资源简介

4.边边边
边边边
1.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是 (　　)
2.如图,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则直接由“SSS”可以判定的是 (　　)
A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE D.以上答案都不对
3.如图,在正方形网格中,网格线的交点称为格点,点A、B、C、D、E、F、G都在格点上,图中不与△ABC全等的三角形是(　　)
A.△AGE B.△GAD
C.△EFG D.△DFG
4.如图,点D、A、E、B在同一条直线上,EF=BC,DF=AC,DA=EB.
求证:△DEF≌△ABC.
判定两个三角形全等的四种方法综合运用
5.下列说法正确的是 (　　)
A.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
B.三个角对应相等的两个三角形全等
C.有两边及一角对应相等的两个三角形全等
D.一边及一角对应相等的两个等腰三角形全等
6.如图,在△ABC和△DEF中,点A、E、B、D在同一条直线上,AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,不能判定△ABC≌△DEF的是 (　　)
A.AE=DB
B.∠C=∠F
C.BC=EF
D.∠ABC=∠DEF
1.如图,射线AB交CD于点O,AC=AD,BC=BD,则图中全等三角形的对数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后,尝试用不同的方法作三角形,则在下列作出的图形中,不一定与△ABC全等的是 (　　)
3.如图,AD=ED,AB=EB,∠CED=100°,则∠A=　　　　.
4.如图,在△ABD和△ACE中,已知AB=AC,BD=CE,AD=AE,若∠1=20°,则∠2=　　　　.
5.(2025石家庄桥西区月考)如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=CF.
(1)求证:△ABC≌△DFE;
(2)若∠A=75°,∠F=40°,求∠ACB的度数.
6.如图,在△ABC和△EDB中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F,若AC=DB,AB=DE,BC=EB.
求证:∠AFB=2∠ACB.
7.(应用意识)如图,△ABM是边长为6 cm的等边三角形,C、D分别是AM、BM上的点,已知AC=BD=4 cm,∠A=∠B=60°,点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t s,则点Q的运动速度为多少时,能使得以A、C、P三点为顶点构成的三角形与以B、P、Q三点为顶点构成的三角形全等
【详解答案】
基础达标
1.C　2.B　3.C
4.证明:∵DA=EB,
∴DE=AB.
在△DEF和△ABC中,
∴△DEF≌△ABC(SSS).
5.A　6.C
能力提升
1.C　解析:在△ACB和△ADB中,
∴△ACB≌△ADB(SSS).
∴∠CAO=∠DAO.
在△ACO和△ADO中,
∴△ACO≌△ADO(SAS).
∴CO=DO.
在△BCO和△BDO中,
∴△BCO≌△BDO(SSS).∴题图中全等三角形的对数为3.故选C.
2.D　解析:A.如图,
由作图痕迹可得,DE=AB,∠DEF=∠ABC,EF=BC,
∴△DEF≌△ABC(SAS).
故A选项正确,不符合题意;
B.如图,
由作图痕迹可得,DE=AB,EF=BC,DF=AC,
∴△DEF≌△ABC(SSS).
故B选项正确,不符合题意;
C.如图,
由作图痕迹可得,∠DEF=∠ABC,EF=BC,∠DFE=∠ACB,
∴△DEF≌△ABC(ASA).
故C选项正确,不符合题意;
D.如图,
由作图痕迹可得,∠DEF=∠ABC,EF=BC,DF=AC,
不能得出△DEF与△ABC全等,
故D选项不正确,符合题意.
故选D.
3.80°　解析:在△ABD和△EBD中,
∵AD=ED,AB=EB,BD=BD,
∴△ABD≌△EBD(SSS).
∴∠A=∠DEB=180°-∠CED.
∵∠CED=100°,
∴∠A=80°.
4.20°　解析:在△ABD和△ACE中,
∵AB=AC,BD=CE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SSS).
∴∠CAE=∠BAD.
∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC.
∴∠1=∠2.又∵∠1=20°,
∴∠2=20°.
5.(1)证明:∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC.
∴BC=FE.
在△ABC和△DFE中,
∴△ABC≌△DFE(SSS).
