资源简介

第一阶段　突破核心　升华思维
专题三　电场与磁场
第7讲　磁场
【备考指南】
1．高考对本讲的命题热点主要集中在磁场的叠加、磁场对电流的作用、带电粒子在磁场中的运动以及临界、多解问题。
2．加强带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的作图训练，培养数形结合能力。
3．关注本讲知识在科技、生产、生活中的应用，理论联系实际，提高应用所学知识解决综合问题的能力。
突破点一　磁场的性质
01
突破点二　带电粒子在匀强磁场中的运动
02
随堂练 临考预测 名师押题
03
专题限时集训(七)
04
突破点一　磁场的性质
　　　　　　
1．用准“两个定则”
(1)电流磁场的判断用安培定则。
(2)对通电导线在磁场中所受的安培力和带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力用左手定则。
2．掌握磁场叠加问题的一般思路
(1)确定磁场场源，如通电导线。
(2)定位空间中需求解磁场的点，利用安培定则判定各个场源在这一点上产生的磁场的大小和方向。如图所示，BM、BN为M、N处的通电直导线在c点产生的磁场。
(3)应用平行四边形定则进行合成，如图中的c点
合磁场的磁感应强度为B。
3．熟悉“两个等效模型”
(1)变曲为直：图甲所示通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流。
(2)化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁体，如图乙所示。
[典例1]　(磁场的叠加)(多选)(2024·安徽合肥市高三第一次教学质量检测)图甲为特高压输电线路上使用六分裂阻尼间隔棒的情境。其简化如图乙，间隔棒将6条输电导线分别固定在一个正六边形的顶点a、b、c、d、e、f上，O为正六边形的中心，A点、B点分别为Oa、Od的中点。已知通电导线在周围形成磁场的磁感应强度与电流大小成正比，与到导线的距离成反比。6条输电导线中通有垂直纸面向外、大小相等的电流，其中a导线中的电流对b导线中电流的安培力大小为F，则(　　)
A．A点和B点的磁感应强度相同
B．其中b导线所受安培力大小为????????F
C．a、b、c、d、e五根导线在O点的磁感应强度方向垂直于ed向下
D．a、b、c、d、e五根导线在O点的磁感应强度方向垂直于ed向上
?
√
√
BC　[根据对称性可知A点和B点的磁感应强度大小相等，方向不同，故A错误；根据题意可知a、c对导线b的安培力大小F，f、d对导线b的安培力大小为Ffd＝tan 30°F＝????????F，e对导线b的安培力大小为????????，根据矢量的合成可得b导线所受安培力Fb＝2F sin 30°＋2×????????????sin 60°＋????????＝????????????，故B正确；根据安培定则，a、d两条导线在O点的磁感应强度等大反向，b、e两条导线在O点的磁感应强度等大反向，a、b、c、d、e五根导线在O点的磁感应强度方向与c导线在O点的磁感应强度方向相同，垂直于ed向下，故C正确，D错误。故选BC。]
?
[典例2]　(磁场对通电导体的作用)(多选)(2024·福建卷)将半径为r的铜导线半圆环AB用两根不可伸长的绝缘绳a、b悬挂于天花板上，AB置于垂直纸面向外的大小为B的磁场中，现给导线通以自A向B大小为I的电流，则(　　)
A．通电后两绳拉力变小
B．通电后两绳拉力变大
C．安培力为πBIr
D．安培力为2BIr
√
√
BD　[通电流之前，铜导线半圆环处于平衡状态，根据平衡条件有2FT＝mg；通电流之后，半圆环受到安培力，由左手定则可判断半圆环受到的安培力方向竖直向下，根据平衡条件有2F′T＝mg＋
F安，可知通电后两绳的拉力变大，A错误，B正确；半圆环的有效长度为2r，由安培力公式可知F安＝2BIr，C错误，D正确。]
方法技巧　弯曲通电导线在磁场中所受安培力的分析要分三步走：先取直(连接弯曲导线的首尾两端，化曲为直)，再分解(若化曲为直后，“直电流”与磁场不垂直，要将磁感应强度沿“直电流”方向和垂直“直电流”方向正交分解，平行“直电流”方向的分磁感应强度对通电导线没有作用力)，最后分析方向和大小(根据左手定则分析方向，根据公式F＝ILB⊥计算大小)。
突破点二　带电粒子在匀强磁场中的运动
　　　　　　
1．带电粒子在有界匀强磁场中运动的三个技巧
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲所示，θ1＝θ2＝θ3)。
(2)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向(如图乙所示，两侧关于两圆心连线对称)。
(3)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹的
对应圆心角(如图甲所示，α1＝α2)。
2．解决带电粒子在有界匀强磁场中的临界、极值问题常用结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长(或圆心角小于180°时的弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长。
(4)在圆形匀强磁场中，若带电粒子速率v一定且运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
3．解决临界、极值问题的技巧
方法
示意图
适用条件
应用方法
放
缩
圆




(轨迹圆的圆心在P1P2直线上)
粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同
以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
方法
示意图
适用条件
应用方法
旋转圆




(轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝????????????????????的圆上)
粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同
将一半径为R＝????????????????????的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件
方法
示意图
适用条件
