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广东省深圳市外国语学校2024-2025学年九年级下学期第五次月考数学试卷（一模）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．截止年月日，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
4．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（ ）度时，与平行．

A．16 B．60 C．66 D．114
5．已知在温度不变的条件下，对汽缸顶部的活塞加压后，气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．现对其加压两次，若两次加压的压强差为，气体体积压缩了．设第一次加压后气体的体积为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．小方家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，既可单盏开，也可两盏、三盏齐开．若小方任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为的直径，弦与直径平行，弦与弦分别交于点E，F．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图①，在平行四边形中，，连接，，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．因式分解：a3－a= ．
10．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为 ．
11．将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D．已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是12，则的值为 ．
13．如图，是等边三角形，点D是三角形内一点，满足，连接，，，则的最小值是 ．
三、解答题
14．（1）计算：；
（2）下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程：
解：第一步：去分母，得，
第二步：移项，得，
第三步：合并同类项，得，
第四步：化系数为1得，
第五步：若方程无解，则为增根，即
第六步：
请问小虎是从第______步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法．
15．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车．为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
C型纯电动汽车满电续航里程统计情况
续航里程 430 440 450 460 470
车辆数/辆 2 3 6 5 4
型号 平均里程 中位数 众数
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
【分析数据】（1）小明共调查了______辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为______；
（3）由上表填空：______；______；
【判断决策】（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．
16．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，）
17．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
(1)求A场馆和B场馆的门票价格．
(2)若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
(3)若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案．
18．如图1，已知及上一点P，请利用无刻度直尺及圆规作出直线，使得与相切．
下面是小宇设计的作法：
如图2，①作射线；
②在外取一点Q（点Q不在射线上），以Q为圆心，为半径作圆，与射线交于另一点M；
③连接并延长交于点；
④作直线．
所以直线即为所求作直线．
(1)在图2中补全小宇所作图形（保留作图痕迹）；
(2)对小宇作法的正确性进行证明；
(3)在（1）、（2）条件下，若P是的中点，的半径为1，的半径为，连接，求的长度．
19．深圳市将建全球规模最大的室内滑雪综合体，预计2025年开始正式营业．目前已经修建了如图①所示的室内雪道．根据雪道示意图建立如图②所示的平面直角坐标系．该雪道可近似看成线段，全长410米，且C，D两点水平距离为400米，点D在y轴上，点C在x轴上．
(1)则线段的表达式为______．
(2)如图③，在试营业期间，邀请了一些滑雪运动员来进行滑雪训练．若小恒在训练过程中，不借助任何外力，从起滑台A处起滑，在助滑道上加速至B处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道上继续向C点滑行．其中空中轨迹段可近似看作抛物线．已知当他从B处跃出的水平距离为5米时，会达到离水平地面的最大高度95米．已知段轴，长度为2米．求抛物线的表达式．
(3)如图③，在雪道两旁每间隔一定的距离安装高度为1.8米的旗杆，两根旗杆之间的水平距离为1.5米．在（2）的条件下，若此次滑雪训练评分细则规定：运动员从B处腾空跃起后经过第6根旗杆时，运动员此时的位置（身高忽略不计）在旗杆上方就能得到满分．请你通过计算判断小恒在该项训练中是否能得到满分．
20．【问题背景】（1）在等腰直角三角形中，如图1，，，，请写出与之间的数量关系为______，并说明理由；
【尝试应用】（2）如图2，在中，，，点D在边上，连接，且，连接，若，求的长；
【拓展创新】（3）如图3，在正方形中，，点F是射线上一点，以为对角线作正方形，连接、、．若把分成的两部分，请直接写出线段的长______．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B C C A C D
1．A
【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
2．C
【详解】解：亿，
故选：．
3．B
【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，
四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，
∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，
故选：B．
4．C
【详解】解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，．
故选：C．
5．C
【详解】解：设p关于V的函数关系式为，
把代入得：，
∴p关于V的函数关系式为，
第一次加压后气体的体积为，则第二次气体体积为，
