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21.2.2　公式法
素养目标
1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程.
2.会用根的判别式判断方程根的情况,能熟练地运用公式法求解一元二次方程.
◎重点:用公式法求解一元二次方程.
【预习导学】
知识点一：一元二次方程根的判别式
方程x+2=能用直接开平方法求解吗 为什么
　　归纳总结　一般地,式子 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,即Δ= .当Δ>0时,方程有 的实数根;当Δ=0时,方程有 的实数根;当Δ<0时,方程 实数根.
知识点二：用公式法解一元二次方程
分别求出当Δ>0和Δ=0时方程x+2=的解.
归纳总结　(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:当b2-4ac 0时,它的根x=　　　　　　.
(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤:
①把方程化为 ,确定a,b,c的值(各项系数若有分数,通常化为整数);
②求出 的值,根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
③如果 ≥0,可以将一般式中的a,b,c的值代入求根公式x= .
【合作探究】
任务驱动一：根的判别式
1.一元二次方程x2+2x-1=0的根的情况是 ( )
A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.不能确定
2.关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,当k取何值时,
(1)方程有两个不相等的实数根
(2)方程有两个相等的实数根
(3)方程没有实数根
变式演练　
1.若一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是 .
2.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
3.已知关于x的方程x2-2mx+2m-2=0.
(1)若此方程的一个根为-3,则m的值为　　　　.
(2)求证:对于任何实数m,此方程总有两个不相等的实数根.
方法归纳交流　一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系:(1)Δ>0 方程有 的实数根;(2)Δ=0 方程有 的实数根;(3)Δ<0 方程 实数根.由此可知当Δ 方程有两个实数根.
任务驱动二：用公式法解一元二次方程
3.(运算能力)用公式法解下列方程.
(1)x2+5x-6=0;(2)4x2-3x-1=x-2;
(3)x2+1-6x=0.
变式演练　
解方程:(1)3x(x-3)=2(x+1)(x-1);(2)x2-x+2=0.
方法归纳交流　用公式法解一元二次方程,先把方程化为 形式,确定a,b,c的值,如果 ≥0,那么方程的实数根可以写为　　　　　　;如果 <0,那么方程无实数根.
参考答案
【预习导学】
知识点一
答:不能直接开平方,因为可能是正数,可能是0,也可能是负数,只有当的值是非负数的时候,才能两边同时开平方.
归纳总结
b2-4ac　b2-4ac　两个不相等　两个相等　无
知识点二
答:当Δ>0时,>0,故x+=±,
∴x=;当Δ=0时,x1=x2=-.
归纳总结
(1)≥　
(2)①一般形式
②b2-4ac
③b2-4ac　
【合作探究】
任务驱动一
1.B
2.解:Δ=b2-4ac=(4k+1)2-4×2×(2k2-1)=8k+9.
(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,∴8k+9>0,解得k>-.
(2)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=0,∴8k+9=0,解得k=-.
(3)∵方程没有实数根,∴Δ<0,
∴8k+9<0,解得k<-.
变式演练　1.m≤1
2.k<2且k≠1
3.解:(1)把x=-3代入x2-2mx+2m-2=0,得9+6m+2m-2=0,
解得m=-.
故答案为-.
(2)证明:∵Δ=(-2m)2-4(2m-2)=4(m-1)2+4,
∴对于任何实数m,总有Δ>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
方法归纳交流
两个不相等　两个相等　没有　≥0
任务驱动二
3.解:(1)∵a=1,b=5,c=-6,
∴Δ=b2-4ac=52-4×1×(-6)=49>0,
∴x=,∴x1=1,x2=-6.
(2)原方程可化为4x2-4x+1=0.
∵a=4,b=-4,c=1,
∴Δ=b2-4ac=0,∴x=,
∴x1=x2=.
(3)∵a=1,b=-6,c=1,
∴Δ=b2-4ac=32,∴x=,
∴x1=3+2,x2=3-2.
变式演练　
解:(1)化为一般式为x2-9x+2=0,
解得x1=,x2=.
(2)Δ=b2-4ac=(-1)2-4××2=-23<0,
∴此方程无实数根.
方法归纳交流
一般　b2-4ac　x=　b2-4ac

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