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2025-2026学年浙教版（2024) 数学八年级上册第一章《三角形的初步知识》 过关检测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（　　）
A．5cm B．18cm C．21cm D．23cm
2．为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，∠1＝∠2，补充一个条件后仍不能判定△ABC≌△ADC是（　　）
A．AB＝AD B．∠B＝∠D
C．BC＝DC D．∠BAC＝∠DAC
4．下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（　　）
A． B．
C． D．
5．通过如下尺规作图，能说明△ABD的面积和△ACD的面积相等的是（　　）
A． B．
C． D．
6．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（　　）
A．2.4 B．3 C．4 D．
8．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（　　）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
9．如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的是（　　）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，在中，、分别为、的中点，若的面积为，则的面积为　 　．
12．如图，在长方形ABCD中，AD=10cm，点E在边AB上，且BE=6cm.点P，Q分别在BC，CD上.当∠BEP=∠CPQ时，要使△BPE与△CQP全等，CQ=　 　cm.
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8．点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC-CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，PC的长为　 　．
14．如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，可得出观测点的地理坐标．
在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线自动与刻度线保持平行（即），并与A处的镜面所在直线相交于点C，所在直线与水平线相交于点D，，观测角=　 　（用表示）．
小贴士： 如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中，
15．某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，．
（1）比较大小：　 　．（填“”或“”或“”）
（2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为　 　．
16．已知中，，在图（1）中、的角平分线交于点，则计算可得；
（1）在图（2）中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，得到则　 　；
（2）在图（3）中请你猜想，当、同时n等分时，条等分角线分别对应交于、，则　 　（用含n的代数式表示）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．列举两个命题，要求其中一个是真命题，另一个是假命题。你是用什么方法来判断它们的真假的
18．小明将下列题目梳理到自己的错题本中，题目为“如图，点，，，在同一条直线上，，且，．求证：．”，请你帮他完成题目的梳理过程．
题目来源 第一章书本例题 图形呈现
关键已知 ①②③
解题过程
19．如图
（1）如图1，在中，于点D，AE平分，你能找出与，之间的数量关系吗？并说明理由.
（2）如图2，平分为AE上一点，于点，这时与，之间又有何数量关系？并说明理由.
20．如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．阅读并完成相应的任务．
如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图 （不完整）
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处．
测量数据 米，米
任务一 根据题意将测量方案示意图补充完整．
任务二 ①凉亭与游艇之间的距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由．
22．如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD=α。
（1）用含α的代数式表示∠A：
（2）若 CE=CF，求∠EBC 的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB-AC=2，求△ABC的面积。
23．
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
24．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
（1）【问题解决】
如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
（3）【延伸推广】
在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】6
12．【答案】4
13．【答案】2或1或4
14．【答案】2
15．【答案】；或
16．【答案】；
17．【答案】解：(1)真命题：如果a=b，那么a+2=b+2，
根据等式的性质，等式的两边都加上2，所得结果仍是等式，
故a=b ，那么a+2=b+2是真命题；
(2)假命题：对角线相等的四边形是矩形，
举出反例：∵等腰梯形的对角线相等，
∴对角线相等的四边形不一定是矩形，
故对角线相等的四边形是矩形是假命题.
18．【答案】证明：，
，
，
，
，
在与中，
，
∴，
19．【答案】（1）解：，理由如下：
平分，
.
又，
，
即；
（2）解：如图，过点作于.
，
.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，，
由（1）可得，
∴，
∵点，，在同一直线上，
∴，
∵，，
∴，
∴
21．【答案】解：任务一：如图所示：
即为测量方案示意图；
任务二：②理由：
根据题意可知：CD=CA，∠D=∠A=90°，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB=DE=10m，
∴小明的方案是正确的.
22．【答案】（1）解：∵CD为AB边上的高线， ∠BCD=α，
∴∠ABC=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(90°-α+90°-α)=2α；
（2）解：∵CD为AB边上的高线， ∠A=2α，
∴∠ACD=90°-2α，
∵CE=CF，
180°-90°+2α)=45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE=∠EBC+∠BCD=∠EBC+α，
∴∠EBC+α=45°+α，
∴∠EBC =45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB=AC， ∠A=2α，
∴∠EAM=α，
∴∠EAM =∠BCD =α，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA=180°，
∠CFE+∠BFC=180°，
∴∠MEA=∠BFC，
∵若E为AC中点，
∴AE=CE=CF=
在△AEM和△CFB中，
∴△AEM≌△CFB(SAS)，
∴设ME=BF =x，
∵AB= AC， AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC= MB，
∵∠EBC =45°，
∴∠MCB=∠EBC =45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC=90°，
即CM⊥EF，
∵CE=CF，
∴ME=MF=BF=x，
∴MC =MB=BF+MF=2x，在Rt△CME中， ME=x， CM =2x，CE=，
由勾股定理得：
∴x=1，
，
在 中， 由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
23．【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
24．【答案】（1）解：如图②所示，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°，
∴∠BDC的度数为95°或110°.
（2）解：∵BP、CP分别是邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
又∵∠BPC=140°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=40°，
∴∠ABC+∠ACB=40°，
∴∠ABC+∠ACB=120°
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-120°=60°.
（3）解：情况一：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠B）=m°；
情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠B）=m°；
情况三：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠B=m°+18°；
情况四：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠B=m°-18°，
综上所述：∠BPC的度数为m°或m°或m°+18°或m°-18°.

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