资源简介

问题解决策略:反思
素养目标
1.会求立体图形表面两点间的最短路径.
2.学会反思,能够通过反思加深对问题及解决问题的思路、策略与方法的理解,丰富解决问题的经验,提高解决问题的能力.
3.在问题的解决过程中培养创新意识和提升空间观念.
重点
会求立体图形表面两点间的最短路径.
【自主预习】
1.请在下图中画出点A到点B的最短路径.
2.请在图中画出点A到直线BC的最短路径.
1.如图,这是一个底面圆周长为24 m、高为5 m的圆柱体,一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B
所经过的最短路线长为 (　　)
A.12 m
B.15 m
C.13 m
D.10 m
2.有一根70 cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中,能放进去吗
【合作探究】
知识点：立体图形中的最短路径问题
阅读课本本课时“问题”至“回顾反思”的内容,思考下列问题.
1.回顾旧知:①两点之间　　　　最短.
②直线外一点与直线上的一点的所有连线中,　　　　最短.
2.迁移新知:①若蚂蚁沿平面从点A到点B去吃食物,蚂蚁爬行的最短路径长为　　　　的长度.
②如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 各个点的位置如何确定
③将曲面展开为平面后计算AB的长度时的依据是什么
3.如图,长方体的高为3 cm,底面是正方形,边长为2 cm,现有一只蜜蜂从D点出发,沿长方体表面到达B'点,问蜜蜂所走的路程最短是多少
1.如图,有一个底面周长为36 cm,高为24 cm的圆柱,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物再返回到A点处休息,请问它需爬行的最短路程约是多少
2.如图,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路爬最近 你能帮它找出来吗 (这个长方体的长为15厘米,宽为10厘米,高为20厘米,点B与点C相距5厘米)
利用勾股定理解决多次缠绕问题
例　如图,为筹备迎接新生晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸,如图.已知圆筒的高为108 cm,其横截面周长为36 cm,如果在表面均匀缠绕油纸4圈,应裁剪多长的油纸
变式训练
如图,有一个圆柱体礼盒,高18 cm,底面周长为12 cm.现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰.若彩带一端粘在A处,另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处(B为AC的中点),则彩带最短为(　　)
A.15 cm
B.20 cm
C.25 cm
D.30 cm
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.如图:
2.如图:
自学检测
1.C
2.解:由图可得AA'=30 cm,A'B'=50 cm,B'C'=40 cm.
△A'B'C',△AA'C'都为直角三角形.由勾股定理,得A'C'2=A'B'2+B'C'2.在直角△AA'C'中,AC'最长,则AC'2=AA'2+A'B'2+B'C'2=302+502+402=5 000>702.
故70 cm的木棒能放入长、宽、高分别为50 cm、40 cm、30 cm的木箱中.
【合作探究】
知识生成
知识点
1.①线段;②垂线段
2.①线段AB
②将曲面展开为平面(课本本课时图1-20),点A 位于展开后的矩形底边(左下端点),点B 在圆柱上与A 相对,即沿底面圆周移动半周长(9 cm),因此,展开后点B 位于长方形的右上方顶点处.
③勾股定理.
3.解:可把蜜蜂经过的面展开在同一平面内,有两种情况,分别计算并比较,得到的最短距离即所求.
如图1,在Rt△DD'B'中,由勾股定理得B'D2=32+42=25;如图2,在Rt△DC'B'中,由勾股定理得B'D2=22+52=29.因为29>25,所以第一种情况蜜蜂所走的路程最短,最短为5 cm.
对点训练
1.解:如下图,将圆柱沿着过A点的高AC剪开,并将侧面展开,
则AC=24 cm,BC=×36=18(cm),
所以在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=242+182,所以AB=30 cm,
所以它最短的爬行路程约为30×2=60(cm).
2.解:根据题意,最短路径有下列三种情况(如下图所示),由图1求得AB2=A+B=152+202=625;由图2求得AB2=B+C1A2=252+102=725;由图3求得AB2=AC2+BC2=302+52=925.
比较上面结果,可知最短路径应为AB=25厘米.
题型精讲
题型
例　提示:将圆筒侧面展开成平面图形,利用平面上两点之间线段最短求解,构造直角三角形,利用勾股定理来解决.
解:如图,在Rt△ABC中,因为AC=36 cm,BC=108÷4=27(cm),由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=362+272=2 025=452,所以AB=45 cm,所以整个油纸的长为45×4=180(cm).
变式训练
D

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