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21.3 第2课时　增长率问题与面积问题
素养目标
1.能熟练找出增长率问题和面积问题中的等量关系,并列出一元二次方程.
2.能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型,并运用它解决实际问题.
◎重点:用一元二次方程解决增长率问题和面积问题.
【预习导学】
知识点一：增长率问题
根据课本本课时“探究2”,回答下列问题.
请尝试用同样的方法计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的年平均下降率较大.
归纳总结　平均下降率中的数量关系:若下降的基数为a,每次下降的平均下降率为x,则第一次下降后的数量为 ,第二次下降后的数量为 .
知识点二：面积问题
阅读课本本课时“探究3”,完成下列问题.(阅读时关注题目中的未知量、未知量之间的关系,以及它们与已知量的关系)
1.讨论 “探究3”所给的信息中,包含哪些等量关系
2.根据等量关系
可列方程　,
解得x=　　　　.
3.解方程后的根都符合实际意义吗 为什么
【合作探究】
任务驱动一：增长率问题
1.我市教育局推出“中小学网络课堂”为学生提供线上学习.据统计,第一批公益课受益学生为20万人次,第三批公益课受益学生为24.2万人次.
(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率.
(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次
学习小助手：　(1)设每批的增长率为x,则第二批受益的学生可表示为 万人次,在第二批受益学生的基础上,第三批受益的学生可表示为 万人次.
变式演练　
经过两年的连续治理,某城市的大气环境有了明显改善,其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨,则平均每年下降的百分率是 .
方法归纳交流　增长率问题:若基数为a,平均增长(降低)率为x,增长(降低)的次数为n(一般情况下为2),增长(降低)后的量为b,则有表达式 ,注意“ ”用“+”,“ ”用“-”.
任务驱动二：面积问题
2.小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪
(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗 请说明理由.
学习小助手：设其中一个正方形的边长为x,面积可表示为 cm2;另一个正方形的边长可表示为 cm,面积可表示为 cm2.
变式演练　
如图,在一块长为40 m,宽为30 m的矩形地面上,修建道路,道路都是等宽的,剩余部分种
上草坪,测得草坪的面积是1 064 m2 ,则道路的宽度是 m.
任务驱动三：销售问题
3.某商场将进货价为每件20元的玩具以每件30元的价格售出,平均每天可售出300件,调查发现,该玩具的单价每上涨1元,平均每天就少售出10件.若商场要想平均每天获得3 750元的利润,则每件玩具应涨价多少元 设每件玩具应涨价x元,则下列说法错误的是 ( )
A.涨价后每件玩具的售价是(30+x)元
B.涨价后平均每天少售出玩具10x件
C.涨价后平均每天销售玩具(300-10x)件
D.根据题意可列方程(30+x)(300-10x)=3 750
变式演练　
某超市销售一款洗手液,这款洗手液成本价为每瓶16元,当销售单价定为每瓶20元时,每天可售出60瓶.市场调查反应:销售单价每上涨1元,则每天少售出5瓶.设这款洗手液的销售单价上涨x元.
(1)每天的销售量为　　　　瓶,每瓶洗手液的利润是　　　元.(用含x的代数式表示)
(2)若这款洗手液的日销售利润达到300元,则销售单价应上涨多少元
参考答案
【预习导学】
知识点一
答:设乙种药品的年平均下降率为y,则6 000(1-y)2=3 600,解得y1≈0.225,y2≈1.775(舍去),
所以两种药品成本的年平均下降率一样.
归纳总结
a(1-x)　a(1-x)2
知识点二
1.答:包含的等量关系有:(1)四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一;(2)正中央的矩形与整个封面矩形的长宽比例相同;(3)上、下边衬等宽,左、右边衬等宽.
2.中央矩形的面积=封面的面积　(27-18x)(21-14x) =×27×21　
3.答:如果x=,那么中央矩形的长为27-18x=27-18×=-<0,所以x=不符合实际意义.
【合作探究】
任务驱动一
1.(1)20(x+1)　20(x+1)2
解:(1)设增长率为x,根据题意,得
20(1+x)2=24.2,
解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.
答:增长率为10%.
(2)24.2(1+0.1)=26.62(万人次)
答:第四批公益课受益学生将达到26.62万人次.
变式演练　10%
方法归纳交流
a(1±x)n=b　增　降
任务驱动二
2.x2　(10-x)　(10-x)2
解:(1)设其中一个正方形的边长为 x cm ,则另一个正方形的边长为(10 -x)cm.
由题意得x2+(10-x)2=58,解得x1=3,x2=7.
因为4×3=12,4×7=28,
所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段.
(2)假设能围成.根据题意得x2+(10-x)2=48,化简得x2-10x+26=0.
因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根,故小峰的说法是对的.
变式演练　2
任务驱动三
3.D
变式演练　
解:(1)(60-5x);(4+x).
(2)依题意得(4+x)(60-5x)=300,
整理得x2-8x+12=0,
解得x1=2,x2=6.
答:销售单价应上涨2元或6元.

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