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第二章《实数》—2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册单元随堂培优测试
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．计算的值等于(　　).
A． B． C． D．
3．若化简 的结果为2x-5，则x的取值范围是(　　).
A．x为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4
4．下列说法正确的有（　　）个．
①任何实数都可以开立方；②0的相反数、倒数、平方都是0；③数轴上的点和有理数一一对应；④有限小数和无限循环小数都是有理数；⑤无理数都是无限小数．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知实数a满足条件 ，那么 的值为 　　
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
7．若（n为正整数），则下列说法正确的个数是（　　）
①；
②；
③．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．观察下列二次根式的化简
S1=
S2=
S3=，则=（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．分母有理化： ＝　 　．
10．当 ，化简 的结果是　 　.
11．化简二次根式 的结果是　 　.
12．如图，在中，，平分，平分，N，M分别为射线上的动点．若，则的最小值为　 　．
13．求值：　 　．
三、解答题(本题共7小题，共61分)
14．（1）计算：；
（2）计算：．
15．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简： ； ； ；
（2）化简：；
（3）已知，，求的值.
16．
（1）设实数x，y 满足 求x+y的值.
（2）已知实数x，y 满足 求 的值.
17．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： ①(其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积).而文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： ②(其中
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.
（2）你能否由公式①推导出公式② 请试试.
18．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E、D两点之间的距离为．
（1）点在数轴上表示的数是 　 　，点在数轴上表示的数是 　 　；
（2）若线段的中点为，线段上有一点N，，点M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？
（3）若线段的中点为，线段上有一点N，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，是否存在一个的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出的值；不存在，请说明理由．
19．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
20．王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题.先阅读，再回答问题.
（1）小青编的题，观察下列等式：
直接写出以下算式的结果：
　 　； （n为正整数）＝　 　；
（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：
， ，
再根据平方根的定义可得
， ，
直接写出以下算式的结果：
　 　， 　 　， 　 　：
（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】
10．【答案】1
11．【答案】-
12．【答案】4
13．【答案】
14．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
15．【答案】解：（1）
（2）原式=
（3），
∴
16．【答案】（1）解：∵，，
∴①，
∵，，
∴②，
∴①+②得：，
整理得：，
∴
（2）解：∵，，
∴①，
∵，，
∴②，
①＋②得：，
整理得：，
∴，
∴原式
17．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴由公式①得，
由公式②得
（2）解：
，
∴
18．【答案】（1）；
（2）解：由题意知，线段的中点为，则表示的数为，
线段上有一点，且，则表示的数为．
M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，
即：，，
∵原点恰为线段的三等分点，
∴OM=2ON或且点在线段上，即、表示的数异号，
①当时，则有，
解得或，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意．
②当时，则有，
解得，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意；
综上所述，当或时，原点恰为线段的三等分点．
（3）解：或
19．【答案】（1）解：，
，
而，，
，
；
（2）解：由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
20．【答案】（1）； （n为正整数）
（2）；；
（3）解：

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