应用方法
旋转圆
粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同
方法
示意图
适用条件
应用方法
平
移
圆



(轨迹圆的所有圆心在一条直线上)
粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定
将半径为R＝????????????????????的圆进行平移，从而探索出粒子的临界轨迹
方法
示意图
适用条件
应用方法
平
移
圆



(轨迹圆的所有圆心在一条直线上)
粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定
[典例3]　(带电粒子在有界匀强磁场中的运动)(2024·湖北卷)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　)
A．粒子的运动轨迹可能经过O点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为????????????????????????
D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，
粒子运动的速度大小为????????????????????????
?
√
D　[根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动性质可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，粒子射出圆形区域时的速度方向一定沿该区域的半径方向，A、B错误；当粒子在磁场中运动的轨迹半径为r1＝R时，粒子连续两次由A点沿AC方向射入磁场区域的时间间隔最短，其运动轨迹如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝????????????????????????，又有T1＝????????????????????????，则最短时间间隔为tmin＝2T1＝????????????????????，C错误；粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短时，粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何关系可知此时粒子的轨迹半
径为r2＝????????R，由洛伦兹力提供向心力有qv2B
＝????????????????????????，联立解得v2＝????????????????????????，D正确。]
?
方法总结　模型分析　圆形边界(进出磁场具有对称性)：(1)沿径向射入必沿径向射出且一定不过圆心，如图甲所示；(2)不沿径向射入时，如图乙所示，射入时粒子速度方向与径向的夹角为θ，射出磁场时速度方向与径向的夹角也为θ。
【教师备选资源】
(2023·湖南卷)如图所示，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里，等腰直角三角形CGF区域(区域Ⅱ)内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区
域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，它们
在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入
区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子所受的
重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t>t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t>t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为????????B2，则t＝????????????
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为????????B2，则t＝????t0
?
√
D　[由题意可知，粒子在叠加场中沿直线AC运动，则粒子在叠加场中受力平衡，有qv0B1＝qE，得v0＝????????????，粒子在磁场中运动的轨迹半径R0＝????????????????????????＝????????????????????????????，又因为粒子从CF中点射出，设CO＝d，则R0＝????????，设粒子在磁场中转过的角度为θ，则t0＝????????????????????????。若仅将B1变为2B1，则R1＝????????????，粒子仍从CF边射出，粒子在磁场中转过的角度不变，周期不变，所以t1＝t0，A错误；若仅将E变为2E，则v2＝
?
2v0，R2＝2R0，则粒子恰好从F点射出，同上可知t2＝t0，B错误；若仅将B2变为????????B2，则R3＝????????????????＝????????d，则粒子从OF边射出，设粒子在磁场中转过的角度为α，则sin α＝????????，所以α＝????????，则t3＝????????????t0，C错误；若仅将B2变为????????B2，则R4＝????????R0＝????d，则粒子从OF边射出，设粒子在磁场中转过的角度为β，则sin β＝????????，所以β＝????????，则t4＝????t0，D正确。]
?
[典例4]　(临界极值问题)(2024·安徽名校9月检测)如图所示，在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ac＝2ab，边长bc＝L，一个粒子源在a点将质量为3m、电荷量为q的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，关于在磁场中运动时间最长的粒子，下列说法正确的是(　　)
A．粒子运动时间为????????????????????
B．入射点与出射点的最大间距为????L
C．粒子运动速度的最大值为????????????????????????
D．粒子轨迹上各点与ac边的最大距离为????????????????????????
?
