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第9章 浮力
一张不太重的薄铁板放在水中，它会沉入水底。若我们将它折叠成一个小铁盒的形状，它可能会漂浮在水面上。大家都知道这与浮力有关。不论是中国古代曹冲称象的故事，还是传说中古希腊的阿基米德在洗澡时想出了解决检验皇冠是否纯金的难题的办法，都与浮力有关。在学习有关浮力知识的时候，尤其运用这些知识解决问题的过程中，同学们的潜能会得到充分开发，智慧和能力会得到充分展示。
知识要点和基本方法
一、浮力
1.浮力的概念
实验表明，浸在液体(或气体)里的物体，受到液体(或气体)向上“托”的力，这种力称为浮力。万吨巨轮能够在海上航行，探空气球能够携带仪器飞向高空，都是与它们受到浮力作用有关。
2.浮力产生的原因
液体内部有压强，浸在液体内的物体会受到液体压力作用。液体内部向各个方向都有压强，液体内部压强随深度增加而增大。因此当物体浸入液体时，如果物体受到液体对它下表面向上的压力大于上表面所受到的向下的压力，其压力之差就是物体所受到的浮力。也可以说，浮力就是浸入液体中所受到的液体压力的合力， 浮力的方向就是 与 的合力的方向，它总是竖直向上的。
需要说明的，一是浮力的施力物体是液体(或气体)，浮力大小等于液体(或气体)作用于物体上下表面的压力差，在分析物体受力时，考虑了物体受到浮力作用就不要再考虑液体(或气体)对物体的压力；二是如图9-1所示长方体的物体与容器底密合时，物体下表面没有受到液体向上的压力，这种情况，通常不讨论物体是否受浮力作用，而是分析物体受到的压力和压力差。图9-2所示物体的形状不是长方体，其侧面受到液体压力与侧面垂直，这种情况如果物体下表面与容器底密合，一般也不讨论物体是否受浮力作用，同样是分析物体受到的压力和压力差。
3.根据浮力产生的原因分析物体受到的浮力的大小
设想一个边长为10cm的正方体物块浸没在水中，它的上表面与水面平行且在水下距水面5cm 处，物块静止不动。试求正方体物块上、下表面所受水的压力之差。
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要求出正方体物块上、下表面所受水的压力之差，可根据液体的压强公式 求出水对正方体物块上、下表面的压强；然后根据公式F=pS，求出水对正方体物块上、下表面的压力，最后求出压力差。
物块上表面所受水的向下压强大小为 物块下表面所受水的向上压强大小为 ρgh ，其中h 和h 分别表示物块上、下表面到水面的距离，ρ表示液体的密度。上、下表面所受水的压力之差大小为
上式中 等于正方体物块的边长，S表示正方体物块每一面的表面积，因此上式可以进一步写成
其中V表示浸没在水中的正方体物块的体积。将数据代入上式，得到上、下表面所受水的压力之差
=9.8N
通过以上分析可以知道，浸没在水中的正方体物块所受到的浮力大小为
以上我们没有分析浸在液体中的正方体物块四个侧面受到的压力问题，原因是物体前、后、左、右四个表面对称地浸在液体中的同一深度，前、后两个面所受压力大小相等，方向相反，相互平衡；左、右两个面所受压力大小相等，方向相反，相互平衡。即这四个面所受压力的合力为零。而上、下两个面所受压力大小不等，合力(压力差)方向向上，这就是我们分析物体所受压力差(即物体所受浮力)的基本思路。上述结论是通过对正方体物块分析得到的，可以证明，对其他形状的物体，上述结论同样适用，只是分析过程和分析方法要复杂得多。
请读者进一步分析：
(1)在本题中，若改变正方体物块在水中的深度，水对正方体物块上、下表面的压力大小是否改变 水对正方体物块上、下表面的压力差大小是否改变 为什么
(2)我们可以分步求出水对正方体物块上、下表面的压力大小 然后求出 但在上面分析过程中，我们并没有分步求出F 和F ，而是经过推导直接得到压力差的最终表达式，计算出结果。最终结果与F 、F 的数值大小是否有关 为什么
(3)通过以上分析，物块在水中所受到的浮力与哪些因素有关
二、阿基米德原理
1.阿基米德原理的内容
浸在液体(或气体)里的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于被物体排开的液体(或气体)的重力，这就是阿基米德原理。这个规律是二千多年前古希腊学者阿基米德首先发现的。阿基米德原理的数学表达式为
阿基米德原理是通过大量实验总结得到的物体所受浮力的规律，它与我们前面利用分析物体所受到的压力差得到的结论是完全相同的。
2.验证阿基米德原理的实验
利用如图9-3所示的装置，可以用实验验证阿基米德原理。
请读者自己结合如图9-3所示的装置，说明如何通过实验验证阿基米德原理。
3.阿基米德原理的应用
根据阿基米德原理可以分析和计算物体浸在液体中所受到的浮力。例如一个体积为 的铁球完全浸没在水中时，铁球受到的浮力大小为
需要说明的是，阿基米德原理可以计算出铁球浸没在水中所受到的浮力，但它不能解决铁球究竟浮在水面还是在水中下沉的问题。如果讨论铁球在水中沉浮问题，必须结合力的平衡知识。