(2)解:∵△ABC≌△DFE,∠F=40°,
∴∠B=∠F=40°.
∵∠A=75°,∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=65°.
6.证明:在△ABC和△DEB中,
∴△ABC≌△DEB(SSS).
∴∠ACB=∠DBE.
∵∠AFB=∠ACB+∠DBE,
∴∠AFB=2∠ACB.
7.解:∵∠A=∠B=60°,
∴以A、C、P三点为顶点构成的三角形与以B、P、Q三点为顶点构成的三角形全等,有两种情况:
当AP=BP, AC=BQ时,
∵∠A=∠B=60°,
∴△ACP≌△BQP(SAS).
∵AP=BP,
∴1·t=6-1·t,解得t=3.
∴点Q的运动速度为 cm/s;
当AP=BQ,AC=BP时,
∵∠A=∠B=60°,
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∵AC=BP,即AC=AB-AP,
∴4=6-1·t,解得t=2.
∴点Q的运动速度为=1 cm/s.
综上所述,点Q的运动速度为 cm/s或1 cm/s时,能使得以A、C、P三点为顶点构成的三角形与以B、P、Q三点为顶点构成的三角形全等.2.边角边
边角边
1.(2025保定顺平县期中)下列与如图三角形全等的是 (　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.只有①
2.(易错题)如图,已知AC和BD相交于点O,且BO=DO,AO=CO,下列判断正确的是 (　　)
A.只能证明△AOB≌△COD
B.只能证明△AOD≌△COB
C.只能证明△AOB≌△COB
D.能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB
3.如图,∠1=∠2,AE=AC,利用“SAS”判定△ADE≌△ABC,需添加的一个条件是　 .
4.如图,已知在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由.
证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠　　　　=∠　　　　(角平分线的定义).
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(　　　　　).
5.如图,AB=AC,AD=AE,AB⊥AC,AD⊥AE.
求证:△ABD≌△ACE.
“边角边”的实际应用
6.同学们要测量池塘两端M、N间的距离,先在平地上取一个点O,从点O不经过池塘直接到达点M和N;再连结MO、NO并分别延长到点Q、P,使OQ=OM,OP=ON;测量得PQ=25 m,则池塘两端M、N间的距离为 (　　)
A.24 m B.25 m C.26 m D.28 m
7.如图所示,有一块三角形镜子,小明不小心把它摔碎成Ⅰ、Ⅱ两块.现需配制同样大小的镜子,为了方便起见,只需带第　　　(填“Ⅰ”或“Ⅱ”)块即可,其理由是　　　　　　　　　　　　　　.
1.(2025福州鼓楼区期末)根据下列已知条件,能画出并且唯一确定△ABC的是 (　　)
A.AB=3,BC=4,AC=7
B.AB=3,BC=4,∠C=30°
C.BC=3,AB=7,∠B=45°
D.AB=3,BC=4,∠C=90°
2.(新情境)如图是某纸伞截面示意图,伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC,AE=AF.若支杆DF需要更换,则所换长度应与哪一段长度相等 (　　)
A.BE B.AE C.DE D.DP
3.要测量A、B间的距离(无法直接测出),两位同学提供了测量方案:
方案Ⅰ:①如图1,选定点O;②连结AO,并延长到点C,使OC=OA,连结BO,并延长到点D,使OD=OB;③连结DC,测量CD的长度即可.
方案Ⅱ:①如图2,选定点O;②连结AO、BO,并分别延长到点F、E,使OF=OB,OE=OA;③连结EF,测量EF的长度即可.
对于方案Ⅰ、Ⅱ,下列说法正确的是 (　　)
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C.Ⅰ、Ⅱ都不可行
D.Ⅰ、Ⅱ都可行
4.如图,点C在BD上,∠B=∠D=40°,AB=CD,BC=DE,则∠ACE的度数是　　　　.
5.如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则∠P+∠Q=　　　　°.
6.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,若AB=7,AC=9,则AD的取值范围是　　　　.
7.如图,已知BF=CE,∠B=∠E,请你从以下条件中选择一个,运用“SAS”判定△ABC≌△DEF.
