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1.1 多项式的因式分解
素养目标
1.知道因式分解的含义,能说出因式分解与整式乘法的互逆关系.
2.会运用整式乘法的逆运算判断多项式的因式分解结果是否正确.
重点
因式分解概念的理解以及它与整式乘法之间的关系.
【自主预习】
1.哪两个正整数相乘的结果是35
2.说一说多项式的因式分解与多项式的乘法的概念.
3.已知(x-1)(x2+x+1)=x3-1,说一说x3-1的因式有哪些.
1.多项式x2-x的一个因式是 (　　)
A.x B.x2-1
C.x+1 D.x2
2.下列各式中,因式分解正确的是 (　　)
A.a2+b2=(a+b)(a+b)
B.-a2-b2=(-a+b)(-a-b)
C.-a2+b2=(-a-b)(-a+b)
D.b2-a2=-(a+b)(a-b)
3.若x+5,x-3都是多项式x2-kx-15的因式,则k=　　　　.
【合作探究】
知识点一：因式分解的概念
阅读课本本课时“例1”前面的内容,回答下列问题.
1.整数15有因数　　　　和　　　　,所以15可以分解为　　　　×　　　　.
2.由整式的乘法可知,m(a+b+c)=ma+mb+mc,由等式的性质可得ma+mb+mc=　　　　.
3.对完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,交换等号两边式子的位置,可得a2±2ab+b2=　　　　,a2-b2=　　　　.观察这两个式子,可以发现等号左边是一个多项式,等号右边化成了几个整式的　　　　的形式.
　　(1)一般地,对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫作f的一个　　　　.此时,h也是f的一个　　　　.
(2)一般地,把一个多项式表示成若干个多项式的　　　　的形式,称为把这个多项式因式分解.
1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是 (　　)
A.6a2b2=3ab·2ab
B.2x2+8x-1=2x(x+4)-1
C.a2-3a-4=(a+1)(a-4)
D.a2-1=a
【方法归纳】因式分解是对　　　　来说的,结果要以　　　　的形式表示,每个因式必须是　　　　,等号左右两边是　　　　的.
知识点二：因式分解及其检验
阅读课本本课时“例1”和“例2”,回答下列问题.
1.由“例2”可知,一个多项式因式分解后的结果必须是整式的　　　　的形式.
2.多项式的因式分解与多项式的乘法运算是　　　　的变形过程.
2.检验下列因式分解是否正确.
(1)2x2-y2=(2x+y)(2x-y);
(2)5x2-3xy+x=x(5x-3y);
(3)9x2-6x+1=(3x-1)2.
因式分解与整数乘法的关系及应用
例　观察下列算式:
(1)x2+4x+3=x2+(1+3)x+1×3=(x+1)(x+3);
(2)x2-4x-5=x2+(1-5)x+1×(-5)=(x+1)(x-5).
请你仿照上述方法,把多项式x2-7x-18分解因式.
变式训练　仔细阅读下面的例题,解答问题.
已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为(x+n),
则x2-4x+m=(x+3)(x+n),
则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,
所以
解得n=-7,m=-21,
所以另一个因式为(x-7),m的值为-21.
请仿照以上方法解答下面的问题:
已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k的值.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.5和7,1和35.
2.多项式的因式分解:把一个多项式化成几个多项式的乘积.
多项式的乘法:把几个多项式的乘积化成一个多项式.
3.x-1,x2+x+1.
自学检测
1.A　2.D　3.-2
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.3　5　3　5
2.m(a+b+c)
3.(a±b)2　(a+b)(a-b)　积
归纳总结　(1)因式　因式
(2)乘积
对点训练
1.C
【方法归纳】
多项式　乘积　整式　相等
知识点二
1.乘积
2.互逆
对点训练
2.解:(1)因为(2x+y)(2x-y)=4x2-y2≠2x2-y2,
所以因式分解2x2-y2=(2x+y)(2x-y)不正确.
(2)因为x(5x-3y)=5x2-3xy≠5x2-3xy+x,
所以因式分解5x2-3xy+x=x(5x-3y)不正确.
(3)因为(3x-1)2=9x2-6x+1,
所以因式分解9x2-6x+1=(3x-1)2正确.
题型精讲
题型
例
解:x2-7x-18=x2+(-9+2)x+(-9)×2=(x-9)(x+2).
变式训练
解:设另一个因式为(x+a),
则2x2+3x-k=(2x-5)(x+a),
则2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a,
所以
解得a=4,k=20,
故另一个因式为(x+4),k的值为20.

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