根据阿基米德原理还可以计算出铁球浸没在空气中所受到的浮力，只需将水的密度ρ液 换成空气的密度ρ气即可。由于通常条件下气体密度远远小于液体密度，物体在空气中所受到的浮力很小，因此在物体所受到的浮力远远小于物体重力时，我们一般不考虑物体在空气中所受到的浮力。
还要进一步说明的是：
(1)浸在液体里的物体所受浮力的大小与液体的密度和物体排开液体的体积有关，与物体的材料、形状、运动状态、容器内液体的多少无关；当物体被浸没时，与浸没在液体中的深度无关。
(2)“浸在液体中”是指物体浸没和部分浸入液体两种情况。
(3)应用阿基米德原理进行计算时，公式中各量均统一采用国际单位制单位。
三、物体的浮沉条件
1.浸在液体中的物体的浮沉条件
将物体放在液体中，物体是漂浮在液体表面，还是在液体中下沉，或是能够悬浮在液体内部任何位置不动，这由物体在液体中所受浮力及物体的重力决定。因此在分析液体中的物体的浮沉问题时，必须对浸在液体中的物体的受力情况认真分析。
根据二力平衡知识，浸在液体中的物体的浮沉条件是：
在物体仅受到浮力和重力的条件下，浸在液体中的物体所受浮力大于物体重力，物体在液体中向上浮起；若浸在液体中的物体所受浮力小于物体重力，物体在液体中下沉；若浸在液体中的物体所受浮力恰好等于物体重力，物体在液体中保持静止(或匀速运动)。
若物体在液体中不只受到浮力和重力，对物体的浮沉问题的分析依然是根据力的平衡知识进行，只不过研究的力的数量多一些而已。
2.浮沉条件的应用
根据物体在液体中所受到浮力和重力的关系，可以对物体在液体中上浮或下沉的过程进行分析，可以对物体及液体的密度关系进行分析，还可以结合如轮船、气球等联系实际的物理问题作进一步认识。
(1) 轮船
轮船是浮体。轮船浸入在水中的深度，叫做轮船的吃水深度。轮船满载时排开水的质量，叫做轮船的排水量。正常航行时，轮船所受的浮力等于轮船自身的重力与所载货物的重力之和，即
(2)潜水艇
潜水艇是靠改变自身重力来实现下潜和上浮的，潜水艇浸没在水中不同深度时，受到的浮力是不变的。
(3)气球和飞艇
气球和飞艇都是浸没在空气中的，它们都受到浮力。当气球和飞艇受到的空气浮力 时，气球和飞艇上升；当气球和飞艇受到的空气浮力 时，气球和飞艇下降。飞艇装有发动机，可控制飞行方向。
(4)液体密度计
液体密度计是常用的测量液体密度的仪器，液体密度计以前习惯上称为比重计。一个重力不变的浮体若能够漂浮在液体表面，它所受到的浮力一定与其重力相等，而这个浮体浸入在液体中的体积(或深度)与液体密度有关，我们可以通过浮体浸没在液体中的深度测量液体密度。这就是液体密度计的工作原理。液体密度计能够直立地漂浮在液体表面，通过它浸没在液体中的深度，我们可以从密度计的刻度值直接读出被测液体的密度。液体密度计有如下两个特点：一是密度计直立地漂浮在液体表面时，从下向上，刻线对应的数值越来越小；二是密度计上刻线的间距不均匀，自下而上，刻线间隔越来越大。请读者自己想一想：液体密度计为什么会有这样两个特点呢
3.空气的浮力
地球上的物体都处于大气之中，因此地球上的物体都会受到空气的浮力。
为什么我们平时在陆地上，没有那种在水中游泳时的感觉，没有感觉到空气的浮力 查一查物体的密度你就会知道了：人体的平均密度远远大于空气的密度，人受到的空气浮力远远小于他受到的重力。
空气的浮力看似不大，但在日常生活或科学实验中，我们常常会利用它。例如有些地方的人放“孔明灯”，我们研究高空大气时使用的氦气球，都是利用了空气的浮力。
例题精讲
例题 1 如图所示，在盛水的烧杯中浮着一块冰。待冰块完全熔化后，烧杯中水面高度的变化是()。
A.水面升高了 B.水面降低了
C.水面高度不变 D.无法确定
解析 烧杯中原有水的体积不变。要分析冰块完全熔化后水面高度的变化，关键要确定这块冰熔化前排开水的体积V 与它熔化成水之后这部分水的体积V 的关系。若 表明液面上升；若 表明液面高度不变；若V 解法1 设这块冰的质量为m，则它漂浮在水面时，所受到的浮力 F浮 与其重力G相等，它排开水的体积为
当冰完全熔化成水以后，冰熔化的水与杯中原来的水的密度相同，由于冰熔化成水的过程中，其质量保持不变，因此熔化成水之后这部分水的体积为
可见， ，水面高度不变。本题选项C正确。
解法2 本题中比较冰熔化前排开水的体积V 与它熔化成水之后这部分水的体积V 的关系，其实质是比较冰熔化前后所受浮力的关系。
根据浮沉条件可知，冰在漂浮时和它熔化后这部分水所受浮力相同，都等于其重力，而冰在漂浮时所受浮力等于它排开水的重力，因此必定有 所以水面高度不变。
例题 2 在小水池中漂浮着一只装有木头的小船，将小船中的木头抛入池水中，求小池水中的水面高度将如何变化 小船的吃水深度如何变化
解析 取小船和木块整体为研究对象，由于它们漂浮在水面，可知小船原来所受浮力等于它们的总重力；当将木块抛入水中时，小船和木块仍漂浮在水面上，其整体所受浮力不变。因此，抛出木块前后小船和木块整体排开水的体积不变，池中水面高度不变。
取小船为研究对象，小船原来所受浮力等于小船和木块整体的总重力；而将木块抛入水中后，小船所受浮力仅等于小船的重力，即小船所受浮力减小，因此小船的吃水深度减小。