√
D　[根据题意可知，粒子沿ab边界方向射入磁场，从ac边射出磁场时轨迹对应的圆心角最大，粒子在磁场中的运动时间最长，粒子速度最大时运动轨迹与bc相切，粒子运动轨迹如图所示。由几何关系可得∠a＝60°，∠b＝90°，bc＝L，则ab＝????????L，因为四边形abdO是正方形，所以粒子做圆周运动的半径r＝????????L，由几何关系可知∠aOe＝120°，粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvmB＝????????????????????????，解得vm＝????????????????????????，则粒子在磁场中运动的最长时间为t＝????????T＝????????????????????，入射点与出射点的最大间距
为d＝????r＝L，粒子轨迹上各点与ac边的最大距离为d2
＝r－r sin 30°＝????????????，故选D。]
?
方法技巧　带电粒子在匀强磁场中运动的“四点、六线、三角”
在找几何关系时要尤其注意带电粒子在匀强磁场中的
“四点、六线、三角”。
(1)四点：入射点B、出射点C、轨迹圆心点A、入射速
度直线与出射速度直线的交点O。
(2)六线：圆弧两端点所在的两条轨迹半径、入射速度
直线OB、出射速度直线OC、入射点与出射点的连线
BC、圆心与两条速度直线交点的连线OA。
(3)三角：速度偏转角∠COD、圆心角∠BAC、弦切角
∠OBC，其中速度偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。
1．(热点情境·三维空间)如图为边长为d的正方体，O为DE的中点，在FE、ND两边放置足够长的直导线，均通有大小相等的电流I，电流方向如图所示。已知一根足够长直导线通过的电流一定时，磁感应强度大小与距离成反比。则图中C、O两点处的磁感应强度大小之比为(　　)
A．1∶2 B．2∶1
C．????∶1 D．1∶1
?
√
随堂练 临考预测 名师押题
A　[设放置在FE边的通电导线在C点的磁感应强度大小为BC1＝????????????，根据右手螺旋定则可判断其方向沿CM，放置在ND边的通电导线在C点的磁感应强度大小为BC2＝????????????，方向沿FC，故C点处的磁感应强度大小为BC＝????????????????；放置在FE边的通电导线在O点的磁感应强度大小为BO1＝????????????????????＝????????????????，方向沿DN，放置在ND边的通电导线在O点的磁感应强度大小为BO2＝????????????????????＝????????????????，方向沿EF，故O点处的磁感应强度大小为BO＝????????????????????，则题图中C、O两点处的磁感应强度大小之比为????????????????＝????????????????????????????????????＝????????，故选A。]
?
2．(高考热点·临界问题)(多选)如图所示，S为一离子源，MN为足够长的荧光屏，S到MN的距离为SP＝L，MN左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为????????????????的正离子(此后不再喷发)，不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则(　　)
A．打中荧光屏的最短时间为????????????????????
B．打中荧光屏的最长时间为????????????????
C．打中荧光屏的宽度为2????L
D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为????????
?
√
√
AD　[根据qvB＝m????????????，则离子轨道半径r＝????????????????＝L，离子轨迹对应弦长最短时运动时间最短，即离子恰好打中P点，如图甲所示根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角为60°，能打中荧光屏的最短时间为t＝????????T＝????????????????????，故A正确；
?
离子运动轨迹如图乙所示，离子速度为v1从下侧回旋，刚好和边界相切于B点，离子速度为v2时从上侧回旋，刚好和上边界相切于A点，离子的周期T＝????????????????????，打中荧光屏的最长时间为t＝????????????°????????????°T＝????????????????????????，故B错误；离子打中荧光屏的范围总长度为图乙中的AC长度，由几何关系可知|AC|＝(????＋1)R＝(????＋1)L，打中荧光屏的宽度为(????＋1)L，故C错误；
?
离子恰好打到MN上的临界运动轨迹如图丙所示，离子速度为v1从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为v2时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打到N′点的离子离开S时的初速度方向和打到M′点的离子离开S时的初速度方向夹角θ＝π，能打到荧光屏上的离子数与发射的离子总数之比k＝????????????＝????????，故D正确。]
?
3．(高考新动向·三维立体问题)(多选)(2024·重庆渝北10月测试)某粒子分析装置的核心结构如图所示。在空间三维直角坐标系O-xyz中，由6面荧光屏构成的长方体容器OPMN-EFGH安装在坐标原点O处，OP边与x轴重合，OE边与z轴重合，长方体的长、宽、高分别为2a、a、2a，整个空间存在方向沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在MNHG面的中心S处有一粒子源，可以在平行于xOy的平面内向容器内各个方向均匀发射相同速率的带电粒子，已知带电粒子的比荷为????????＝k，有二分之一的粒子
打在OPFE面上激发荧光屏发光，PMGF面刚好没有发光。粒
子打在荧光屏上后即被吸收，重力不计。下列说法正确的是(　　)
?