①∠A=∠D;②AC=DF;③AB=DE;④∠ACB=∠DFE.
(1)你添加的条件是　　　　 (填序号);
(2)请利用你所添加的条件证明:△ABC≌△DEF.
8.(推理能力)如图,点B、C、D、E在一条直线上,AC∥DF,AC=DF,EC=BD.
(1)求证:△ABC≌△FED;
(2)判断线段AB、EF的关系,并说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.D　2.D　3.AD=AB
4.DAB　DAC　AB=AC　已知
∠DAB=∠DAC　已证　AD=AD
公共边　SAS
5.证明:由条件可知∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD.
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
6.B
7.Ⅰ　根据“SAS”确定三角形全等
能力提升
1.C　解析:A.∵3+4=7,∴AB=3,BC=4,AC=7这三条线段不能构成三角形,不符合题意;B.AB=3,BC=4,∠C=30°,根据“SSA”不能判定三角形全等,不能画出唯一的三角形,不符合题意;C.BC=3,AB=7,∠B=45°,可以根据“SAS”判定三角形全等,可以画出唯一的三角形,符合题意;D.AB=3,BC=4,∠C=90°,则AB应为斜边,而3<4,不能构成三角形,不符合题意.故选C.
2.C　解析:∵AP平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD.
在△ADE和△ADF中,
∴△ADE≌△ADF(SAS).
∴DF=DE,
即所换长度应与DE的长度相等.
故选C.
3.D　解析:方案Ⅰ:在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS).
∴AB=CD;
方案Ⅱ:在△AOB和△EOF中,
∴△AOB≌△EOF(SAS).
∴AB=EF.
故选D.
4.40°　解析:在△ABC和△CDE中,
∴△ABC≌△CDE(SAS).
∴∠A=∠ECD.
∵∠B=∠D=40°,
∴∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB=180°-∠B=140°.
∴∠ACE=40°.
5.45　解析:如图所示,
在△PAB和△QCB中,
∴△PAB≌△QCB(SAS).
∴∠P=∠BQC.
∴∠P+∠AQB=∠BQC+∠AQB=∠AQC=45°.
6.1∵D是BC边的中点,
∴CD=BD.
在△ECD和△ABD中,
∴△ECD≌△ABD(SAS).
∴EC=AB=7.
∵AC-EC∴9-7<2AD<9+7.
∴1∴AD的取值范围是17.(1)解:③
(2)证明:∵BF=CE,
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
8.(1)证明:∵AC∥DF,
∴∠ACE=∠BDF.
∵∠ACE+∠ACB=180°,∠BDF+∠FDE=180°,
∴∠ACB=∠FDE.
∵EC=BD,
∴EC-CD=BD-CD,
即ED=BC.
在△ABC和△FED中,
∴△ABC≌△FED(SAS).
(2)解:AB∥EF且AB=EF.理由如下:
由(1)可知,△ABC≌△FED,
∴AB=FE,∠B=∠E.
∴AB∥EF.
∴AB∥EF且AB=EF.12.2　三角形全等的判定
1.全等三角形的判定条件
全等三角形及有关概念
1.下列说法正确的是 (　　)
A.全等三角形是指形状相同的三角形
B.全等三角形是指面积相等的两个三角形
C.全等三角形的周长和面积相等
D.所有等边三角形是全等三角形
2.如图所示,△ABC≌△DEF,请写出所有对应边和对应角.
全等三角形的性质
3.(2025无锡期末)如图,△ABC≌△DEF,若AD=8,CF=2,则AF的长为 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
4.如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为 (　　)
A.90° B.100°
C.110° D.120°
5.如图,△ABC≌△ADC,若∠BAC=32°,∠B=27°,求△ADC各内角的度数.