请读者想一想，例题1与例题2是否相似
例题 3 在小水池中漂浮着一只装有石块的小船，设想将小船中的石块都拴在船底下，石块不与水池底接触，求池水中的水面高度将如何变化
若将小船中的石块都抛入池水中，求池水中的水面高度将如何变化
解析 取小船和石块整体为研究对象，由于其漂浮在水面，小船所受浮力等于它们的总重力；将小船中的石块拴在船底下，石块不与水池底接触，小船和石块整体所受浮力不变。因此，将小船中的石块拴在船底下前后它们排开水的体积不变，小水池中水面高度不变。
取小船和石块整体为研究对象，由于其漂浮在水面，所受浮力等于它们的总重力。当将石块抛入水中时，小船仍漂浮在水面上，小船所受浮力等于小船的重力；而石块沉在池底，石块所受浮力小于石块的重力；可见小船和石块整体所受浮力变小。因此，抛出石块前它们排开水的体积大于抛出石块后它们排开水的体积，池中水面高度应降低。
说明 以上三个例题看似不同，实际分析、解决问题的方法相同。在分析、解决这样的问题时：一是要注意抓住物体漂浮在水面上(或其中一部分沉入水中)，整体处于平衡状态，所受合力为零这一特征；二是运用阿基米德原理，分析物体受到的浮力是否变化。还有研究对象选得好，可以使问题变得简单。
例题4 已知海水的密度是 河水的密度是1.00×10 kg/m 。 一艘万吨巨轮从海洋驶入内河后，下列说法中正确的是()。
A.吃水深度将明显增大
B.吃水深度略有增大，不易观察到
C.排开水的质量将略有增大
D.排开水的质量没有变化
解析 巨轮从海洋驶入内河后自重不变，且都是漂浮状态，根据平衡条件可以知道，巨轮在海里和河里受到的浮力不变，其大小始终等于船重。
根据阿基米德原理知道，巨轮所受到的浮力与所排开的液体重力相等，由于海水的密度略大于河水的密度，因此巨轮从海洋驶入内河后吃水深度将增大。
由题目所给出的海水与河水的密度可知，海水比河水的密度大约略大3%，由于巨轮在海里和河里受到的浮力不变，从海洋驶入内河后吃水深度变化大约在3%左右。而1万吨的巨轮吃水深度大约9m多些，2万吨巨船吃水深度大约10m，吃水深度3%左右变化是很不明显的。
本题的正确答案是B和D。
说明 船的外形是相当复杂的，对于非专业人士来说，计算船吃水深度变化是很复杂的事情。但是如果仅做些粗略的估算，对于学习了初中浮力知识的同学也并不是很困难的事情。
以巨轮从海里驶向内河为例，我们可以假设船是一个漂浮在水面的长方体，这样船排开液体的体积仅与船浸没在液体中的深度h 有关，设船的底面积为S，有
不论是在海里还是内河，巨轮所受浮力相等，则有
巨轮在内河吃水深度 吃水深度变化
对本题做上面的说明，是希望同学进一步理解：
(1)为了使问题简化，我们假设船是一个漂浮在水面的长方体，这是研究物理学常用的方法，即在抓住主要因素后忽略次要因素，建立理想模型。这样处理可以使问题大大简化；
(2)通过合理地建立物理模型，我们可以得到近似的结果，尽管可能有些误差，但是一般不会产生数量级的错误。对于数量级的认识也是物理学习中应该重视的问题。
在学习物理知识的过程中，希望同学们能够重视对建立物理模型以及物理量数量级的认识、理解和练习。
例题5 如图所示，一个体积为500 cm 的圆柱形木块放入盛有水的容器中，木块有 的体积露出水面。已知筒形容器的底面积为250cm ，现将一金属块 B轻轻放在木块上，木块恰好全部没入水中，如图所示。
(1)金属块 B 放在木块上之后，筒形容器内水面上升多高
(2)容器底部所受压强增大了多少
(3)金属块B 的质量多大
解析 根据浮沉条件和阿基米德原理，木块漂浮时，它所受浮力等于它的重力，即
木块和金属块 B 一起漂浮时，它们所受浮力等于它们的总重力，即
其中，
由于在木块上放上金属块 B 前后，木块排开水的体积增加了 水面升高了
容器底部所受压强增大了
△p=ρ水g△h
=78.4 Pa
由式①、②两式可确定金属块 B 的质量。②-①得 则可知金属块 B 的质量是
由以上分析可知，(1)金属块 B 放在木块上之后，筒形容器内水面上升了0.8cm；(2)此时容器底部所受压强增大了78.4 Pa;(3)金属块 B 的质量是200g。
例题6 如图所示，将一木块放入水中，它露出水面部分的体积V 是 。将露出水面部分完全截去后再放入水中，它露出水面部分的体积V 是 。求木块的密度和原来的体积各多大
解析 木块两种情况均处于漂浮状态，根据浮沉条件可知，其所受浮力等于重力。设木块原来的体积为V，第一次露出水面的体积为V ，第二次露出水面的体积为V ，如图所示。
原来木块漂浮时，有
截去体积V 后，剩下的部分漂浮，有
两式相减，得
木块的密度
木块原来的体积
说明 上面两式相减所得到的 它表达了什么物理意义呢 取被截去的部分V 为研究对象，V 的重力应等于木块两次所受到的浮力之差，即V 的重力G=△F浮，也就是
例题7 如图所示，一根粗细均匀的蜡烛长20cm，在蜡烛下端插入一铁钉，使蜡烛能竖直地浮于水面。已知蜡烛露出水面的高度为1cm，蜡的密度为ρ=0. 铁钉的体积不计。现将蜡烛点燃，求蜡烛燃烧到还剩多长时，烛火将被水淹灭。
