资源简介

1.2.2 数轴
教材分析
本节课“数轴”是在小学学习用直线表示数的基础上，进一步引入负数，构建完整的数轴概念，从而用数轴上的点表示有理数。教材通过生活情境中汽车站牌与树木、标志杆等位置关系的描述，引导学生用正负数表示方向与距离，并通过温度计的类比，抽象出数轴的定义，即规定了原点、正方向和单位长度的直线。教学过程可从实际问题出发，引导学生经历从具体情境到数学抽象的过程，再通过归纳总结数轴的三要素及其表示数的方法。本节内容是后续学习有理数大小比较、相反数、绝对值及函数图像表示的基础。通过本节课的学习，学生能够建立数形结合的基本思想，提升抽象概括能力和数学建模意识，为理解更复杂的数学概念与问题解决提供直观工具。
学情分析
七年级学生已经掌握了正数、0和负数的基本概念，并在小学阶段接触过在有刻度的直线上表示数，具备初步的数形结合意识，这个阶段的学生正处于由具体思维向抽象思维过渡的关键期，对直观、形象的知识接受能力较强，但对抽象概念的理解仍需借助具体情境支撑，本节课通过生活实例引入数轴的概念，要求学生理解数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），并能用数轴上的点表示有理数，帮助学生建立数形结合的思想，提升抽象概括能力和数学建模能力，同时通过数轴的学习，为后续理解相反数、绝对值及有理数运算奠定基础。
教学目标
理解数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），掌握用数轴上的点表示有理数的方法，通过实际问题抽象出数轴模型，提升数学抽象和直观想象核心素养，发展建模能力。
能根据数轴上的点判断其所表示的数及其位置关系，理解正负数在数轴上的几何意义，增强数形结合意识，提高分析和解决问题的能力。
通过数轴与现实问题的联系，体会数学来源于生活并服务于生活，激发学习兴趣，培养严谨、条理的数学思维和探索精神。
重点难点
重点：
理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，会用数轴上的点表示有理数。
难点：
体会数轴上的点与有理数的对应关系，理解用数轴表示数的意义。
课堂导入
同学们，我们先来看一个有趣的场景。假设学校是一个中心点，小明家在学校东边500米处，小莉家在学校西边300米处，若把学校、小明家和小莉家的位置在纸上呈现，该怎么表示呢？我们可以画一条直线，把学校当作一个固定点，规定一个方向代表东，另一个方向代表西，再确定一个长度代表100米。这样，小明家的位置就可以在代表东的方向，距离学校5个这样长度的地方表示，小莉家则在代表西的方向，距离学校3个这样长度的地方表示。通过这个例子，我们发现能借助直线上的点来表示具有相反意义的量。那这种方法能不能用来表示有理数呢？今天，我们就一起来学习“数轴”。
数轴
探究新知
（一）知识精讲
让我们从一个实际问题开始探究数轴的概念。观察图1.2-1，这是一条表示马路的直线，从左到右表示从西到东的方向。在直线上任取一点表示汽车站牌的位置，规定1个单位长度代表1米。
在点右边，距离3个和7.5个单位长度的点和点分别表示柳树和交通标志杆；在点左边，距离3个和4.8个单位长度的点和点分别表示槐树和电线杆。这样，我们就用正数表示东侧的位置，用负数表示西侧的位置。
思考图1.2-3中的温度计，它和图1.2-2有什么共同点呢？
通过观察可以发现，它们都具有以下三个特征：
都有一个基准点（原点）表示0
都有明确的正负方向
都有统一的单位长度
在数学中，我们把满足这三个条件的直线称为数轴：
任取一点表示数0，称为原点
规定向右为正方向，向左为负方向
选取适当的单位长度
数轴被原点分成正半轴和负半轴两部分。任何有理数都可以用数轴上的点来表示，例如6.5表示正半轴上距离原点6.5个单位长度的点，表示负半轴上距离原点个单位长度的点。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果数轴上表示-5的点向右移动3个单位长度，它现在表示什么数？如果表示2.5的点向左移动4个单位长度呢？
学生回答：-5向右移动3个单位长度后表示-2；2.5向左移动4个单位长度后表示-1.5。
教师追问：很好！那如果数轴上有一个点，它到原点的距离是7个单位长度，这个点可能表示哪些数？
学生思考后回答：可能是7或-7，因为距离原点的距离相等但方向相反的两个点表示的是相反数。
（三）设计意图
通过生活实例引入数轴概念，帮助学生建立从具体到抽象的思维过程。借助温度计等常见物品的类比，培养学生的观察能力和类比推理能力。通过师生互动中的问题设计，加深学生对数轴三要素的理解，特别是对相反数和绝对值的直观认识。这种教学方式注重培养学生的数形结合思想，为后续学习有理数运算奠定基础。
新知应用
例2题目：
画出数轴，并在数轴上表示下列各数：
解答：
我们先来回顾一下数轴的定义和画法：
数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
原点表示0；
正方向通常向右（或向上）；
单位长度是任意选取的，但必须统一。
接下来我们一步步在数轴上标出这些数：
画出数轴：
画一条水平直线，标出原点（通常在中间），向右为正方向，向左为负方向。
每隔一个单位长度标出整数点：如1、2、3……和-1、-2、-3……
标出各数的位置：
数 3：从原点向右数3个单位长度，标出点；
数 -4：从原点向左数4个单位长度，标出点；
数 4：从原点向右数4个单位长度，标出点；
数 0.5：在0和1之间，距离原点0.5个单位长度，标出点；
数 0：就是原点本身；
数 ：即-2.5，从原点向左数2.5个单位长度，标出点；
数 -1：从原点向左数1个单位长度，标出点。
最终结果如图1.2-5所示：
总结：