A．粒子源发射的粒子带负电，速率为v＝2kBa
B．有六分之一的粒子打在MNHG面上激发荧光屏发光
C．有三分之一的粒子打在ONHE面上激发荧光屏发光
D．打到OPFE面中心S′点的粒子，所用的时间跟打在棱HN上的粒子运动的时间相同
√
√
√
BCD　[粒子源在平行于xOy的平面内向容器内各个方向均匀发射相同速率的带电粒子，磁场方向沿z轴正方向，可知粒子只在平行于xOy的平面内运动，画出过S点、平行于xOy平面的面E′F′G′H′和粒子的运动轨迹图，如图所示。由题意知，粒子射出后向速度方向的右侧偏转，利用左手定
则可判断粒子带正电。由题意知有二分之一的粒子打
在E′F′边上，刚好没有粒子打在F′G′边上，打在E′F′
最边缘粒子分别沿x轴的正方向和y轴的正方向射入磁
场，入射速度夹角为90°，在E′点和F′点分别与E′F′
和F′G′边相切射出，根据几何关系可知，粒子运动的轨迹半径为r＝a，由r＝????????????????，代入数据解得v＝kBa，故A错误；根据粒子的运动轨迹，可知打在SH′边上的粒子速度方向与H′G′的最大夹角为30°，所以有六分之一的粒子打在MNHG面上，故B正确；由题图根据几何关系可知，打在E′H′边的粒子，从粒子源射出时的速度方向最大夹角为60°，所以有三分之一的粒子打在ONHE面上，故C正确；由题图知，打到OPFE面中心S′点的粒子和打在棱HN上即H′点的粒子，它们的运动轨迹所对应的弦长相等，所以圆心角相等，在磁场中运动的时间相等，故D正确。]
?
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
专题限时集训(七)
1．如图所示，abc是以O点为圆心的三分之一圆弧，b为圆弧中点，a、b、c处各有一垂直纸面的通电直导线，电流大小相等，方向均垂直纸面向里，整个空间还存在一个磁感应强度大小为B的匀强磁场，O点处的磁感应强度恰好为0。若将c处电流反向，
其他条件不变，则O点处的磁感应强度大小为(　　)
A．B B．2B C．3B D．0
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A　[三条导线的磁场如图甲所示，由矢量的叠加可知，三条导线产生的磁场合磁感应强度为B＝2B0，若将c处电流反向，三条导线产生的磁场如图乙所示，根据磁感应强度的叠加可知，O点处的磁感应强度大小为B，故A正确，B、C、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
2．丹麦物理学家奥斯特在1820年4月发现了电流的磁效应，从而开启了人类对电与磁关系探索的序幕。已知通电长直导线周围某点的磁感应强度B＝k????????， 即磁感应强度B与导线中的电流I成正比，与该点到导线的距离r成反比。如图为垂直于纸面放置在x轴上0和x0处的两根平行长直导线，分别通以大小不等、方向相同的电流，已知I1>I2。规定磁场方向垂直于x轴向上为正，在0～x0区间内磁感应强度B随x变化的图线可能是图中的(　　)
?
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　D
√
题号
1
3
5
2
4
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10
11
A　[由安培定则可知，左侧导线中的电流在该导线右侧产生的磁场的方向垂直于x轴向上，而右侧导线中的电流在该导线左侧产生的磁场的方向垂直于x轴向下，由于规定磁场方向垂直于x轴向上为正，故在0～x0区间内磁场方向先为正后为负。根据通电长直导线周围某点磁感应强度B＝k????????和I1>I2，可知在????????????的位置磁场方向为正方向，A正确。]
?
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
11
3．如图所示，重物放在电子秤上，跨过定滑轮的细绳一端系住重物，另一端系住多匝矩形通电线圈(为线圈供电的电源没有画出)。矩形线圈下部放在匀强磁场中，线圈平面与匀强磁场垂直，线圈的匝数为n，水平边长为L，当线圈中通过顺时针方向的恒定电流为I时，电子秤显示的力的值为F1，改变线圈中电流的方向，但不改变线圈电流的大小，电子秤显示的力的值为F2，整个过程中细绳没有松弛。则磁感应强度B的大小为(　　)
A．???????????????????????? B．????????????????????????