解析 取蜡烛和铁钉整体为研究对象。蜡烛未点燃时漂浮在水面，蜡烛熄灭时刚好浸没在水中，根据浮沉条件，这两种情况蜡烛和铁钉整体所受浮力等于它们的重力。设蜡烛的原长是L cm，熄灭时的长度为L cm，蜡烛的横截面积为S，铁钉的重力为G。
蜡烛未点燃时漂浮在水面，根据浮沉条件和阿基米德原理有
蜡烛熄灭时有
ρ水gLS=G+ρ蜡gLS
两式相减，解得
=20cm-10cm=10cm
说明 本题中，燃烧过程中蜡烛的长度是逐渐减少的，若我们考虑刚点燃和刚熄灭时两个状态，则相当于将蜡烛截去适当的一部分使之刚好浸没在水中。请比较该问题与例题6。两者有什么本质的区别吗 请读者考虑：在研究有关浮力问题时，面对看似完全不同的物理现象，应如何入手解决呢
例题8 浮在海面上的工作平台，空载时(工作平台上不放置工作机械和货物)浸没在海水中的平均截面积为 将工作机械放在平台上后，平台的吃水深度增加了1.5m。该平台除工作机械外还可以承载货物，在承载货物及工作机械后，平台的吃水深度变化不得超过4.5m。已知海水的密度是 设工作平台浸没在海水中的平均截面积保持不变，求该工作平台在海水中承载货物的最大能力(即能够承载货物的最大重力)是多少。已知工作平台上工作机械是不可缺少的装置。
解析 本题中未给出工作平台自身的重力G 和空载(不承载工作机械和任何货物)时飘浮在海面上排开海水的体积V ，表面上看好像题设条件不足，但是通过前面例题分析我们可以看到，在解题过程中，若能够列出两个方程，则有可能将某个量消去。根据本题条件分析可知，放到工作平台上工作机械的重力正好等于此时工作平台排开海水的重力与空载时排开海水的重力之差。
工作平台在海上处于漂浮状态，它所受的浮力等于它的重力。设工作平台自身的重力为G ，它在海面上排开海水的体积为V ，平台上工作机械重为G，则在空载时
仅装工作机械时
两式相减，得到工作机械重
由于平台的吃水深度变化不得超过4.5m，因此承载货物引起平台的吃水深度变化不得超过3.0m。根据浮沉条件和阿基米德原理，在工作机械以外，平台允许承载货物的最大重力
说明 上面解题过程中实质用到了联立方程组，这也是以后我们解决比较复杂问题时可能常常用到的方法之一。在解方程组时，一般先进行字母运算，得到一般结果的表达式，最后再代入数据解出结果。
例题9‘重16 N的实心塑料小球用轻细线拴住，线的另一端固定在水底，如图所示。小球静止不动时，细线对小球的拉力大小为4 N。以下说法中正确的是()。
A.塑料小球的密度是
B.若将细线剪断，不计水对小球的阻力，小球将在水中加速向上浮起
C.若将细线剪断，塑料小球将浮出水面，静止在水面上时，小球有 体积露出水面
D.若将细线剪断，在细线下面系另一个重为4N的实心铁球，这两个球将可以悬浮在水中
解析 (1)小球在水下静止不动时，受到重力G、浮力 F 和细线对小球的拉力T，受力情况如图所示。根据力的平衡知识，这三个力的合力为零，即
F-T-G=0
由题设条件T=4N，G=16N，可知小球在水下所受浮力大小为F=T+G=20N。设小球体积为V，小球在水下排开水的体积也是V。根据G= mg=ρVg和阿基米德原理，有G=ρVg,F=ρ gV
其中ρ 表示水的密度。由以上两式可以得到小球密度与水的密度关系是
解得小球密度
(2)若将细线剪断，不计水对小球的阻力，小球仅受重力G和浮力F，浮力F>重力G，小球将在水中加速向上浮起。
需要注意的是，物体在液体中上浮或下沉过程，都是由于物体受力不平衡所致。若不计液体对物体的阻力，仅在重力和浮力作用下，上浮和下沉的速度都是逐渐增加的。而物体的漂浮、悬浮和沉在液体底部状态，均是物体受力平衡所致的平衡状态。解决问题时应注意将这两类不同情况区分清楚。
另外，上浮是物体在液体中向上运动的过程，上浮过程的最终状态是物体漂浮在液体表面；而下沉是物体在液体中向下运动的过程，下沉过程的最终状态是物体静止在液体的底部；悬浮是物体在液体中任意深度处静止的状态。
(3)塑料小球最终将浮出水面，静止在水面上时，小球所受到的浮力和小球重力大小相等，即
由以上分析可知，静止在水面上时，小球有体积露出水面
(4)若将细线剪断，在细线下面系另一个重为4 N的实心铁球，铁球不仅受到重力，同时也受到浮力，因此铁球对连接两个球的细线的拉力小于4N，这两个球不可能都悬浮在水中，而是在水中向上浮起。两个球最终在水中处于什么状态 请读者自己分析。
根据以上分析，本题的正确答案应选择A、B、C。
例题10 一个实心玻璃球，用精确的弹簧秤在空气中称得其重力为0.441N，将玻璃球完全浸没在水中，此时弹簧秤的示数为0.294N(这个示数也叫做玻璃球在水中的视重)，求玻璃球的密度ρ。
解析 设玻璃球的体积是V，玻璃球的重力及其在水中视重分别为G和G'，根据力的平衡知识，玻璃球的重力G及其在水中视重G'的差值就等于玻璃球在水中所受到的浮力 F，即
玻璃球完全浸没在水中，玻璃球排开水的体积等于玻璃球体积V，根据阿基米德原理，有
其中ρ 表示水的密度。由此可以求出玻璃球的密度
