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第二十一章 一元二次方程 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、选择题
下列方程是一元二次方程的是
A． B．
C． D．
方程 的解是
A． B．
C． ， D． ，
一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A． ，， B． ，， C． ，， D． ，，
在用配方法解一元二次方程 的过程中配方正确的是
A． B．
C． D．
若关于 的方程 有一个根为 ．则另一个根为
A． B． C． D．
已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，．若 ，则 的值是
A． B． C． 或 D．不存在
某超市一月份的营业额为 万元，一月、二月、三月的总营业额 万元，如果平均每月增产率为 ，则由题意列方程为
A．
B．
C．
D．
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为
A． B． C． D． 为任意实数
已知关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ，，且 ，则 的值是
A． B． C． D．
二、填空题
若关于 的方程 是一元二次方程，则 ．
将方程 化成一般形式后，二次项系数，一次项系数和常数项分别是 ．
已知关于 的一元二次方程 的常数项为零，则 的值为 ．
若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值是 ．
已知菱形 的一条对角线的长为 ，边 的长是 的一个根，则菱形 的周长为 ．
元旦晚会，全班同学互赠贺卡，若每两个同学都相互赠送一张贺卡，小明统计全班共送了 张贺卡，那么全班有多少人？设全班有 人，则根据题意可以列出方程 ．
关于 的一元二次方程 有两个不等实根 ，，若方程两实根 ， 满足 ，则 的值为 ．
三、解答题
按要求解方程：
(1) （配方法）．
(2) （公式法）．
(3) （因式分解法）．
(4) 用适当的方法解方程：．
关于 的一元二次方程 ．
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程的两根分别为 ，，且 ，求方程的两根．
某花卉种植基地准备围建一个面积为 平方米的矩形苗圃园种植玫瑰花，其中一边靠墙，另外三边用 米长的篱笆围成，已知墙长为 米，为方便进入，在墙的对面留出 米宽的门（如图所示），求这个苗圃园垂直于墙的一边长为多少米．
某中学规划在校园内一块长 ，宽 的矩形场地 上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为 ，则人行道的宽为多少米？
某水果商店销售一种进价为 元/千克的优质水果，若售价为 元/千克，则一个月可售出 千克；若售价在 元/千克的基础上每涨价 元，则月销售量就减少 千克．
(1) 当售价为 元/千克时，每月销售水果多少千克？
(2) 当月利润为 元时，每千克水果售价为多少元？
(3) 当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
如图，在矩形 中， 厘米， 厘米，点 从点 开始沿 边向点 以 厘米/秒的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 厘米/秒的速度移动，如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，设时间为 秒．
(1) 经过几秒时， 的面积等于 平方厘米？
(2) 经过几秒时， 的面积等于矩形 的面积的 ？
答案
一、选择题（共9题）
1. 【答案】A
【解析】A： 是一元二次方程；
B： 不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程；
C： 含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程；
D：，当 时，是一元一次方程，所以不是一元二次方程．
2. 【答案】D
【解析】 ，
，，
，．
3. 【答案】D
4. 【答案】D
【解析】 ，
，即 ．
5. 【答案】D
【解析】设方程的另一个根为 ，
根据根与系数的关系，，
．
6. 【答案】A
7. 【答案】D
8. 【答案】C
【解析】 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
，解得 ．
9. 【答案】D
【解析】由根与系数的关系可知：，
，
，
解之得 ．
二、填空题（共7题）
10. 【答案】
【解析】方程 是一元二次方程，可得 且 ，解得 ．
11. 【答案】 ，，
【解析】 ，
，
．
二次项系数，一次项系数，常数项分别为 ，，．
12. 【答案】
【解析】 一元二次方程 的常数项为零，
由①得：，
解得： 或 ，
由②得：，
的值为 ．
13. 【答案】
【解析】 ， 是一元二次方程 的两个根，
由韦达定理，得
，，
．
14. 【答案】
【解析】 的一个根是菱形 的边长，
因式分解为 ，
解得 ，，
如图所示，四边形 是菱形，
，
分两种情况：
①当 时， 不能构成三角形，
②当 时，，
菱形 的周长为 ．
15. 【答案】
【解析】设全班有 人．根据题意，得 ．
16. 【答案】
【解析】 关于 的一元二次方程 有两个不等实根，
，
，
， 为一元二次方程 的两个实数根，
，．
，
，，
， 同为负．
，
，
解得：，（不合题意，舍去）．
三、解答题（共6题）
17. 【答案】
(1) 方程整理，得解得
(2) 解得
(3) 解得
(4) 解得
18. 【答案】
(1) 通过计算得：，所以方程有两个实数根．
(2) ，．
19. 【答案】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为 米，
根据题意，得解得 当 时，，舍去，
．
答：这个苗圃园垂直于墙的一边长为 米．
20. 【答案】设人行道的宽为 ，
根据题意得解得答：人行道路的宽为 ．
21. 【答案】
(1) 当售价为 元/千克时，每月销售水果：（千克）．
(2) 设每千克水果售价为 元，
由题意可得解得故每千克水果售价为 元或 元．
(3) 设每千克水果售价为 元，获得的月利润为 元，
由题意可得 ，
当 时， 有最大值为 元，
故当每千克水果售价为 元时，获得的月利润最大，最大为 元．
22. 【答案】
(1) 由题意，得 厘米， 厘米，
厘米．
的面积等于 平方厘米，
，即 ，
整理，得 ，解得 ，．
答：经过 秒或 秒时， 的面积等于 平方厘米．
(2) 由题意，得 ，
厘米， 厘米， 厘米， 厘米，
，
解得 ，．
答：经过 秒或 秒时， 的面积等于矩形 的面积的 ．

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