根据题意得：，
故选：C．
6．A
【详解】解：运用列表法把所有等可能结果表示出来如下，
共有6种等可能结果，其中是厅灯和走廊灯亮的是，共2种，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率为，
故选：A ．
7．C
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
设，则，
∴，
故选：C．
8．D
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，分别是两段曲线的最低点，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴中边上的高为，中边上的高为，
∵，
∴，
解得：，
∴，
即的长为．
故选：D．
9．a（a－1）（a + 1）
【详解】解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
10．
【详解】由题意得，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．
【详解】解：连接，如下图：
由题意知：，，，
∴，
设为量角器所在半圆的半径为r，则，
∴，
在中，
，
即，
解得：，，
∴
故答案为：．
12．8
【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：
，
，
∵点A在双曲线上，点B在，
，，
，
，
，
，
，轴，
，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
13．/
【详解】解：如图，以为边在的右侧作等边，连接，
∵和为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点B、D、E在同一直线上，
∵，
∴，即，
在与中，
∴，
∴，
∴，
过点A作于点F，
在中，，
则，
当点D不与点F重合时，，则，
当点D与点F重合时，，则，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
14．（1）；（2）四，见解析
【详解】解：（1）；
（2）小虎是从第四步开始出现错误，
①若，则方程无解，此时
②若，
，
若方程无解，则为增根，即
综上，或
15．（1）20，图见解析；（2）72；（3）430；450；（4）选择C型，见解析
【详解】解：（1）（辆），
的数量为：（辆），
补全条形统计图如下：
故答案为：20；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：，
故答案为：72；
（3）由折线统计图知，B型纯电动汽车满电续航里程共调查了20辆，从低到高排列后中位数应第第10，11辆的平均数，
，，
∴，
C型纯电动汽车满电续航里程中，续航里程的出现次数最多共6辆，
∴．
故答案为：430，450；
（4）∵三个型号中C型号的纯电动汽车的平均数，中位数，都是最高的，
∴选择C型号的纯电动汽车较为合适．
16．(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6
(2)线段的长度为21.8
【详解】（1）解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴（），
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6；
（2）如图，过点作于点H，于点，过点作于点，
则（），（），
∵，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴（），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（），
答：线段的长度为21.8 ．
17．(1)A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元
(2)此次购买门票所需总金额的最小值为1210元
(3)共有2种购买方案，方案1：购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票；方案2：购买10张A场馆门票，22张B场馆门票，8张C场馆门票
【详解】（1）解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，
，解得．
答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元．
（2）解：设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张，
依题意得：，解得：．
设此次购买门票所需总金额为w元，则
，
∵，∴w随a的增大而减小 ．
∵，且a为整数，
∴当时，w取得最小值，最小值．
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．
（3）解：设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票，
依题意得：，
∴．
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
当，时，，符合题意．
当，时，，符合题意．
当，时，，符合题意，舍去；
∴共有2种购买方案，
方案1：购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票；
方案2：购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵是的直径，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：如图所示，过点Q作于A，
∵P是的中点，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，，
，
，
∵在中，由勾股定理得．
19．(1)
(2)
(3)小恒在该项训练中不能得到满分，见解析
【详解】（1）解：由题意可得，在中，，
∴，
∴点
设直线的表达式为，则
，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：由题意得，抛物线的顶点E为，与y轴的交点B为，
设抛物线的解析式为，
将代入上述抛物线解析式，得，
∴抛物线的解析式为，
化为一般式为；
（3）解：第六根杆的水平距离，
令，
将代入，得，
∴小恒在该项训练中不能得到满分
20．（1），理由见解析；（2）；（3）或
【详解】（1）证明：如图，
∵，，，
∴，
且，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点G作于点H，交于点I，连接，
则，设正方形边长为，
∵正方形中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵把分成的两部分，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：或．

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