如果我们将这个玻璃球完全浸没在某种密度未知的液体中，能否进一步测出这种液体的密度呢 从原理上讲这是很简单的问题。只要将玻璃球完全浸没在这种未知液体中，测出玻璃球在这种液体中的视重G"，就知道玻璃球在这种液体中所受到的浮力F',F'=G-G''。 设未知液体的密度为ρ ，根据前面分析，有
可以求出未知液体的密度为
例题11 通过实验测量小木块的密度ρ。除待测小木块外，可以提供的器材有：一个盛有水的大容器，一个测量精度可以达到要求的弹簧秤，一个小铁块，细线。说明实验原理和实验方法，并给出最终结果。已知小木块密度ρ小于水的密度ρ 。将小木块与铁块拴在一起，两者在水中将下沉。
解析 由于小木块密度ρ小于水的密度ρ ，而且将小木块与铁块拴在一起，两者在水中将下沉，可以用沉锤法测量小木块密度ρ。
(1)先在空气中用弹簧秤测出小木块的重力G。
(2)用细线将小木块与铁块系在一起，然后挂在弹簧秤下，小木块在上，铁块在下。
(3)将铁块完全浸没在水中，此时小木块全部处于水面之上，记录弹簧秤的示数( 根据力的平衡知识，此时弹簧秤的示数G'等于小木块和铁块总重力与铁块所受到的浮力之差。
(4)将铁块和小木块完全浸没在水中，记录弹簧秤的示数G"。此时弹簧秤的示数( 等于小木块和铁块总重力与铁块、小木块所受到的浮力之差。
(5)以上两次测量数据G'与G"之差，就等于小木块浸没在水中所受到的浮力。由此可以推算出小木块的体积(与排开水的体积相等)是
(6)小木块的密度为
由以上分析可知，根据测量出的G、G'与G"，借助已知水的密度ρ ，可求出小木块的密度。
说明 利用物体在液体中的浮沉条件，可以方便地求出物体(或液体)的密度。类似例题10、例题11实验中，除使用弹簧秤外，还常使用物理天平。请读者自己想一想：如果将弹簧秤换成物理天平，如何完成类似的测量呢
例题12 某种合金的密度 用这种合金制成一个空心金属球，要求这个金属球能够悬浮在水中，求这个金属球空心部分的容积与金属球占有空间体积的比值多大
解析 设金属球占有的空间体积为V，金属球空心部分的容积为V'，金属球质量为m，则这个空心金属球的平均密度
若要这个金属球能够悬浮在水中，则要求这个金属球的平均密度ρ′与水的密度ρ 相同，即
由上式解得，金属球空心部分的容积与金属球占有空间体积的比值
例题13 如图1所示的木块完全浸没在水中，用细线将木块系在水底时，细线对木块的拉力是2 N。剪断细线，待木块静止后，将木块露出水面部分完全切去，再在剩余的木块上加1N竖直向下的压力时，木块有 的体积露出水面。求木块的密度。(取g=10N/ kg)
解析 研究木块在四种不同情况下的受力情况，如图2所示。图甲所示是木块浸没在水中被细线拉住时的受力情况，木块浸没在水中的体积是V；图乙所示是剪断细线后，木块在水面漂浮时的受力情况，木块浸没在水中的体积是V ；图丙所示是将图乙中露出水面部分切去后，在向下压力作用下木块的受力情况，木块浸没在水中的体积是 图丁所示是将图丙中的压力撤去后的自由漂浮时的受力情况，木块浸入水中的体积为V 。由题意可知，
解法1 根据力的平衡，由图甲可知，浮力 F、重力G和拉力T满足F=T+G，由图乙可知
由图丙可知
即 ①
②
③
将②式代入①式，消去V，有
④
由③式，
⑤
将⑤式代入④式，有
则木块的密度为
其中 T 为1牛竖直向下的压力，代入已知数据，得木块的密度
解法2 由图甲和图乙，有T=F-F ,即
代入已知数据，解出
即木块被截去的体积为200cm 。
由图丙和图丁得到 即
代入已知数据，解出
由图乙
由图丁
两式相减有
解得木块的密度
说明 (1)该题是以物体在液体中，在不同情况中均处于平衡状态为主线的力学综合题，难度很大。它同时应用到了一条直线上两个力的合成、力的平衡条件、密度公式、重力与质量的关系式和阿基米德原理。解这类题的关键是要抓住物体所处的不同状态，搞清楚受力情况，找出各种条件下各物理量之间的联系，列出相应的力学方程求解。
(2)解法2的思路实质是选被切去的那部分木块为研究对象，最终的表达式是
所以要先求出( 和 ，方可最后求出木块的密度。
例题14 现要测量一个形状不规则的石蜡块的密度，但身边没有天平，也没有量筒，只有两个可以放进石蜡块的杯子和一根自行车胎气门芯用的细长橡皮管，还有一桶水和一根大头针。请你设计一个实验来测出这块石蜡的密度(要求写出实验的原理和主要步骤，并导出计算石蜡的密度的表达式)。
解析 1.原理：当石蜡块漂浮在水面时，由 可得 设从同一水位高度，从同一根胶皮滴管滴出的每滴水滴的体积V。相同，则有
解得
2.实验步骤：
(1)将杯子甲装满水，轻轻放入待测蜡块，排除部分水之后，小心取出蜡块。用另一个杯子乙装满水，利用橡皮滴管的虹吸现象，把乙杯中的水逐滴滴入甲杯，直至甲杯水位恢复原来装满的状态。此过程中必须记下滴入甲杯的全部水滴数 n 。
(2)再将蜡块用大头针顶住，使之完全浸入甲杯水中，待水完全排出后，小心取出蜡块，再重复上一步骤的方法，将水逐滴滴满甲杯，记下这次总水滴数n 。
3.表达式：
练 习 题
A 组
1.“一艘远洋货轮从内河通过出海口驶向外海。与在内河时比较，货轮在外海航行时()。
