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21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
素养目标
1.会求一元二次方程的两根之和与两根之积.
2.能利用根与系数的关系求代数式的值,增强综合应用知识解决问题的能力.
◎重点:一元二次方程的根与系数的关系的推导、运用.
【预习导学】
知识点一：一元二次方程的根与系数的关系
阅读课本,回答下列问题.(阅读时,尝试自己找出当二次项系数不为1时,x1,x2与系数a,b,c之间的关系,并完成x1+x2=-,x1x2=的推导过程)
1.以x1,x2为根的方程(x-x1)(x-x2)=0的一般形式是　,
若x1,x2是方程x2+px+q=0的两个根,那么x1,x2与p,q之间的关系是x1+x2= ,x1x2= .
2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有根.
(1)根据求根公式表示出方程的根.
(2)若用x1,x2表示方程的两个根,请你求出x1+x2,x1x2与系数a,b,c的关系.
　　归纳总结　若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=　　　　,x1x2=　　　　,即一元二次方程两个根的和等于　,
两个根的积等于 .
【合作探究】
任务驱动一：根与系数的关系
1.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积.
(1)2x2+5x=0;(2)4x2+1=7x;(3)3x2-x=2.
变式演练　
1.已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则+的值是 .
2.已知α,β是方程x2-3x+2=0的两根,求下列各式的值:
(1)+;(2)α2+αβ+β2;
(3)α2+αβ-3α.
3.已知关于x的方程x2-3ax-3a-6=0.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实根.
(2)若x1,x2是该方程的两个实数根,且(x1-1)·(x2-1)=1,求a的值.
任务驱动二：根与系数关系的应用
2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值.
变式演练　
1.已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+1=0,如果方程的两根之和等于两根之积,求k的值.
2.已知关于x的一元二次方程x2+mx-6=0.
　　(1)小明在解方程x2+mx-6=0时,得到一个根为x=-3,求m的值.
(2)在(1)的条件下,设x1,x2是该方程的两个根,求x1+x2-2x1x2的值.
方法归纳交流　应用根与系数的关系的前提是Δ .
　　3.(应用意识)已知平行四边形ABCD的两邻边AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根.
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形
(2)若AB的长为2,则平行四边形ABCD的周长是多少
变式演练　
若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两根为x1,x2(x1≠x2).
(1)求k的取值范围.
(2)若x1,x2是一个矩形的两条边长且矩形对角线的长为,求k的值.
参考答案
【预习导学】
知识点
1.x2-(x1+x2)x+x1x2=0　-p　q
2.(1)答:x=.
(2)答:x1+x2=+==-;
x1x2=×===.
归纳总结
-　　一次项系数与二次项系数的比的相反数　常数项与二次项系数的比
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)x1+x2=-,x1x2=0;
(2)x1+x2=,x1x2=;
(3)x1+x2=,x1x2=-.
变式演练　1.7
2.解:根据题意得α+β=3,αβ=2.
(1)+==;
(2)α2+αβ+β2=(α+β)2-αβ=32-2=7;
(3)α2+αβ-3α=α(α+β)-3α=3α-3α=0.
3.解:(1)证明:∵Δ=b2-4ac=(-3a)2-4×(-3a-6)=9a2+12a+24=(3a+2)2+20>0,
∴方程恒有两个不相等的实根.
(2)由根与系数的关系得x1+x2=3a,x1x2=-3a-6.
∵(x1-1)(x2-1)=1,
∴x1x2-(x1+x2)+1=1,
∴-3a-6-3a+1=1,
解得a=-1.
故a的值是-1.
任务驱动二
2.解:设方程的另一个根是x1,则2x1=-,
∴x1=-.
又∵x1+2=-,∴-+2=-,∴k=-7.
变式演练　
1.解:设方程的两根为x1,x2,根据题意得Δ=(2k-1)2-4(k2+1)≥0,解得k≤-,
x1+x2=-(2k-1)=1-2k,x1x2=k2+1.
∵方程的两根之和等于两根之积,∴1-2k=k2+1,解得k1=0,k2=-2,而k≤-,∴k=-2.
2.解:(1)∵x=-3是关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的解,
∴(-3)2-3m-6=0,
解得m=1.
(2)∵m=1,
∴一元二次方程为x2+x-6=0,
∴x1+x2=-=-1,x1x2==-6,
∴x1+x2-2x1x2=-1-2×(-6)=-1+12=11.
方法归纳交流
≥0
3.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD.
∵AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根,
∴Δ=(-m)2-4-=m2-2m+1=0,
解得m1=m2=1,
∴当m为1时,四边形ABCD是菱形.
(2)将x=2代入x2-mx+-=0中,得4-2m+-=0,
解得m=.
∵AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根,
∴AB+AD=m=,
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=2×=5.
变式演练　
解:(1)根据题意得Δ=(-3)2-4k>0,
解得k<,
即k的取值范围为k<.
(2)根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=k.
∵+=()2,
∴(x1+x2)2-2x1x2=7,
即32-2k=7,
解得k=1,
而k<,
∴k的值为1.

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