资源简介

1.3 勾股定理的应用
素养目标
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.
2.会将实际问题抽象成几何图形,构造直角三角形解题.
3.在解决问题的过程中形成关于勾股定理实际问题的处理方法,培养几何直观和应用意识.
重点
会用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
【自主预习】
轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景,提出了一个有趣的数学问题:如图,有两棵树,一棵高5 m,另一棵高2 m,两树相距4 m,一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶,至少需要飞多远 请帮助轩轩解决这个问题:
1.图中①~③三条飞行线路中,最短的是　　　　.
2.图中AC=　　　　m,BC=　　　　m,由勾股定理可知AB=
　　　　m,即至少需要飞　　　　m.
1.桐桐早晨从家出发去上学,先向正南方向走了6 km,接着向正东方向走了8 km到达学校,桐桐家到学校的距离为 (　　)
A.8 km　　　　 B.10 km
C.12 km　　　　 D.14 km
2.一棵垂直于地面的大树在离地面5米处折断,树的顶端落在离树干底部12米处,那么这棵树折断之前的高度是　　　　米.
【合作探究】
知识点一：勾股定理逆定理的应用
阅读课本本课时“尝试·思考”之前的内容,思考下列问题.
1.若AD长为30 cm,AB长为40 cm,B,D之间的距离为50 cm,则AD　　　　(填“垂直于”或“不垂直于”)AB,依据是　　　　.
2.若只有一个长度为20 cm的刻度尺,请你帮助李师傅设计一种检测AD边垂直于AB边的方案.
3.通过以上实例可知,可利用　　　　判断实际生活中的直角、垂直或直角三角形问题.
1.如图,有一张四边形纸片ABCD,AB⊥BC.经测得AB=9 cm,BC=12 cm,CD=8 cm,AD=17 cm.
(1)求A,C两点之间的距离.
(2)求这张纸片的面积.
知识点二：勾股定理的应用
阅读课本本课时“尝试·思考”和“例”的内容,思考下列问题.
1.在“图1-17”中,问题应在直角三角形　　　　中解决,因为E为AD的中点,所以DE=　　　　,由翻折可知EF　　　　CF.若设DF=x,则EF=CF=　　　　,由勾股定理可得方程　　　　,解得x=　　　　.
2.例题中的问题应在直角三角形　　　　中解决,AC=　　　　尺,由题意可知OB　　　　OC.若设OA=x尺,则OC=　　　　尺,由勾股定理可得方程　　　　,解得x=　　　　,则芦苇的长度为　　　　尺.
2.(学科融合·文学素养)图1中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图2所示,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.则AC的长度为　　　　尺.
找好不变量,巧解应用题
例　如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC的长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'的长为8 m,则BB'的长为 (　　)
A.1 m　　　　B.2 m
C.3 m　　　　D.4 m
变式训练如图,梯子AB靠在墙上,梯子的顶端A到墙根O的距离为24 m,梯子的底端B到墙根O的距离为7 m,一不小心梯子顶端A下滑了4米到C,底端B滑动到D,那么BD的长是
　　　　m.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.①
2.4;3;5;5
自学检测
1.B　2.18
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.垂直于;勾股定理逆定理
2.答案不唯一,参考方案如下:
李叔叔可在 AB 上量取 12 cm(如从 A 到 E),在 AD 上量取 16 cm(如从 A 到 F),再用刻度尺测量EF.若EF=20 cm,则122+162=202 ,说明∠A 为直角,AD⊥AB.若EF的长不是20 cm,则∠A不是直角,AD与AB不垂直,即可通过分段测量的方式验证.
3.勾股定理的逆定理
对点训练
1.解:(1)如图,连接AC.
在Rt△ABC中,∵AB⊥BC,AB=9 cm,BC=12 cm,
∴AC2=AB2+BC2=225,∴AC=15 cm,
∴A,C两点之间的距离为15 cm.
(2)∵CD2+AC2=82+152=172=AD2,
∴∠ACD=90°,
∴四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD
=AB·BC+AC·CD
=×9×12+×15×8
=54+60
=114(cm2).
知识点二
1.DEF;4;=;8-x;42+x2=(8-x)2;3
2.AOC;5;=;x+1;52+x2=(x+1)2;12;13
对点训练
2.3.75
题型精讲
题型
例　B
变式训练　8

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