A.吃水深度变深 B.吃水深度变浅
C.所受到的浮力变大 D.所受到的浮力不变
2.*我们将物体的质量与它所占有的空间体积之比，叫做物体的平均密度。以下说法中正确的是( )。
A.在海洋中航行的轮船的平均密度比海水的密度小得多
B.在海水深处航行的潜水艇的平均密度比海水的密度大得多
C.在空中飞行的飞艇的平均密度比空气的密度大得多
D.鱼的平均密度与水的密度相差不多
3.如图所示，物体A 浸没在水中静止不动，它的某一侧壁与容器壁密合在一起。下列说法中正确的是()。
A.物体A 所受合力方向竖直向上
B.物体A 所受合力方向沿水平向左
C.物体A 所受合力方向沿水平向右
D.物体A 所受合力大小为零
4.如图所示，有一根表面涂蜡的细木棒，在它的下端绕有适量的金属丝，细木棒可以竖直地漂浮在液体表面。现将它分别放到A、B两种液体中，细木棒在 B 液体中浸入的深度较大，如图所示，则这两种液体的密度关系是()。
A.ρA>ρB B.ρA=ρB C.ρA<ρB D.无法确定
5.把装满水的量筒浸入水中，口朝下，如图所示。用力抓住筒底，将量筒缓慢向上提起，在筒口离开水面前，量筒露出水面的部分()。
A.是空的 B.有水，但不满
C.充满水 D.以上三种情况都可能
6.如图所示，浮在水面上的冰块中有一个小石块。当冰完全熔化后，水面的位置将()。
A.上升 B.下降 C.不变 D.无法确定
7.“在小水池中漂浮着一只装有许多石块和木块的小船，则下列各种说法中正确的是()。
A.将小船中的木块抛入池水中，水面高度不变
B.将小船中的石块抛入池水中，水面高度不变
C.将小船中的木块和石块同时抛入池水中，水面高度不变
D.将小船中的木块和石块同时抛入池水中，水面高度下降
8.如图所示，将甲、乙两个容器放在水平桌面上，甲、乙两容器的底面积分别为S甲和 Sz。甲容器中盛有密度为ρ 的液体，乙容器中盛有密度为ρ 的液体。现将体积相等的A、B两个物体分别放入甲、乙两容器后，物体A 悬浮，物体B 漂浮且有一半体积露出液面，此时两容器中液面相平。液体对甲容器底部的压强为 p 、压力为 F ，液体对乙容器底部的压强为p 、压力为 F 。已知物体A 与物体B 的密度之比为2：3， Sz 等于4S甲。则下列判断中正确的是()。
9.在盛盐水的烧杯中浮着一块冰，待冰熔化后发现()。
A.水面下降了 B.水面上升了
C.水面高度不变 D.条件不足，无法确定
10.以下各种物体的密度中，与水的密度最接近的是()。
A.人体的平均密度 B.制作暖水瓶瓶塞所用的软木的密度
C.学习中我们常用的普通橡皮的密度 D.普通玻璃的密度
11.浸没在液体中的物体，受到液体对它向下的压力为4.9N，受到液体对它向上的压力为19.6 N，则物体所受浮力大小为 N。
12.如图所示，弹簧秤下端吊着一个金属球，静止时弹簧秤的示数为10N。当把金属球徐徐浸入水中的时候，弹簧秤的示数将变 ，金属球受到的浮力将徐徐变 。若金属球有一半浸入水中时，弹簧秤的示数为8N，这时金属球受到的浮力是 N；若把它全部浸没在水中，弹簧秤的示数将变为 N。
13.如图所示，一木块的质量为50g，体积为100cm ，如想让它完全浸没在水中，至少需要施加一个 N的力，方向 。
14.如图所示，木块用细线拴在容器底部。现在向容器内注水，当木块有一半体积浸在水中时，线对木块的拉力为4.9N；当木块浸没在水中时，线对木块的拉力为29.4N，则木块的质量是 。
15.气象站使用的高空探测气球连同其中的气体质量共1kg，体积为3m 。 已知空气的密度是1.29kg/m ，问这个气球最多可以携带质量是多少的探测仪器升空
16.一个物体重4.5N，体积为500cm 。把它放在水中待其静止后，所受浮力是多大
17.如图所示，一金属块在空气中吊在弹簧秤下，其示数 ;把金属块一半浸在水中，弹簧秤示数 若将金属块浸没在水中，弹簧秤的示数为多大
B 组
1.将质量为200g的物体用细线拴住后缓慢浸没在原来盛满水的杯子中，从杯中共溢出160g的水，放手后，该物体最终会()。
A.沉入水底 B.漂浮在水面
C.悬浮在水中 D.无法判断沉浮情况
2.“浮于水面的塑料块有 的体积露出水面，若继续向容器中注入一定量密度为0.8×10 kg/m 的酒精，则该塑料块在混合液中最终的可能状态是()。
A.塑料块下沉至容器底
B.塑料块在混合液体中悬浮
C.塑料块漂浮在混合液体的表面
D.塑料块浸没在液体中的体积变小
3.*甲、乙两个实心金属球，它们的质量相同，其密度 甲球挂在A 弹簧秤下，乙球挂在B 弹簧秤下，并让两金属球全部浸没在水中，则以下说法中正确的是( )。
A.甲、乙两球所受浮力之比是2：1
B.甲、乙两球所受浮力之比是1：2
C. A、B 两弹簧秤的示数之比是4：5
D. A、B 两弹簧秤的示数之比是5：6
4.如图所示，一支粗细均匀的蜡烛，长为L cm。在蜡烛的下端按上一个小铁钉，使蜡烛能在盐水中竖直地处于漂浮状态，露出水面h cm。则当蜡烛点燃后，其自然燃烧掉的最大长度是( )。