探索三角形全等的条件
6.下列说法正确的是 (　　)
A.两个角对应相等的两个三角形全等
B.两个三角形只有两组分别相等的元素时,是无法判定这两个三角形全等的
C.面积相等的两个三角形全等
D.周长相等的两个三角形全等
7.在△ACB和△A'C'B'中,已知∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',则△ACB和△A'C'B'　　　　全等.(填“一定”或“不一定”)
1.如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是 (　　)
A.∠BAD=∠CAE B.AC=DE C.∠ABC=∠AED D.AB=AE
2.如图,若△ABC≌△DEF,∠A=45°,∠F=35°,则∠B等于 (　　)
A.35° B.45° C.60° D.100°
3.根据下列已知条件,能画出唯一的△ABC的是 (　　)
A.∠A=50°,∠B=60°,∠C=70° B.∠A=50°,∠B=50°,AB=5
C.AB=5,BC=4,∠A=30° D.AB=6,BC=4, CA=1
4.(2025厦门思明区期末)如图,△ABE≌△ACD,∠B=50°,∠AEC=120°,则∠CAD的度数为 (　　)
A.120° B.70° C.60° D.50°
5.如图,已知△ABC≌△DEF,点B、E、C、F依次在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长为　　　　.
6.如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F,若DE=7,BC=4,∠D=35°,∠C=60°.
(1)求线段AE的长;
(2)求∠DFA的度数.
7.如图,点B、C、D在同一条直线上,∠B=∠D=90°,△ABC≌△CDE,AB=7,BC=24,CE=25.
(1)求△ABC的周长;
(2)求△ACE的面积.
8.(推理能力)如图,点A、B、C在同一条直线上,点E在BD上,且△ABD≌△EBC,AB=2 cm,BC=
3 cm.
(1)求DE的长;
(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由;
(3)判断直线AD与直线CE的位置关系,并说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.C
2.解:∵△ABC≌△DEF,
∴对应边是:AB=DE,BC=EF,AC=DF;
对应角是:∠A=∠D,∠B=∠E,
∠ACB=∠DFE.
3.A　4.B
5.解:∵△ABC≌△ADC,∠BAC=32°,∠B=27°,
∴∠DAC=∠BAC=32°,∠D=∠B=27°.
∴∠ACD=180°-32°-27°=121°.
6.B　7.不一定
能力提升
1.A　解析:A.∵△ABC≌△ADE,∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.本选项结论成立;B.∵△ABC≌△ADE,∴AC=AE,而AE与DE不一定相等.本选项结论不一定成立;C.∵△ABC≌△ADE,∴∠C=∠AED,而∠ABC与∠C不一定相等.本选项结论不一定成立;
D.∵△ABC≌△ADE,∴AB=AD,而AD与AE不一定相等.本选项结论不一定成立.故选A.
2.D　解析:∵△ABC≌△DEF,∠A=45°,∠F=35°,
∴∠C=∠F=35°.
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-45°-35°=100°.
故选D.
3.B　解析:A.只有三个角,不能画出唯一的△ABC,不符合题意
B.∠A=50°,∠B=50°,AB=5,能画出唯一的△ABC,符合题意;
C.AB=5,BC=4,∠A=30°,不能画出唯一的△ABC,不符合题意;
D.1+4=5<6,AB=6,BC=4,CA=1,不能构成三角形,不符合题意.
故选B.
4.B　解析:由题意,得∠B=50°,∠AEC=120°,
又∵∠AEC=∠B+∠BAE(三角形外角的性质),
∴∠BAE=120°-50°=70°.
又∵△ABE≌△ACD,
∴∠CAD=∠BAE=70°.
故选B.
5.3　解析:∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF.
又∵BC=8,
∴EF=8.∵EC=5,
∴CF=EF-EC=8-5=3.
6.解:(1)∵△ABC≌△DEB,
∴AB=DE=7,EB=BC=4.
∴AE=AB-EB=7-4=3.
(2)∵△ABC≌△DEB,
∴∠A=∠D=35°,∠DBE=∠C=60°.
∴∠DFA=∠A+∠AEF=∠A+∠D+∠DBE=130°.
7.解:(1)∵△ABC≌△CDE,CE=25,
∴AC=CE=25.
∵AB=7,BC=24,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=7+24+25=56.
(2)∵∠B=90°,
∴∠ACB+∠BAC=90°.
∵△ABC≌△CDE,
∴∠ECD=∠CAB.
∴∠ACB+∠ECD=90°.
∴∠ACE=90°.