1.题目考查内容
①数轴的定义与画法；
②有理数在数轴上的表示方法；
③正数、负数、0在数轴上的位置关系。
2.题目求解要点
①掌握数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；
②理解正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点；
③能准确地将给定的有理数（包括分数）在数轴上标出；
④注意单位长度的一致性，避免标错位置。
新知巩固
题目：第1题
解答：
我们逐项分析选项：
A．数轴是一条规定了原点、正方向的直线
错误。数轴不仅需要规定原点和正方向，还需要规定单位长度。因此，完整的数轴定义应包括：原点、正方向、单位长度。
B．整数和分数统称为有理数
正确。有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数），它们都可以表示为两个整数之比（分母不为0）。
C．符号不同的两个数互为相反数
错误。只有符号不同，且绝对值相同的两个数才互为相反数。例如，3和-3互为相反数，但3和-2不是。
D．两数相加，同号得正，异号得负
错误。这是乘法的符号法则，不是加法的。加法的结果取决于两个数的大小和符号，不能简单地用“同号得正，异号得负”来判断。
因此，正确答案是 B。
总结：
1.题目考查内容
本题考查数轴的定义、有理数的分类、相反数的概念以及加法的符号法则。
2.题目求解要点
数轴的定义必须包含三个要素：原点、正方向、单位长度；
有理数包括整数和分数；
相反数必须是绝对值相同、符号相反的两个数；
加法的符号法则不能简单地用“同号得正，异号得负”来判断。
3.同类型题目解题步骤
逐项分析每个选项；
回忆相关定义和性质；
判断每个选项是否符合数学定义；
选出唯一正确的选项。
题目：第2题
解答：
我们逐项分析选项：
A．任何一个有理数都有倒数
错误。0没有倒数，因为任何数与0相乘都为0，不能得到1。
B．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数
错误。0的绝对值是0，它的相反数也是0，但0不是负数。
C．若两个数互为相反数，则数轴上表示它们的点到原点的距离相等
正确。互为相反数的两个数，如a和-a，它们到原点的距离都是|a|，因此相等。
D．如果一个有理数表示的点离开原点的距离越远，这个数越大
错误。距离原点越远的数，其绝对值越大，但不代表这个数本身越大。例如，-5比3离原点远，但-5 < 3。
因此，正确答案是 C。
总结：
1.题目考查内容
本题考查倒数的定义、绝对值的性质、相反数的几何意义以及数轴上点与数的大小关系。
2.题目求解要点
0没有倒数；
绝对值是它的相反数的数可以是0或负数；
相反数在数轴上关于原点对称，距离原点相等；
点离原点越远，表示的数不一定越大。
3.同类型题目解题步骤
分析每个选项的数学含义；
判断是否符合定义或性质；
举出反例验证；
选出唯一正确的选项。
题目：第3题
解答：
根据题意和图示，有理数a和b在数轴上的位置如下：
a在原点左侧，说明a < 0；
b在原点右侧，说明b > 0；
|a| > |b|，说明a的绝对值大于b的绝对值。
我们逐项分析选项：
A．
错误。因为a是负数且绝对值更大，a + b的结果仍然是负数。
B．
错误。a < 0，b > 0，所以ab < 0。
**C．**
错误。-a是正数，且|a| > |b|，所以 -a + b > 0。
**D．**
正确。因为|a| > 0，b > 0，所以 -|a| - b 是两个负数相加，结果小于0。
因此，正确答案是 D。
总结：
1.题目考查内容
本题考查数轴上点的位置与数的大小关系、绝对值、相反数、代数式的符号判断。
2.题目求解要点
根据数轴判断数的正负；
利用绝对值比较大小；
分析代数式的符号；
注意负号和绝对值的运算顺序。
3.同类型题目解题步骤
从数轴上读取数的正负和大小关系；
分析代数式中各项的符号；
结合数的大小进行代数运算；
判断代数式的整体符号。
题目：第4题
解答：
题目要求找出在数轴上与-2的距离等于4的点所表示的数。
设这个点表示的数为x，则根据数轴上两点之间的距离公式，有：
即：
解这个绝对值方程：
解得：
因此，这两个点表示的数分别是2和-6。
总结：
1.题目考查内容
本题考查数轴上两点之间的距离、绝对值方程的解法。
2.题目求解要点
数轴上两点之间的距离公式为 ；
绝对值方程有两个解；
解绝对值方程时要分情况讨论。
3.同类型题目解题步骤
设未知数为x；
列出距离公式；
解绝对值方程；
得出所有可能的解。
板书设计
数轴
├─ 定义
│ ├─ 原点：直线上表示数的点
│ ├─ 正方向：从原点向右（或上）
│ └─ 单位长度：选取适当长度
├─ 构成部分
│ ├─ 正半轴：正方向一侧
│ └─ 负半轴：另一侧
├─ 有理数表示
│ ├─ 正数：正半轴上，距原点个单位长度
│ ├─ 负数：负半轴上，距原点个单位长度
│ └─ 0：原点
└─ 作用：借助图形直观表示数相关问题
教学反思
本节课通过生活实例引入数轴概念，结合方向与距离的关系，帮助学生理解用数表示直线上的点这一抽象过程，教学设计结构清晰，层次分明，符合七年级学生的认知特点。课堂中通过问题引导、图形观察、归纳总结等方式，使学生逐步建立数形结合的思想，较好地完成了教学目标。成功之处在于借助实际情境和直观图形，激发了学生的学习兴趣，增强了理解效果；不足在于对数轴单位长度的选取与实际问题的对应关系讲解略显仓促，部分学生在应用中出现困惑。今后教学中应加强数轴三要素在实际问题中的具体应用训练，进一步提升学生的抽象概括能力与数学建模意识。

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