C．????????????????????????????????? D．?????????????????????????????????
?
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[由于线圈左右两侧受到的安培力大小相等、方向相反，故整个线圈受到的合安培力方向只在竖直方向，设重物的质量为M，线圈的质量为m，当线圈中通过顺时针方向的恒定电流时，安培力方向为竖直向下，以重物为研究对象，根据受力平衡可得Mg＝F1＋mg＋nBIL；当线圈中通过逆时针方向的恒定电流时，安培力方向为竖直向上，Mg＝F2＋mg－nBIL，联立解得B＝?????????????????????????????????，故选C。]
?
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
4．(2024·河北邯郸统考二模)如图所示，四根通有恒定电流的长直导线垂直xOy平面放置，四根长直导线与xOy平面的交点组成边长为2a的正方形且关于x轴和y轴对称，各导线中电流方向已标出，其中导线1、3中电流大小为I，导线2、4中电流大小为2I。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小与电流成正比、与该点到通电长直导线的距离成反比，即B＝????????????，下列说法正确的是(　　)
A．长直导线1、4之间的相互作用力为吸引力
B．一垂直于纸面并从O点射入的粒子，将做圆周运动
C．导线4受到的导线1、2、3的作用力的合力方向指向O点
D．仅将导线2中的电流反向，则导线2和4连线上各点磁感
应强度方向均相同
?
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[当通有同向电流时，通电导线之间表现为吸引力，当通有反向电流时，通电导线之间表现为斥力，A错误；由右手螺旋定则并结合矢量叠加可知O点的磁感应强度为零，因此过O点垂直于纸面射入的粒子将做匀速直线运动，B错误；长直导线1在长直导线4处产生的磁感应强度大小为B1＝????????????????，方向水平向左，导线3在长直导线4处产生的磁感应强度大小也为B1，方向竖直向上，长直导线2在长直导线4处产生的磁感应强度大小为B2＝????·????????????????????＝????????????????????，方向垂直导线
?
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
2、4的连线指向右下方，所以三根导线在4处的合场强为零，导线4不受安培力，C错误；根据右手螺旋定则以及磁场叠加原理可知，导线1、3在导线2、4的连线上除O点的磁感应强度为零外，其他位置合磁感应强度均垂直于导线2、4的连线指向左上方。仅将导线2中的电流反向，导线2、4在导线2、4的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4的连线指向左上方。由磁场叠加原理可知，四根导线在导线2、4的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4的连线指向左上方，D正确。故选D。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
5．虚线OM和虚线ON之间的夹角为30°，如图所示，虚线OM上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带负电的粒子沿纸面以大小为v的速度从O点右侧距离为L的A点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计重力。则粒子在磁场中做圆周运动的半径为(　　)
A．???????? B．???????? C．2L D．3L
?
√
题号
1
3
5
2
4
6
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7
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11
A　[轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于O′A＝O′D＝r，故△AO′D为等边三角形，则∠O′DA＝60°，而∠MON＝30°，则∠OCD＝90°，故CO′D为一直线，则OD＝????????????????????????????°＝4r＝L＋r，解得r＝????????，故A正确，B、C、D错误。故选A。]
?
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
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6．(多选)如图所示，宽度为L的有界匀强磁场，磁感应强度为B，AC和DE是它的两条边界。现有质量为m、电荷量的绝对值为q的带电粒子以θ＝45°方向射入磁场。要使粒子不能从边界DE射出，则粒子入射速度v的最大值可能是(　　)
A．????+???????????????????? B．????+????????????????????
C．????????????????????????? D．?????????????????????????
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√
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BD　[题目中只给出粒子“电荷量的绝对值为q”，未说明是带哪种电荷。如图所示
若q为正电荷，轨迹是如图所示的左方与DE相切的????????
圆弧，轨道半径R1＝????????????????????，又L＝R1－R1cos 45°，
得v1＝????+????????????????????，若q为负电荷，轨迹是如图所示的右方与DE相切的????????圆弧，则有R2＝????????????????????，L＝R2＋R2cos 45°，得v2＝?????????????????????????，则粒子入射速度v的最大值可能是????+????????????????????(q为正电荷)或?????????????????????????(q为负电荷)。故选BD。]
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7．(多选)(2024·陕西西安10月测试)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中ab＝l，射线bc足够长，∠abc＝135°，其他方向磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，以下说法正确的是(　　)
A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
C．所有粒子在磁场中运动的时间都相等
D．粒子在磁场中最长运动时间约为????????????????????????
