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第一章 勾股定理 复习课
复习目标
1.知道勾股定理及直角三角形的判别(勾股定理的逆定理),会灵活应用它解决简单的几何问题和生活实际问题.
2.能把简单的立体图形转化为平面图形,构造直角三角形求线段长.
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中,提高将实际问题抽象为数学模型的能力,培养应用意识.
重点
能运用勾股定理计算三角形的边长,能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形.
【体系构建】
【专题复习】
专题一：勾股定理的(有关计算)运用
例1　现有两根铁棒,它们的长分别为9 cm和12 cm,如果将这两根铁棒作为直角边焊接成一个直角三角形的铁架,那么第三根铁棒的长应为 (　　)
A.15 cm
B.21 cm
C.25 cm
D.无法确定
变式训练
如图,这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,其中两正方形的面积分别是S1=22,S2=14,AC=10,则AB=　　　　.
专题二：判断是不是直角三角形
例2　在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是 (　　)
A.5 cm,6 cm,7 cm
B.1 cm,4 cm,9 cm
C.5 cm,12 cm,13 cm
D.5 cm,11 cm,12 cm
变式训练
下列各组线段中,不能构成直角三角形的是 (　　)
A.3,4,5　　　　 B.5,12,13
C.8,16,17　　　　D.7,24,25
专题三：勾股定理解决实际问题
例3　如图,飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4 000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5 000米.问飞机每小时飞行多少千米
变式训练
如图,从电线杆离地面4 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部3 m,需要钢索的长度为 (　　)
A.5 m　　　　B.6 m　　　　C.7 m　　　　D.8 m
专题四：用于证明两条线段相互垂直
例4　如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=BC.
(1)说明AF与EF的位置关系,并说明理由.
(2)若此正方形的面积是16,求AE的长.
变式训练
如图,在△ABC中,D为BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13,试判断AD与AB的位置关系.
专题五：求线段最短问题
例5　如图,小河的同一侧有A,B两个小镇,它们到小河所在直线MN的距离分别为BF=2 km,AG=5 km,FG=24 km,要在小河上修建一座小型发电站E,为了节约资源,使得拉到A,B两镇的电线长之和最短,这个电线长之和最短是多少
变式训练
如图,点A和点B分别是棱长为20 cm的正方体盒子上相邻面的两个中心.一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走的最短路程是 (　　)
A.10 cm　　　　B.20 cm
C.30 cm　　　　D.40 cm
参考答案
【专题复习】
专题一
例1　A
变式训练　8
专题二
例2　C
变式训练　C
专题三
例3　解:在Rt△ABC中,根据勾股定理可知,
BC2=5 0002-4 0002=3 0002,所以BC=3 000米,
3 000÷20=150(米/秒)=540(千米/时).
所以飞机每小时飞行540千米.
变式训练　A
专题四
例4　解:(1)如图,连接AE,设EC=a,在正方形ABCD中,因为EC=BC,所以BC=4a.所以AD=CD=AB=4a,所以BE=3a.因为F是CD的中点,所以DF=CF=2a.
在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2=(4a)2+(3a)2=25a2.
同理,在Rt△ADF和Rt△ECF中,AF2=AD2+DF2=(4a)2+(2a)2=20a2,
EF2=CE2+CF2=a2+(2a)2=5a2,所以AE2=AF2+EF2,所以∠EFA=90°,即AF⊥EF.
(2)因为此正方形的面积为16,所以a=1,所以AE2=25a2=25,所以AE=5.
变式训练　解:如图,延长AD到点E,使DE=AD,则AE=2AD=12,连接CE.
因为AD是BC边上的中线,所以CD=BD.又因为AD=DE,∠ADB=∠EDC,所以△ABD≌△ECD,所以CE=AB=5,∠E=∠DAB.
在△ACE中,因为AE2+CE2=52+122=169,AC2=132=169,
所以AE2+CE2=AC2,根据勾股定理的逆定理,可知△ACE是直角三角形,且AC是斜边,所以∠E=90°,于是可得∠DAB=90°,所以AD⊥AB,即AD与AB是垂直关系.
专题五
例5　解:如图,作点B关于MN的对称点C,并连接AC交MN于点E,连接BE,所以BE+AE=CE+AE=AC.延长AG到点D,使DG=FC,并连接CD.由已知可知DG=FC=BF=2 km,所以AD=AG+DG=7(km).又因为CD=FG=24 km,在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2=242+72=625,所以AC=25 km,
所以BE+AE=AC=25(km).
变式训练　B

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