∵AC=CE=25,
∴△ACE的面积=×25×25=.
8.解:(1)∵△ABD≌△EBC,
∴BD=BC=3 cm,BE=BA=2 cm.
∴DE=BD-BE=1 cm.
(2)AC与BD垂直.
理由如下:∵△ABD≌△EBC,
∴∠ABD=∠EBC.
又∵点A、B、C在同一条直线上,
∴∠EBC=90°.
∴AC与BD垂直.
(3)直线AD与直线CE垂直.
理由如下:如图,延长CE交AD于点F,
∵△ABD≌△EBC,
∴∠D=∠C.
∵在Rt△ABD中,∠A+∠D=90°,
∴∠A+∠C=90°.
∴∠AFC=90°,即CE⊥AD.
∴直线AD与直线CE垂直.3.角边角
角边角
1.如图,△ABC与△DEF的边BC、EF在同一条直线上,AB∥DE,且BE=CF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,全等的依据是“ASA”,则需要添加的条件是(　　)
A.∠ACB=∠DFE B.AC=DF C.∠A=∠D D.AB=DE
2.已知△ABC,由尺规作图痕迹可知△ABC≌△ABD,全等的理由为 (　　)
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
3.(2025北京昌平区期末)如图,已知A、B、D、E在同一条直线上,AD=BE,BC∥EF,∠A=∠EDF.
求证:△ABC≌△DEF.
角角边
4.(2025唐山迁安期中)已知线段AB,小明用三角板按如图给出的步骤,画出两个全等三角形△ACD和△BCD,两个三角形全等的理由是 (　　)
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
5.如图,AC和BD相交于点O,若OA=OD,用“AAS”证明△AOB≌△DOC还需增加条件: 　　　
　　　　　　.
6.如图,已知AB∥CD,点E为BC的中点.求证:△ABE≌△DCE.
1.根据下列已知条件,则△ABC的形状和大小能完全确定的是 (　　)
A.∠A=90°,∠B=30°
B.AB=3,BC=4
C.AB=3,BC=4,∠C=40°
D.∠A=30°,∠B=45°,AB=3
2.如图,已知△ABC的六个元素,则下面标有序号①②③的三个三角形中,与△ABC全等的图形序号是 (　　)
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.只有②
3.如图,点F、A、D、C在同一条直线上,EF∥BC,且EF=BC,DE∥AB.已知AD=3,CF=10,则AC的长为 (　　)
A.5 B.6 C.6.5 D.7
4.在△ABC中,∠B=∠C=50°,将△ABC沿图中虚线剪开,剪下的两个三角形不一定全等的是 (　　)
5.如图,∠A=∠D=90°,要使△ABC≌△DCB,只需再添加一个条件:　 .
6.一天课间,顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心将三角板掉到了两墙之间,如图所示.
AD⊥DE,BE⊥DE,∠ACB=90°,点C在DE上,这一幕恰巧被数学老师看见了,于是有了下面这道题.
(1)求证:△ADC≌△CEB;
(2)如果每块砖的厚度a=10 cm,请你帮小明求出两墙之间的距离DE.
7.(推理能力)如图,在△ABC中,点D是BC边上的动点,连结AD并延长至点E,连结CE.AF、EG分别是∠BAD、∠CED的平分线.给出三个信息:①AB=CE;②BD=CD;③AF∥EG.从中选择两个为条件,另一个为结论,构造一个真命题.
(1)你选择的条件是　　　　　　,结论是　　　　　　;(填序号)
(2)证明你构造的真命题.
【详解答案】
基础达标
1.A　2.D
3.证明:∵AD=BE,
∴AD-BD=BE-BD.
∴AB=DE.
∵BC∥EF,∴∠ABC=∠E.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
4.D　5.∠B=∠C　
6.证明:∵AB∥CD,
∴∠A=∠D,∠B=∠C.
∵点E为BC的中点,
∴BE=CE.
∴△ABE≌△DCE(AAS).
能力提升
1.D　解析:A.条件没有边的长度,因此不能画出唯一的△ABC,不符合题意;B.只是知道两边的长度,不能画出唯一的△ABC,不符合题意;C.已知两边及一边的对角,因此不能画出唯一的△ABC,不符合题意;D.已知两角和这两角的夹边,能够画出唯一的△ABC,符合题意.故选D.