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AD　[画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图所示。当粒子速度较小时，都从ab边射出，则运动轨迹都是半圆，运动时间都相等，A正确；当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨迹半径越大，轨迹所对圆心角越大，运动时间越长，B、C错误；当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，这时圆心角大小近似为α＝270°，可得t＝????????????°????????????°T＝????????·????????????????????＝????????????????????????，D正确。]
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8．(多选)地磁场对射入的宇宙粒子有偏转作用，假设地磁场边界到地心的距离为地球半径的????倍。如图所示是赤道所在平面的示意图，地球半径为R，地磁场(可视为匀强磁场)垂直纸面向外，MN为磁场圆边界的直径，MN左侧宽度为2????R的区域内有一群均匀分布、质量为m、带电荷量为＋q的粒子垂直MN以速度v射入地磁场，正对地心O的粒子恰好打到地球表面，不计粒子所受重力及粒子间的相互作用，则(　　)
A．地磁场的磁感应强度大小为????????????????????
B．打在地面时速度方向指向O的粒子在磁场中的运动时间为????????????????
C．从M点射入的粒子在磁场中速度偏转角的余弦值为?????????????
D．仅增大粒子速度，能打到地球表面的粒子数一定减少
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BC　[由题意可知，正对地心O的粒子恰好打到地球表面，其轨迹如图甲所示，由图甲可得????????????+????????????－r1＝R，解得r1＝R，由洛伦兹力提供向心力，可得qvB＝m????????????????，解得地磁场的磁感应强度大小为B＝????????????????????＝????????????????，A错误；
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打在地面时速度方向指向O的粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示，设打在地面的点为K，轨迹的圆心为O2，由图乙及A中分析可知三角形OKO2是等腰直角三角形，O2O＝????R，三角形PO2O为直角三角形，则粒子运动轨迹对应的圆心角为45°，粒子在磁场中的运动时间为t＝????????°????????????°×????????????????＝????????????????，B正确；
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从M点射入的粒子在磁场中的轨迹如图丙所示，O3为轨迹的圆心，由几何关系可知，三角形COO3为等腰三角形，则有OO3＝(????－1)R，从M点射入的粒子在磁场中速度偏转角的余弦值为cos ∠MO3C＝－cos ∠CO3O＝?????????????，C正确；粒子速度增大，可假设为无限大，则运动轨迹半径无限大，可认为粒子做直线运动，则打在地表的粒子数与总粒子数
的比值为????????，根据以上分析可知，粒子速度为v时能打在
地表的粒子数为总粒子数的????????，?????????
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9．(多选)磁镜是运用磁场对运动带电粒子的作用规律，把带电粒子约束在有限的空间区域而不会散逸的一种装置。图示为某磁镜装置中磁场的大致分布(与地球周围磁场分布相似)。假定一带正电的粒子(不计重力)从左端附近以垂直轴线斜向纸内的速度进入该磁场，部分运动轨迹为图示的螺旋线，该粒子被约束在左右两端间来回运动，就像光在两个镜子之间来回“反射”一样，不能逃脱。a、b、c三点是轴线所在的一平面与粒子轨迹的三个交点。下列说法正确的是(　　)
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A．粒子由a到b所需的时间小于由b到c所需的时间
B．从a到c粒子轨迹半径增大的原因是垂直轴线方向的速度增大
C．a、b两点轴线方向上的距离小于b、c两点的
D．地球周围磁场中粒子可以在东西两端间来回运动
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AC　[从a到c，将粒子运动分解成垂直轴线方向和平行轴线方向的两个分运动，粒子向右运动过程中，磁感应强度逐渐减小，粒子的运动周期逐渐增大，转过相同角度所需的时间越来越长，同时洛伦兹力有沿平行轴线方向的分力，分力的冲量使平行轴线方向的速度增大，故从a到c粒子轨迹半径增大是因为磁感应强度减小，不是垂直轴线方向的速度增大，B错误；从a到b和从b到c，粒子均绕轴线转动一周，根据以上分析可知粒子由a到b所需的时间小于由b到c所需的时间，A正确；粒子从b到c所用时间长，平行轴线方向的速度大，则沿轴线方向经过的位移比较大，C正确；地球周围的磁场大约是南北方向，结合题述可知，粒子不在东西两端间来回运动，D错误。]
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10．(2024·海南校联考一模)如图所示，间距为L＝???? m的平行金属导轨倾斜放置，与水平面的夹角θ＝30°。一质量为m＝0.01 kg的金属棒垂直导轨放置，并与定值电阻R(大小未知)、电动势E＝2 V(内阻不计)的电源、开关S构成闭合回路，整个装置处在竖直向上、磁感应强度大小为B＝0.35 T的匀强磁场中。闭合开关S，金属棒恰好不会沿导轨向上滑动。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝????????，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨
