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22.2　二次函数与一元二次方程
素养目标
1.知道二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,体会数形结合思想.
◎重点:二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
【预习导学】
知识点一：利用二次函数值解决实际问题
请你阅读课本“问题”至“思考”前面的内容,思考:如何利用二次函数的知识解决实际问题
阅读思考:1.回答课本第一片云朵中的问题.
2.回答课本第二片云朵中的问题.
深入讨论:说一说怎样将“问题”中的四个题由函数问题转化成方程问题.
归纳总结　二次函数与一元二次方程的关系,可以从两个方面看:(1)从函数解析式看,就是已知函数值求 ;(2)从函数图象看,就是求直线y=h(h≥0)与抛物线的 .
知识点二：利用二次函数图象解一元二次方程
请你阅读课本“思考”至本节结束的内容,思考:二次函数的图象与x轴的公共点的个数与一元二次方程的根的个数之间有什么关系
观察图象:1.抛物线y=x2+x-2与x轴有 个公共点,它们的横坐标分别是 .当x取 时,函数值是0,由此得出方程x2+x-2=0的根是 .
2.抛物线y=x2-6x+9与x轴有 个公共点,其横坐标是 .当x取 时,函数值是0,由此得出方程x2-6x+9=0有两个 的实数根 .
3.抛物线y=x2-x+1与x轴 公共点,由此得出方程x2-x+1=0 实数根.
归纳总结　(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是 ,因此x= 是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种: , , .这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况: , , .
深入讨论:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数与b2-4ac的取值有什么关系
【合作探究】
任务驱动一：判断方程根的取值范围
1.根据下表中的对应值判断:
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
　　方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是 ( )
A.3B.3.23C.3.24D.3.25任务驱动二：根据图象提取信息
2.已知二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①b2-4ac>0;②3是方程ax2+bx+c=0的一个根;③当-13时,y<0.其中错误的是 .
任务驱动三：抛物线与x轴的交点个数与b2-4ac取值的关系
3.已知函数y=x2-mx+m-2.
(1)求证:不论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点.
(2)若m=2,求函数与x轴的交点坐标.
　　方法归纳交流　抛物线y=ax2+bx+c,当 时,抛物线与x轴有两个交点;当 时,抛物线与x轴有一个交点;当 时,抛物线与x轴没有交点.
任务驱动四：直线与抛物线相交问题
4.如图,直线y=-x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B,C两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,点E是抛物线上的一动点(不与B,C两点重合),△BEC的面积记为S,当S取何值时,对应的点E有且只有三个
参考答案
【预习导学】
知识点一
阅读思考:
1.答:小球在某一时间高度达到15 m,然后继续上升,达到最大高度后开始下落,经过一段时间,小球的高度又回落到15 m,所以在两个时间小球的高度都为15 m.
2.答:小球在某一时间达到最大高度20 m,所以只在一个时间小球的高度为20 m.
深入讨论:
答:将问题中h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方程,如果方程有合乎实际的解,说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值;否则,说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.
归纳总结
(1)自变量的值
(2)公共点的横坐标
知识点二
观察图象:
1.两　-2,1　-2,1　-2,1
2.一　3　3　相等　3　3.没有　没有
归纳总结
(1)0　x0
(2)没有公共点　有一个公共点　有两个公共点　没有实数根　有两个相等的实数根　有两个不相等的实数根
深入讨论:
答:当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
【合作探究】
任务驱动一
1.C
任务驱动二
2.③
任务驱动三
3.解:(1)证明:∵b2-4ac=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0,
故二次函数的图象与x轴恒有2个不同的交点.
(2)当m=2时,y=x2-2x,与x轴的交点为(0,0),(2,0).
方法归纳交流
b2-4ac>0　b2-4ac=0　b2-4ac<0
任务驱动四
4.解:(1)当x=0时,y=-x+3=3,则B(0,3),
当y=0时,-x+3=0,解得x=4,则C(4,0),
把B(0,3),C(4,0)代入y=ax2+x+c得
所以该抛物线的解析式为y=-x2+x+3.
(2)当点E在直线BC下方的抛物线上时,一定有两个对应的点E满足△BEC的面积为S,
所以当E点在直线BC上方的抛物线上时,只能有一个对应的E点满足△BEC的面积为S,
即此时过E点的直线与抛物线只有一个公共点,
设此时直线解析式为y=-x+b,
方程组只有一组解,
方程-x2+x+3=-x+b有两个相等的实数解,
则Δ=122-4×3×(-24+8b)=0,解得b=,解方程得x1=x2=2,
所以点E的坐标为(2,3),
此时S△BEC=×4×3-=3,
所以当S=3时,对应的点E有且只有三个.

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