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2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试
数学试卷
考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共6页：分为两部分：第一部分为选择题，共54分；第二部分为非选择题，共46分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.
第一部分（选择题共54分）
一、选择题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，若，则实数（ ）
A. B. C. 1 D. 4
5. 已知函数则的最小值是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
6. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若，则角可以为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
10. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
11. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. （ ）
A. B. C. D. 1
13. 北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（ ）
A. B. C. D.
14. 已知向量满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
15. 空气质量指数（简称AQI）反映了空气质量的状况，空气质量等级划分如下：
AQI AQI AQI
空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
下图是某校科学兴趣小组根据10月8日至27日测得的AQI绘制的折线图：
根据上述信息，下列结论中正确的是（ ）
A. 10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10
B. 10月8日至27日的AQI的极差小于150
C. 10月8日至27日的AQI的中位数是17日的AQI
D. 10月8日至27日的AQI逐渐增大
16. 在中，，则（ ）
A. B. C. 4 D. 6
17. 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 10
18. 某节居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下：
阶梯 户年用水量 水价（元/立方米）
第一阶梯 0-180（含） 5
第二阶梯 181~260（含） 7
第三阶梯 260以上 9
根据上述信息，下列结论中正确的是（ ）
A. 若某户居民自来小年用水量为，则该户自来水年缴费为770元
B. 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元
C. 若某户居民自来水年缴费700元，则该户自来水年用水量在至之间
D. 若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间
第二部分（非选择题共46分）
二、填空题共3小题，每小题4分，共12分.
19. 已知函数，则的定义域是____________.
20. 甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命中的环数如下：
甲 8 6 8 6 7
乙 5 8 9 3 10
则甲运动员命中环数平均数是______；记甲、乙两名运动员命中环数的方差分别是和，则______.（填“>”，“=或“<”）
21. 如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示，
给出下列三个结论：
①；
②的最大值为25；
③的最大值为．
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共4小题，共34分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
22. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大值，并写出取得最大值时的一个值.
23. 阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
解：
（1）在中，分别是中点，
所以_____①_______.
又_____②_____，平面，
所以平面.
（2）因为在中，是的中点，所以_____③______.
因为底面为正方形，所以.
因为平面，
所以_________④_________.
又因为.
所以___________⑤___________.
又平面，
所以___________⑥___________.
又因为，
所以平面.
空格序号 选项 答案
① A. B.
② A.平面 B.平面
③ A. B.
④ A. B.
⑤ A.平面 B.平面
⑥ A. B.
24. 已知函数.
（1）求证：奇函数；
（2）当时，求的最小值.
25. 给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中.
给出两个性质：
①，且中的向量互不相等；
②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”.
（1）当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明）
（2）（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列；
（）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数.
2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试
数学试卷
考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共6页：分为两部分：第一部分为选择题，共54分；第二部分为非选择题，共46分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.
第一部分（选择题共54分）
一、选择题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】B
【11题答案】
【答案】C
【12题答案】
【答案】B
【13题答案】
【答案】C
【14题答案】
【答案】A
【15题答案】
【答案】A
【16题答案】
【答案】B
【17题答案】
【答案】B
【18题答案】
【答案】D
第二部分（非选择题共46分）
二、填空题共3小题，每小题4分，共12分.
【19题答案】
【答案】##
【20题答案】
【答案】 ①. 7 ②. ＜
【21题答案】
【答案】①②③
三、解答题共4小题，共34分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
【22题答案】
【答案】（1）
（2）2，0（答案不唯一）
【23题答案】
【答案】（1）①A，②A
（2）③A，④A，⑤B，⑥B
【24题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【25题答案】
【答案】（1）不满足性质①，满足性质①
（2）（）.（答案不唯一）（）证明见解析

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