和金属棒的电阻均不计，重力加速度g取10 m/s2，金属棒
始终与导轨垂直且接触良好。
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(1)求电阻R的阻值；
(2)若把电源更换为电动势为E′＝4.0 V、内阻r＝1 Ω的电源，闭合开关S时，求金属棒的瞬时加速度大小。
[解析]　(1)金属棒恰好不向上滑动，所受的摩擦力方向沿导轨向下，对金属棒受力分析如图所示，
由平衡条件可知mg sin θ＋μ(mg cos θ＋F安sin θ)
－F安cos θ＝0，又F安＝B????????L，联立解得R＝9 Ω。
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(2)若把电源更换为电动势为4 V、内阻为1 Ω的电源，闭合开关S的瞬间，金属棒所受的安培力大小F′安＝B????′????+????L>F安，根据牛顿第二定律有 F′安cos θ－mg sin θ－μ(mg cos θ＋F′安sin θ)＝ma，解得a＝
7 m/s2。
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[答案]　(1)9 Ω　(2)7 m/s2
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11．如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy中，y轴竖直，A、B两点的坐标分别为(－L，L)与(L，0)。y>0的区域内有沿x轴负方向的匀强电场；第二象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场(图中未画出)；第四象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场和竖直方向的匀强电场(图中均未画出)。一质量为m、电荷量为q的带正电小球(视为质点)从A点以大小
v0＝????????(g为重力加速度大小)的速度沿AO做直线运
动，通过O点(第一次通过x轴)后在第四象限内做匀
速圆周运动，恰好通过B点(第二次通过x轴)。求：
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题号
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(1)第二象限内磁场的磁感应强度大小B1；
(2)小球从O点到第四次通过x轴的时间t；
(3)小球第五次通过x轴时的位置坐标以及第四次通过x轴后在第一象限内运动过程中到x轴的最大距离ym。
题号
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[解析]　(1)小球沿AO方向做直线运动，则必为匀速直线运动，则受力平衡，小球受向下的重力，水平向左的静电力和垂直于AO斜向右上方的洛伦兹力，如图所示，则B1qv0sin 45°＝mg，qE1＝mg
解得B1＝????????????????????
E1＝????????????。
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(2)小球从开始运动到第一次经过x轴的时间t1＝????????????????＝????????????
小球进入第四象限后做匀速圆周运动，则E2q＝mg
周期T＝????????????????????，L＝2R sin 45°
则第二次经过x轴的时间
t2＝????????＝????????????????????
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题号
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小球射入第一象限时速度与x轴正向成45°，水平方向沿x轴正方向做匀减速运动，加速度为ax＝????????????????＝g，
竖直方向做匀减速运动，加速度为ay＝g
合加速度大小为a＝????g
方向与x轴负向成45°角，则再次(第3次)经过x轴的时间t3＝2????????????????＝????????????
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返回时仍经过同一点，此时速度仍为v0＝????????
方向与x轴负向成45°角，进入第四象限后仍做匀速圆周运动，运动时间为t4＝3t2＝????????????????????????
小球从O点到第四次通过x轴的时间t＝t2＋t3＋t4＝(1＋π)????????????。
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(3)小球第四次经过x轴的位置坐标为x＝2L
速度方向与x轴负向成45°角，正好与合加速度方向????g垂直，则第五次经过x轴时沿x轴负向的距离为Δx，则Δx cos 45°＝v0t′，Δx sin 45°＝????????×????????????′????
解得Δx＝2L
则第五次经过x轴时小球恰好到达原点，即位置坐标为(0，0)；
第四次通过x轴后在第一象限内运动过程中到x轴的最大距离ym＝????????????????????????????°????????????＝????????。
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[答案]　(1)????????????????????　(2)(1＋π)????????????　(3)(0，0)　????????
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