资源简介

第一阶段　突破核心　升华思维
专题一 力与运动
第3讲　力与曲线运动
【备考指南】　
1．高考对本讲的命题更加灵活，综合性较强。曲线运动的考查既涉及平面内的曲线运动，也注重三维空间内的曲线运动，且对抛体运动的分解也不再限于水平方向和竖直方向，而是更加灵活多变。万有引力与航天主要考查行星运动模型，更注重用物理知识解决实际问题。
2．复习备考过程，要注意三维空间中的抛体运动、圆周运动专题，消除思维定式，提升思维能力；万有引力与航天要关注科技前沿知识的储备，加强椭圆运动模型的训练。
突破点一　抛体运动
01
突破点二　圆周运动
02
随堂练 临考预测 名师押题
04
专题限时集训(三)　力与曲线运动
05
突破点三　万有引力与宇宙航行
03
突破点一　抛体运动
　　　　　　
1．抛体运动的处理方法
解决抛体运动问题的核心思想是“化曲为直”，分别研究物体在两个不同方向的分运动，再根据牛顿运动定律和功能关系列式解题，同时又要注意合运动与分运动的等时性。
2．建好两个模型
(1)常规的平抛运动及类平抛运动模型。
(2)平抛运动与常见的两种障碍物斜面和曲面的模型。
[典例1]　(平抛运动规律的应用)(2024·1月九省联考贵州卷)无人机在一斜坡上方沿水平方向向右做匀速直线运动，飞行过程中先后释放甲、乙两个小球，两小球释放的初始位置如图所示。已知两小球均落在斜坡上，不计空气阻力，比较两小球分别从释放到落在斜坡上的过程，下列说法正确的是(　　)
A．乙球的位移大
B．乙球下落的时间长
C．乙球落在斜坡上的速度大
D．乙球落在斜坡上的速度与竖直方向的夹角大
√
D　[根据题意可知，甲、乙两球均做平抛运动，但由于甲球先释放，乙球后释放，且两球均落在斜坡上，则可知乙球在斜坡上的落点比甲球在斜坡上的落点高，而平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，在水平方向的运动为匀速直线运动，由于乙球的落点高，则乙球在竖直方向的位移小，根据h＝????????gt2，x＝vt，可得t＝????????????，由此可知乙球下落的时间小于甲球下落的时间，即t甲>t乙，乙球在水平方向的位移小于甲球在水平方向的位移，而甲、乙两球的位移s＝????????+????????，由于h甲>h乙，x甲>
x乙，因此可知s甲>s乙，即乙球的位移小于甲球的位移，故A、B错误；
?
竖直方向的分速度vy＝gt，由于甲球下落时间大于乙球下落时间，小球落在斜坡上时的速度v落＝????????????+????????，由此可知，乙球落在斜坡上的速度小于甲球落在斜坡上时的速度，故C错误；设小球落在斜坡上时速度方向与竖直方向的夹角为θ，则小球落在斜坡上时速度与竖直方向夹角的正切值tan θ＝????????????，由于vy甲>vy乙，因此tan θ甲?
[典例2]　(多物体的平抛运动)(2024·云南师范大学实验中学9月开学考)如图所示，从高H＝5 m处的A点先后水平抛出小球1和小球2。小球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上的竖直挡板落在水平地面上的E点，碰撞前后的水平分速度不变、竖直分速度等大反向。小球2的初速度v0＝3 m/s 也恰好越过挡板落在E点，忽略空气阻力，取重力加速度g＝
10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．小球2的水平射程为5 m
B．小球1做平抛运动的初速度为1.5 m/s
C．抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差h＝???????? m
D．抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差h＝1.25 m
?
√
D　[根据H＝????????gt2，x＝v0t知，小球2的水平射程为x＝3 m，A错误；两球均落到E点，结合题图，根据对称性可知，小球1和小球2运动总时间之比为t1∶t2＝3∶1，小球1落至C点的水平位移为x1＝????????＝1 m，小球1平抛运动的初速度为v1＝????????????，得v1＝1 m/s，B错误；小球2运动至挡板顶端D点与小球1从
挡板顶端D运动至最高点的时间相同，则对应的水平方向位移之和为v0????????????＋v1????????????＝????????????＝2 m，得抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差为h＝1.25 m，C错误，D正确。]
?
【教师备选资源】
(2024·河南开封模拟)如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高h＝5 m，内径D＝1.6 m，现有一刚性小球(视为质点)从容器上端内边缘沿直径方向以v0的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞(碰撞时间不计)，
则小球的初速度v0可能是(　　)
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
√
B　[根据平抛运动的规律可知，竖直方向有h＝????????gt2，解得t＝????????????＝
1 s，而根据题意，水平方向有????????+????????D＝v0t(n＝0，1，2，…)，解得v0＝????????+????????????????，因此v0的可能值为0.8 m/s、2.4 m/s、4.0 m/s、
5.6 m/s、7.2 m/s、8.8 m/s…，故选B。]
?