2.B　解析:根据“SAS”可证第②个三角形和△ABC全等,根据“AAS”可证第③个三角形和△ABC全等.
故选B.
3.C　解析:∵EF∥BC,DE∥AB,
∴∠F=∠C,∠EDF=∠BAC.
在△DEF和△ABC中,∠F=∠C,
∠EDF=∠BAC,EF=BC,
∴△DEF≌△ABC(AAS).
∴AC=DF,可得DC=AF.
∴DC=(CF-AD)÷2=(10-3)÷2=3.5,
∴AC=AD+DC=6.5.
故选C.
4.D　解析:A.根据“SAS”可以推出剪下的两个三角形全等,故A选项不符合题意;
B.根据“SAS”可以推出剪下的两个三角形全等,故B选项不符合题意;
C.如图1,∵∠DFC=∠DFE+∠EFC,且∠DFC=∠B+∠BDF,
∴∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF.
∵∠B=∠DFE=50°,
∴∠EFC=∠BDF.
∵BD=FC,∠B=∠C,
∴△DBF≌△FCE(ASA).
根据“ASA”可以推出剪下的两个三角形全等,故C选项不符合题意;
D.如图2,由C选项可得∠EFC=∠BDF,∠B=∠C,但EC不是两个角的夹边,所以两个三角形不一定全等,故D选项符合题意.
故选D.
5.∠ABC=∠DCB(答案不唯一)
解析:添加的条件可以是∠ABC=∠DCB.
理由如下:在△ABC和△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(AAS).
6.(1)证明:由题意,得AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°.
∴∠BCE=∠DAC.
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
(2)解:∵△ADC≌△CEB,a=10 cm,
∴AD=4a=40 cm=CE,
BE=3a=30 cm=DC.
∴DE=DC+CE=70 cm.
7.解:(1)①③　②(或②③　①)
(2)当条件是①③,结论是②时,证明如下:
∵AF、EG分别是∠BAD、∠CED的平分线,
∴∠DAF=∠BAD,∠DEG=∠CED.
∵AF∥EG,∴∠DAF=∠DEG.
∴∠BAD=∠CED.
在△ABD和△ECD中,
∴△ABD≌△ECD(AAS).
∴BD=CD;
当条件是②③,结论是①时,证明如下:
∵AF、EG分别是∠BAD、∠CED的平分线,
∴∠DAF=∠BAD,∠DEG=∠CED.
∵AF∥EG,∴∠DAF=∠DEG.
∴∠BAD=∠CED,
在△ABD和△ECD中,
∴△ABD≌△ECD(AAS).
∴AB=CE.5.斜边直角边
斜边直角边
1.如图,在四边形ABCD中,连结BD,且AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是 (　　)
A.∠A=∠C B.∠ADB=∠CBD
C.AB=CD D.AD=CB
2.如图,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,若BE=CF,则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是 (　　)
A.AAS B.HL
C.SAS D.ASA
3.综合实践课上,数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作直角三角形的三种方案:①已知两条直角边长;②已知一条直角边和斜边长;③已知一个锐角和斜边长.图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种,根据尺规作图痕迹,其对应顺序正确的是 (　　)
A.①②③ B.②③①
C.①③② D.③①②
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,连结AE.若∠B=28°,则∠AEC=
　　　　°.
5.(2025泰州期末)如图,在△ABE与△BCD中,AE⊥BD于点E,CD⊥BD于点D,AB=BC,BE=CD.
求证:Rt△ABE≌Rt△BCD.