A. h cm B. 小于 h cm
C. 大于 h cm D. 等于(L-h) cm
5.“如图所示，装有石块的小船浮在水面上时，小船所受浮力为F ；当把石块全部放入水中后，石块所受浮力为F ，池底对石块的支持力为N。以下说法中正确的是()。
A.空船所受浮力为
B.池底所受水的压力减小了 N
C.石块所受重力等于
D.船排开水的体积减小了
6.如图所示，两个盛有等高液体的圆柱形容器A 和B，A底面积SA小于B 面积SB，液体对容器底部的压强相等。将甲球浸没在A 容器的液体中，乙球浸没在B容器的液体中，容器中均无液体溢出，若此时液体对各自容器底部的压力相等，则可以确定的是()。
A.甲球的质量大于乙球的质量
B.甲球的质量小于乙球的质量
C.甲球的体积大于乙球的体积
D.甲球的体积小于乙球的体积
7.“在对高空大气进行科研实验时使用的探空气球，里面多数是使用氦气。如果不考虑侧向风对气球的影响，不考虑其体积变化，这样的探空气球升空后竖直上升时，受力和运动情况是( )。
A.开始阶段探空气球会加速上升
B.探空气球在上升过程中受到的空气浮力会逐渐减小
C.探空气球上升速度会越来越小
D.探空气球在上升过程中受到的空气浮力保持不变
8.一个木块漂浮在水面上。将体积为10cm 、密度为 的铁块轻轻压在木块上，木块刚好全部浸没在水中。若将铁块从木块上拿走，木块露出水面的体积是 。
9.两个体积相同的实心木球，当它们浮在水面时，浸入水中的体积分别是各自总体积的 和 ，则这两个球的密度之比是 ；当把它们放入密度为 的煤油中时，静止后它们没入煤油中的体积之比是 。
10.湖面上漂浮着一块质量为9kg的冰块，冰块结冰时内部有一个体积为 的空洞，则这块冰浮在水面上时，露出水面的体积为 m 。 (已知冰的密度为
11.在量筒内注入适量的水，将一木块放入水中，水面达到的刻度示数是V ，如图1所示；再将一金属块投入水中，水面达到的刻度示数是V ，如图2所示；若将金属块放在木块上，木块恰好没入水中，这时水面达到的刻度是 V ，如图3所示。金属块的密度为
12.参加物理兴趣小组的小明和小强，分别设计了(1)和(2)两种不同的实验方法，测定土豆的密度。
(1)小明在实验过程中，调节天平平衡时，发现指针在中央刻度线两边来回摆动，但偏向左侧的角度较大，要使天平达到平衡，她应将平衡螺母向 调节。天平平衡后，在测量土豆质量时，游码的位置和所用的砝码如图所示，则这块土豆的质量为 g。
小明将土豆完全浸没在量杯水中，测得这块土豆的体积为230ml，则这块土豆所受的浮力为 N,土豆的密度约为 kg/m (取g=10N/ kg)。
(2)小强看到土豆虽能沉到水底，但在水里拿土豆时感觉很轻，他估计土豆的密度比水大不了太多。于是从学校借来了一支密度计，并用食盐、水、大茶杯、土豆和密度计进行实验，也测出了土豆的密度。他的实验步骤和结论是： 。
13.在一个标准大气压，温度0℃情况下，氢气的密度为( ，而相同条件下，氦气的密度为0.1786kg/m 。对高空大气进行科研实验时使用的气球，里面多数是使用氦气，而不使用氢气。请你说明这样做的原因(说明两点)是 。
14.一个体积为1dm 的铁球挂在弹簧秤下，若将铁球完全浸没在水中，弹簧秤的示数是它在空气中示数的五分之四。已知铁的密度为 试求：
(1)铁球受到的浮力；
(2)铁球受到的重力；
(3)这个铁球是空心的还是实心的
15.有一个较大的空心铝球浮在水面上，当给它施加一个竖直向下的压力 时，铝球有 的体积露出水面。若把铝球空心部分注满水后，用弹簧秤吊着将它浸没在水中，此时弹簧秤的示数为 已知铝的密度为 求铝球空心部分的体积。
16.边长为1dm的正方体木块，漂浮在酒精液面上时，有一半的体积露出液面，如图1所示。将木块从底部切去一部分，粘上体积相同的玻璃后，放入某种液体中，它仍漂浮在液面上，如图2所示。此时液体对它竖直向上的压强为980 Pa。已知酒精的密度为 玻璃的密度为 粘玻璃所用胶的质量和体积均忽略不计。试求：
(1)木块的密度；
(2)玻璃的质量。
17.将质量为300g的物块M放在盛满某种液体的容器中，物块M有一半体积浮出液面。现在将物块N压在M 上，M恰好浸没该液体中(N未进入液体中)。计算时取g = 10 N/ kg,试求：
(1)物块 N 的重力;
(2)放上物块 N 之后，容器中溢出液体的质量是多少
18.如图1所示，一小水池的底面积 小水池中有一个木筏A，木筏A 上装有0.5 m 的石块B，此时木筏露出水面的体积是木筏总体积的 已知木筏A和石块B的密度分别是 试求：
(1)木筏A 的体积多大
(2)若将木筏A 上的石块B 全部抛入水中，水池中水面的高度变化多少
19.用金和铜两种金属制作成一件工艺品。放在空气中称量时，工艺品重196N；将工艺品放在水中称量，称得工艺品在水中的视重是178N。已知金和铜金属内部均无空洞，金和铜的密度分别是 求这件工艺品用金和铜各多少克
20.已知空气的密度为 估算人体在空气中受到的浮力。(设人体质量为60kg)