方法技巧　平抛运动的两大推论及其应用
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示，B是OC的中点。利用该推论可以快速确定速度的方向。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任
一时刻任一位置处，设其速度方向与
水平方向的夹角为θ，位移与水平方向
的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙所示。在斜面与平抛运动结合的问题中经常利用位移的偏向角推导速度的偏向角。
[典例3]　(斜抛运动)(多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．运动时间为2???? s
B．落地速度方向与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
?
√
√
BD　[对重物从P运动到Q的过程，水平方向上有x＝v0t cos 30°，竖直方向上有y＝?????????????????????????????????°+????????????????????，由几何关系有????????＝tan 30°，联立解得重物的运动时间t＝4 s，A错误；结合A项分析可知，重物落地时的水平分速度vx＝v0cos 30°，竖直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，则tan θ＝????????????????＝????，所以重物的落地速度方向与水平方向夹角为60°，B正确；对重物从P运动到Q的过程，垂直于PQ连线方向有2ghm cos 30°
＝(v0 sin 60°)2，解得重物离PQ连线的最远距离hm＝10???? m，C错误；结合B项分析，竖直方向上有2gym＝????????????，联立解得重物轨迹最高点与落点的高度差ym＝45 m，D正确。]
?
突破点二　圆周运动
　　　　　　
考向1　水平面内的圆周运动
1．水平面内圆周运动的分析思路
2．水平面内的圆周运动的“临界”分析
(1)绳的临界：张力FT＝0。
(2)接触面滑动临界：F＝fm。
(3)接触面分离临界：FN＝0。
[典例4]　(水平面内的圆周运动的临界问题)(多选)(2024·黑龙江哈尔滨9月质检)如图所示，能绕O点在水平面内转动的圆盘上，放置两个可视为质点
且质量均为m＝2 kg的物块A、B，它们与圆盘间的动摩擦因数均为μ＝????????，
已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现物块间连接一自然长度为l0＝5 cm、 劲度系数为k＝100 N/m的轻质弹性橡皮筋，橡皮筋的形变都在弹性限度内且遵从胡克定律；两物块A、B和O点恰好连成一边长为
10 cm的正三角形，现使圆盘带动两个物块以不同的角
速度做匀速圆周运动，g取10 m/s2，则(　　)
?
A．当圆盘的角速度为???????????? rad/s时，圆盘对物块A的摩擦力最小
B．当圆盘的角速度为???????????? rad/s时，圆盘对物块B的摩擦力大小等于橡皮筋弹力大小
C．当圆盘的角速度为5 rad/s时，物块B受到的合力大小为5 N
D．物块A、B刚要滑动时，圆盘的角速度为 5???? rad/s
?
√
√
√
ACD　[A、B两物块随圆盘在水平面内做圆周运动，做匀速圆周运动的向心力由静摩擦力与橡皮筋的弹力的合力提供，将静摩擦力和弹力沿半径方向和垂直于半径方向正交分解，由垂直于半径方向合力为零，得圆盘对物块A的摩擦力最小时，方向沿垂直于半径方向，此时k(2l0－l0)cos 60°＝mω2·2l0，解得ω＝???????????? rad/s，故A正确；如果圆盘对物块B的摩擦力的大小等于橡皮筋弹力的大小，由垂直于半径方向合力为零得圆盘对物块B的摩擦力的方向与半径的夹角也为60°，此时k(2l0－l0)＝mω2·2l0，解得ω＝5 rad/s，故B错误；当圆盘的角速度为5 rad/s时，由F合＝mrω2得F合＝5 N，故C正确；fmax＝μmg＝????????×2×10 N＝5???? N，由垂直于半径方向合力为零，得圆盘对物块B的摩擦力的方向与半径的夹角为30°，即摩擦力与弹力垂直，此时?????????????????????????????????????????????°＝2mω2l0，解得ω＝5???? rad/s，故D正确。]
?
【教师备选资源】(多选)(2024·10月山东济南联考)如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细绳相连，放置在水平圆盘上。当圆盘绕中心轴转动时，a、b始终相对圆盘静止。已知a、b到圆心的距离之比为1∶2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列关于a、b所受的摩擦力f大小随圆盘角速度的平方ω2的变化关系图像可能正确的是(　　)
A　　 　　B　　 　　C　　 　　D
√
√
BC　[设rb＝2ra＝2r，当绳子上没有拉力时，静摩擦力提供向心力，对a、b有fa＝mω2r，fb＝mω2·2r，最大静摩擦力为fm＝μmg，可知fb先达到最大静摩擦力，绳中开始有拉力时ω0＝????????????????，可知当ω?
