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22.1.4　第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式
素养目标
会利用待定系数法求二次函数的解析式.
◎重点:用待定系数法求二次函数的解析式.
【预习导学】
知识点：用待定系数法求二次函数的解析式
请你阅读课本“探究”的内容,总结用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤.
说一说:几个点可以确定二次函数的解析式 这几个点需要满足什么条件
　　归纳总结　请你根据课本中求二次函数解析式的过程,总结用待定系数法求二次函数解析式的步骤.
【合作探究】
任务驱动一：已知三点求解析式
1.已知抛物线经过(1,4),(-2,2)和(0,4)三点.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
变式演练　
已知在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3),B(2,-3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标.
任务驱动二：已知顶点求解析式
2.已知二次函数的图象的顶点是(-1,4),且经过点(1,2),求该二次函数的解析式.(用两种方法)
变式演练　
抛物线的图象如图所示,其中A为顶点.
(1)写出点A,B的坐标.
(2)求出抛物线的解析式.
方法归纳交流　求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,关键是要求出
的值.由已知条件列出　,
求出 的值;求抛物线y=a(x-h)2+k的解析式,只要知道 和图象上 的坐标即可.
任务驱动三：已知与x轴的交点求解析式
3.已知抛物线与x轴的两个交点为(-8,0),(2,0),与y轴交于点(0,4),求抛物线的解析式.
方法归纳交流　二次函数的解析式有三种形式,一是一般式 ,需知道抛物线上的三点(不在一条直线上)即可求得;二是顶点式 ,需知道抛物线的顶点和异于顶点的另外一点即可求得;三 是交点式 ,需知道抛物线与x轴的交点及异于交点的另外一点即可求得.
变式演练　
1.已知二次函数y=ax2+bx+c中的x,y满足下表,求这个二次函数的解析式.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 0 -2 -2 0 …
2.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及其顶点坐标.
(2)判断点P(,-2)是否在该二次函数的图象上.如果在,请求出△ABP的面积;如果不在,试说明理由.
参考答案
【预习导学】
知识点
说一说:
答:三个点可以确定二次函数的解析式,这三个点需不在同一直线上.
归纳总结
答:1.找出不在同一直线上的三个点的坐标;2.将三点坐标代入y=ax2+bx+c中,列出三元一次方程组;3.解出方程组,求得a,b,c的值,得出二次函数解析式.
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把(1,4),(-2,2)和(0,4)代入,得
解得a=-,b=,c=4,
∴这条抛物线的解析式为y=-x2+x+4.
(2)抛物线开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标是,.
变式演练　
解:(1)由题意得解得
则抛物线的解析式为y=-2x2+x+3.
(2)抛物线的对称轴为直线x=-=,
当x=时,y=-2x2+x+3=,
即顶点坐标为,.
任务驱动二
2.解:(方法一)设y=a(x-h)2+k,其中h=-1,k=4.
∵抛物线经过点(1,2),
将其代入y=a(x+1)2+4,得2=a(1+1)2+4,解得a=-,
∴这个二次函数的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-x+.
(方法二)设y=ax2+bx+c.
∵二次函数的图象的顶点是(-1,4),且经过点(1,2),
∴解得a=-,b=-1,c=,
∴这个函数的解析式为y=-x2-x+.
变式演练
解:(1)观察图象可知,A(2,-4),B(0,4).
(2)∵A为顶点,A(2,-4),
∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-4,
把B(0,4)代入得4a-4=4,
解得a=2,
∴抛物线的解析式为y=2(x-2)2-4.
方法归纳交流
待定系数a,b,c　关于a,b,c的方程组　a,b,c　顶点坐标　异于顶点的任意一点
任务驱动三
3.解:∵抛物线与x轴的两个交点为(-8,0),(2,0),
∴设y=a(x+8)(x-2),把(0,4)代入,得4=a(0+8)(0-2),解得a=-,
∴y=-(x+8)(x-2),即y=-x2-x+4.
方法归纳交流
y=ax2+bx+c　y=a(x-h)2+k　y=a(x-x1)(x-x2)
变式演练　
1.解:(方法不唯一)先把点(0,-2)代入y=ax2+bx+c中,得c=-2.
再把点(-1,0),(2,0)分别代入y=ax2+bx-2中,
即解得
∴这个二次函数的解析式为y=x2-x-2.
2.解:(1)∵抛物线经过点A(-3,0),B(1,0),
∴设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1).
∵抛物线经过点C(0,3),
∴3=-3a,解得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为(-1,4).
(2)∵当x=时,y=-()2-2×+3=-2,
∴点P(,-2)在该二次函数的图象上,
∴△ABP的面积=×(1+3)×2=4.

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