21.如图所示，一个密度为 的圆柱体高10cm，用一根弹簧把它吊起来，让它的一半浸没在水中(盛水的容器很大)，此时弹簧比原长伸长了8cm。现再往烧杯中注入密度为0.8× 的油，并超过圆柱顶。问此时弹簧的伸长是多少 (保留两位有效数字)
如图所示，一个轻质弹簧，原长20cm，弹簧的一端固定在容器底部，另一端系住一实心立方体塑料块。将水注入容器，直到塑料块有一半浸入水中时，弹簧长度变为23cm，如图(1)所示。继续向容器中注水，当塑料块完全没入水中后，弹簧长度变为33cm，但未超过弹性限度，如图(2)所示。求此塑料块的密度ρ。
A组
1 BD 【解析】轮船漂浮在水面是浮力与重力平衡的结果。
2 AD 【解析】平均密度是一个很有意思也很有用的概念，物体能够漂浮在液体表面，一定是其平均密度小于液体密度。
3 D 【解析】题目明确表示“物体静止不动”，画出物体受力图，根据物体的平衡状态，从力与运动的关系角度分析。
4 A 【解析】根据浮力的知识和力与运动的关系综合分析。应该注意的是，对于浮力的问题，许多同学首先想到阿基米德定律，这并没有错误。但是多数涉及浮力的问题，物体的运动状态(例如漂浮、下沉等，即受力特点)是解决问题的关键和基础。
5 C 【解析】注意大气压强的存在。
6 B 【解析】注意分析题目所叙述的两个情景的差异：开始时冰和石块的平衡是浮力作用的结果，而冰融化后石块的平衡是浮力与底面支持力共同作用的结果。
7 AD 【解析】正确选取研究对象，根据其漂浮在水面处于平衡，分析浮力与重力的关系，并进一步分析排开液体体积的关系。
8 B 【解析】分别分析A、B两物体受力情况，由于A、B两物体均受力平衡，由此分析液体的压力及压强关系。
9 B 【解析】冰漂浮在盐水中，受力平衡。冰的密度小于水的密度，水的密度小于盐水密度。建议同学解答本题后与A组6、7、8题对比，并对这部分知识做梳理。
10 A 【解析】人能够在水中游泳，表明人平均密度接近水的密度。
11 14.7
12 小 大 2 6 【解析】注意正确确定研究对象，对研究对象做受力分析并正确求解，这些基本内容是解决有关浮力问题的基础。
13 0.49 竖直向下
142kg
15 气球最多可以携带质量是2.87kg。
16 物体所受浮力等于物体的重力4.5N。【解析】首先要判断物体在水中的状态，即物体是漂浮、悬浮还是沉底。
17 金属块浸没水中时，弹簧秤的示数为12 N。【解析】建议解答本题后，结合A组12~16题，从选取研究对象、受力分析、运用力与运动关系求解等方面总结解决这类问题的方法。
B组
1 A 【解析】在学习浮力知识时，水的密度通常作为已知条件。根据本题条件可以求出物体的体积，从而依据力与运动的关系得到结果。
2 ABC 【解析】根据本题塑料块露出水面体积的条件可以求得塑料块密度。而其在混合液体中的状态，取决于混合液体最终的密度。根据浮沉条件分析。
3 AC 【解析】对题目所述各种情况下金属球的受力进行分析。然后依据力与运动的关系分析和求解。
4 C 【解析】燃烧过程中蜡烛的长度是逐渐减少的，我们考虑开始时露出h 和刚熄灭浸没在水中时两个状态，则对应蜡烛燃烧的长度。
5 ABD 【解析】根据小船漂浮在水面处于平衡，浮力与重力相等，进一步分析抛出石块后浮力的变化进行分析。
6 C 【解析】对题目所述的各种情况下甲、乙球受力进行分析。然后依据力与运动的关系求解。
7 AB 【解析】气球升空初期，空气浮力大于重力。随高度增加，大气密度减小，气球所受空气浮力减小。
8 79cm 【解析】注意选取木块为研究对象，并画出受力图。然后根据受力情况和平衡条件做进一步分析。
9 1:2 1:2
11
12 (1) 右 252.6 2.3 1.1×10 (2)在大茶杯中放入适量的水，将土豆放入并完全浸没在水中，再加盐，让盐完全溶解，并直到土豆悬浮在盐水中；然后取出土豆，用密度计测出盐水的密度即等于土豆的密度
13 氦气是惰性气体，稳定性好。氦气密度小于空气密度。
14(1) 铁球受到的浮力9.8N; (2) 铁球的重力49N; (3) 铁球是空心的。
156 dm 【解析】建议学有余力的同学，结合密度、浮力等知识，总结判断物体是否是空心的方法，以及进一步求解空心部分体积大小的方法。
16(1)木块的密度 (2) 玻璃的质量m=0.72kg。
17(1)物块 N 的重力是3N;(2)容器中溢出液体的质量是300g。
18(1) 木筏A 的体积 (2) 水池中水面下降了h=0.02m。
19 这件工艺品用金6800g,用铜13200g。
20 受到的浮力 F=0.8N。【解析】游泳时，人可以用呼吸控制自己在水中的浮沉，这说明人体的密度与水的密度大致相同。
21 6.1cm。【解析】正确选取研究对象，对研究对象做受力分析并正确求解，这些基本内容是解决有关浮力问题的基础。
解得m=2.8kg, 建议：通过本题的分析求解，结合本章其他习题(例如A组6、7、8、9题，B组2、4、5、11、18等)归纳整理对这些问题处理的共同方法，总结其中的规律。

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