1.(易错题)下列不能使两个直角三角形全等的条件是 (　　)
A.三边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一条直角边和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
2.如图,在四边形ABCD中,CD⊥AD,CB⊥AB,垂足分别是D、B,CD=CB.求证:Rt△ADC≌Rt△ABC.以下是排乱的证明过程:
①∴∠D=∠B=90°;
②∴Rt△ADC≌Rt△ABC(HL);
③∵CD⊥AD,CB⊥AB;
④在Rt△ADC和Rt△ABC中,
证明步骤正确的顺序是 (　　)
A.③②④①
B.③①④②
C.①②③④
D.①③④②
3.如图1,已知Rt△ABC.画一个Rt△A'B'C',使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.在已有∠MB'N=90°的条件下,图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程.下列说法错误的是 (　　)
A.甲同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL
B.甲同学第二步作图时,用圆规截取的长度是线段AC的长
C.乙同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是SAS
D.乙同学第一步作图时,用圆规截取的长度是线段AC的长
4.如图,点D为△ABC的边BC上一点,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,若BD=CF, BE=CD,∠AFD=132°,则∠EDF的度数为 (　　)
A.40° B.42° C.46° D.48°
5.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A、D和点B、C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD= BE,DE=EC,则AB=　　　　.
6.如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,AE=CF,连结BD.
求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB,P、Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动,且点P不与点A、C重合,那么当点P运动到什么位置时,才能使△ABC与△APQ全等
8.(推理能力)如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)若B、C在DE的同侧(如图1),且AD=CE.求证:AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的两侧(如图2),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗 若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.D　2.B　3.C　4.59
5.证明:∵AE⊥BD,CD⊥BD,
∴∠AEB=∠BDC=90°.
在Rt△ABE和Rt△BCD中,
∴Rt△ABE≌Rt△BCD(HL).
能力提升
1.B　解析:A.三边对应相等,利用“SSS”能证明两三角形全等,故本选项不符合题意;
B.两个锐角对应相等时,加上已知的直角相等,不能判定它们全等,故本选项符合题意;
C.一条直角边和斜边对应相等,利用“HL”能证明两三角形全等,故本选项不符合题意;
D.两条直角边对应相等,加上已知的直角相等,利用“SAS”能证明两三角形全等,故本选项不符合题意.
故选B.
2.B　解析:∵CD⊥AD,CB⊥AB,
∴∠D=∠B=90°.
在Rt△ADC和Rt△ABC中,
∴Rt△ADC≌Rt△ABC(HL).
故顺序为③①④②.故选B.
3.D　解析:甲同学第一步作图时,用圆规截取的长度是线段BC的长,第二步作图时,用圆规截取的长度是线段AC的长,则判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL,则选项A、B正确;
乙同学第一步作图时,用圆规截取的长度是线段AB的长,第二步作图时,用圆规截取的长度是线段BC的长,则判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是SAS,则选项C正确,选项D错误.故选D.
4.B　解析:∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠BED=∠CDF=90°.
在Rt△BED和Rt△CDF中,
∴Rt△BED≌Rt△CDF(HL).
∴∠BDE=∠CFD.
∵∠AFD=132°,
∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-132°=48°.
∴∠BDE=48°.
∴∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=180°-48°-90°=42°.
故选B.
5.7　解析:∵MN∥PQ,AB⊥PQ,
∴AB⊥MN.
∴∠DAE=∠EBC=90°.
在Rt△ADE和Rt△BEC中,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
∴AE=BC.
∵AD+BC=7,
∴AB=BE+AE=AD+BC=7.
6.证明:∵∠BAD=∠BCD=90°,
在Rt△ABD和Rt△CBD中,
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL).
∴AD=CD.
∵AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,
∴∠E=∠F=90°.
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
7.解:根据直角三角形全等的判定方法HL可知,
①当点P运动到AP=BC时,
∵∠C=∠QAP=90°,
∴△ABC和△QPA均为直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△QPA中,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),
即AP=BC=10;
∵AC=20,
∴AP=AC,即P为AC的中点.
②Rt△QAP≌Rt△BCA,此时AP=AC,点P,C重合,不合题意.
综上所述,当点P运动到线段AC的中点时,△ABC与△APQ全等.
8.(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
∵∠DAB+∠DBA=90°,
∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BAD+∠EAC=90°.
∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠EAC)=90°.
∴AB⊥AC.
(2)解:AB⊥AC.证明:
同理(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
∵∠EAC+∠ECA=90°,
∴∠EAC+∠DAB=90°,
即∠BAC=90°.
∴AB⊥AC.

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