租甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人．
（1）请帮助旅行社设计租车方案．
（2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？
（3）旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游随团导游，为保证所租的每辆车安排有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
22.(本小题12分)
阅读理解并解答：
（1）我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题.
例如：x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，
∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2.
则这个代数式x2+2x+3的最小值是______，这时相应的x的值是______.
（2）求代数式-x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值.
（3）已知a,b,c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b-41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围.
（4）若M=2（3x2+3x+1），N=4x2+2x-3，试比较M、N的大小，并说明理由.
23.(本小题12分)
半角模型探究
如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF=AE+CF；
（2）当AE=1时，求CF的长.
（3）探究延伸：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，BC+CD=8.E、F分别是边BC、CD上的点，且.求△CEF的周长.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】③④①②
12.【答案】24
13.【答案】a≥5或a≤1
14.【答案】10
15.【答案】
16.【答案】，
=（x-y）（3x-4b）（3x+4b）．
17.【答案】解：（1）平移和旋转后的图形如图所示：
（2）能，将△ABC绕CB、C″B″延长线的交点顺时针旋转90度
．
18.【答案】如图即为所求．

19.【答案】解：（1）（m+2n）（2m+n）；
（2） 依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+20=49，
∵m+n＞0，
∴m+n=7，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6×7=42cm．
20.【答案】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
21.【答案】解：（1）设租甲种客车x辆，则租乙种客车（8-x）辆，
依题意，得45x+30（8-x）≥318+8，
解得x≥5，
∵打算同时租甲、乙两种客车，
∴x＜8，即5≤x＜8，
x=6，7，
有两种租车方案：
租甲种客车6辆，则租乙种客车2辆，
租甲种客车7辆，则租乙种客车1辆；
（2）∵6×800+2×600=6000元，7×800+1×600=6200元，
∴租甲种客车6辆；租乙种客车2辆，所需付费最少为6000（元）；
（3）设同时租65座、45座和30座的大小三种客车各x辆，y辆，（7-x-y）辆，
根据题意得出：65x+45y+30（7-x-y）=318+7，
整理得出：7x+3y=23，
1≤x＜7，1≤y＜7，1≤7-x-y＜7，
故符合题意的有：x=2，y=3，7-x-y=2，
租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车3辆，30座的2辆．
22.【答案】2，-1；
最大值59，相应的x的值为7；
5≤c＜9；
M＞N，理由见解析．
23.【答案】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，AE=CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
∴EF=CF+AE；
（2）解：设EF=MF=x,
∵正方形ABCD的边长为3，
∴BC=3，
∵将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，AE=1，
∴CM=1，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x,
∴EB=AB-AE=3-1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，EB2+BF2=EF2，
∴22+（4-x）2=x2，
解得，
则EF=MF=x.
∴；
（3）解：如图②，将△ADF绕点A顺时针旋转角度为∠BAD的度数，得到△ABH，
由旋转可得AH=AF，BH=DF，∠DAF=∠BAH，∠D=∠ABH，
∵，
∴，
∴∠HAE=∠EAF，
∵∠ABH+∠ABE=∠D+∠ABE=180°，
∴点H、B、E三点共线，
在△AEH和△AEF中，
，
∴△AEH≌△AEF（SAS），
∴EF=HE，
∵HE=BH+BE，
∴EF=DF+BE；
∵BC+CD=8，
∴BE+EC+CF+DF=8，（BE+DF）+EC+CF=8，
则（BE+HB）+EC+CF=8，
∴EH+EC+CF=8，
∴EF+EC+CF=8，
则△CEF的周长为8．
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