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22.3　第2课时　利润问题与二次函数
素养目标
1.能将现实生活中的利润问题转化成二次函数问题.
2.会利用二次函数的“最值”求利润问题中的最值.
◎重点:用二次函数解决利润问题.
【预习导学】
知识点：用二次函数求商品的最大利润
请你阅读课本“探究2”,思考:如何将最大利润问题转化成二次函数问题 怎样求最大利润
阅读填空:当每件涨价x元时,售价为 元,每周少卖 件,实际卖出 件,销售额为 元,买进商品需付 元,故所得利润用x表示为 元.
深入思考:回答课本云朵中的问题,写出解题过程.
独立求解:若设每星期的利润为y元,请你写出y与x之间的函数解析式,并用配方法求出y的最大值.
　　仿照填空:如果设每件降价x元,那么每星期可多卖 件,实际卖出 件,销售额为 元,买进商品需付 元.
对比求解:1.列出降价时的利润表达式,并求出此时自变量的取值范围.
2.用公式法确定1中所得利润表达式的最大值以及这时对应的x的值.
归纳总结　利用二次函数解决最大利润问题的一般步骤:(1)设 ;(2)写出 ;(3)确定　 ; (4)根据 或 求出最大值或最小值.
【合作探究】
任务驱动：利润问题
某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(单位:千克)与销售价x(单位:元/千克)有如下关系:y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式.
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大 最大利润是多少元
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元
方法归纳交流　利用二次函数解决实际生活中的利润问题,一般运用“总利润= ”或“总利润= × ”建立利润与销售单价之间的二次函数关系式,再求最大利润.
　　变式演练　
1.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额 最大营业额是多少
2.某工厂生产一种产品,该产品根据质量划分为10个等级(第10等级最高),第1等级的产品每天能生产95件,每件产品可获利润6元,已知每提高一个等级,每件利润可增加2元,但每天产量减少5件,且工厂每天只能生产同一等级的产品.设生产第x等级的产品每天的产量为y件.
(1)求y关于x的函数关系式.
(2)该工厂当天生产产品等级为多少时,可使获得的利润最大,最大利润为多少元
参考答案
【预习导学】
知识点
阅读填空:
(60+x)　10x　(300-10x)　(60+x)(300-10x)　40(300-10x)　(60+x)·(300-10x)-40(300-10x)
深入思考:
答:(1)因为涨价x元,所以x≥0;(2)实际卖出的件数必须是非负数,所以300-10x≥0,即x≤30.综合上面两个条件,x必须满足0≤x≤30.
独立求解:
答:y=-10x2+100x+6 000=-10(x2-10x-600)=-10[(x2-10x+25)-25-600]=-10[(x-5)2-625]=-10(x-5)2+6 250,∴当x=5时,y有最大值,最大值是6 250.
仿照填空:
20x　(300+20x)　(60-x)(300+20x)　40(300+20x)
对比求解:
1.答:y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x),即y=-20x2+100x+6 000.
∵60-x不高于现价60元,不低于进价40元,∴0≤x≤20.
2.答:y的最大值为==6 125,这时x=-=-=2.5.
归纳总结
(1)自变量
(2)函数解析式
(3)自变量的取值范围
(4)顶点坐标公式　配方法
【合作探究】
任务驱动
解:(1)由题意可知w=(x-20)·y=(x-20)·(-2x+80)=-2x2+120x-1 600,
故w与x之间的函数关系式为w=-2x2+120x-1 600.
(2)w=-2x2+120x-1 600=-2(x-30)2+200,∵-2<0,∴当x=30时,w有最大值,w的最大值为200.
答:该产品销售价定为每千克30元时,每天的销售利润最大,最大销售利润为200元.
(3)当w=150时,可得方程-2(x-30)2+200=150.解得 x1=25,x2=35.
∵35>28,∴x2=35不符合题意,应舍去.
答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克25元.
方法归纳交流
总售价-总成本　每件商品所获利润　销售件数
变式演练　
1.解:设旅行团的人数为x,营业额为y元,则y=x[800-10(x-30)]=-10x2+1 100x=-10(x-55)2+30 250,所以当旅行团的人数是55时,旅行社可以获得最大营业额.最大营业额是30 250元.
2.解:(1)∵该产品每提高一个等级,每天产量减少5件,
∴y=95-5×(x-1)=-5x+100(1≤x≤10).
(2)设当天的总利润为w元,则由题意可得
w=[6+2(x-1)]·y=[6+2(x-1)]·(-5x+100)=-10x2+180x+400=-10(x-9)2+1 210.
∵-10<0,
∴当x=9时,w取最大值,最大值为1 210.
答:该工厂当天生产产品等级为第9等级时,可使获得的利润最大,最大利润为1 210元.

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