????????????????r，T1＋μmg＝????????????????·2r，解得ω1＝????????????，当????????????????≤ω≤????????????时，对物块a、b根据牛顿第二定律有T＋fa＝mω2r，T＋μmg＝mω2·2r，可得fa＝μmg－mω2r，可知当????????????????≤ω≤????????????，随着角速度的增大，物块a的静摩擦力逐渐减小，当ω>????????????时，对物块a、b根据牛顿第二定律有T－fa＝mω2r，T＋μmg＝mω2·2r，可得fa＝mω2r－μmg，可知当ω>????????????，随着角速度的增大，绳子上拉力逐渐增大，物块a的静摩擦力逐渐增大。故选BC。]
?
考向2　竖直面内的圆圆运动
1．绳球模型：小球能通过最高点的条件是v≥????????。
?
2．杆球模型：小球能通过最高点的条件是v≥0。
3．“两点”“一联”解题两关键
[典例5]　(竖直面内圆周运动的图像问题)(2023·3月北京昌平区模拟)如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v；O轴处有力传感器，可以测量小球通过最高点时O轴受到杆的作用力F，若竖直向下为力的正方向，使小球在最低点时具有不同的初速度，得到F-v2图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，则(　　)
A．O轴到球心间的距离为0.5 m
B．小球的质量为3 kg
C．小球恰好通过最高点时的速度大小为???? m/s
D．小球在最高点的速度大小为???????? m/s时，杆受到球的作用力竖直向下
?
√
A　[小球通过最高点时，O轴受到杆的作用力F与小球受到杆的作用力F′等大反向，即F＝－F′，小球过最高点时，根据牛顿第二定律有mg＋F′＝m????????????， 得F′＝????????v2－mg，则F＝－????????v2＋mg，则题图乙中图线的斜率为－????????＝－???????? kg/m，当v2＝0时，可得mg＝3 N，解得m＝0.3 kg，R＝
0.5 m，故A正确，B错误；当小球通过最高点的速度为零时，球恰好通过最高点，故C错误；小球过最高点的速度大小为???????? m/s时，根据牛顿第二定律有mg＋F′＝m????????????，可得F′＝6 N，方向竖直向下，即杆对球的作用力方向向下，所以杆受到球的作用力竖直向上，故D错误。]
?
[典例6]　(竖直面内圆周运动的临界问题)(2023·山东烟台三模)有一种被称为“魔力陀螺”的玩具如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动模型，如图乙所示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性吸引力始终指向圆心O且大小恒为F。当质点以速率v＝????????通过A点时，对轨道的压力为其重力的7倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为m，
重力加速度为g，则(　　)
?
A．强磁性吸引力的大小F＝8mg
B．质点在A点对轨道的压力小于在B点对轨道的压力
C．若强磁性吸引力大小为2F，为确保质点做完整的圆周运动，则质点通过B点的最大速率为????????????????
D．若要保证质点能做完整的圆周运动，则质点对A、B两点的压力差随每次过A点的速度增大而增大
?
√
C　[由牛顿第三定律知，在A点时轨道对质点的弹力为其重力的7倍，由F＋mg－7mg＝m????????????，可知强磁性吸引力的大小为F＝7mg，故A错误；质点做圆周运动，在A点和B点时分别有F＋mg－NA＝m????????????，F－mg－NB＝????????????????????，质点由A运动到B的过程中，由机械能守恒定律知????????mv2＋mg·2R＝????????????????????????，联立可得NA－NB＝6mg，结合牛顿第三定律可知质点在A点对轨道的压力大于在B点对轨道的压力，且该差值为定值，故B、D错误；若强磁性吸引力大小为2F，为确保质点做完整的圆周运动，质点在B点的速度最大为vBm时，轨道与质点间无弹力，此时有2F－mg＝????????????????????????，可解得vBm＝????????????????，故C正确。]
?
【教师备选资源】
(2023·湖北卷)如图所示为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道????????????在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道????????????内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为????????????，重力加速度大小为g，
忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
?
(1)小物块到达D点的速度大小；
(2)B和D两点的高度差；
(3)小物块在A点的初速度大小。
[解析]　(1)小物块恰好运动到光滑圆弧轨道????????????的最高点时，有mg＝????????????????????
解得小物块到达D点的速度大小vD＝????????。
?
(2)小物块由C到D的过程，由动能定理有
－mgR(1＋cos 60°)＝?????????????????????????????????????????????????
小物块由B到C做平抛运动，由速度的分解可知，
vB＝vC cos 60°
设B和D两点的高度差为h，小物块由B到D的过程，由动能定理有
mgh＝?????????????????????????????????????????????????
代入数据解得vB＝????????，h＝0。
?
(3)小物块由A到B的过程，由动能定理有
－μmg·π·2R＝?????????????????????????????????????????????????
解得小物块在A点的初速度大小vA＝????????????。
?
[答案]　(1)????????　(2)0　(3)????????????
?
突破点三　万有引力与宇宙航行
　　　　　　
1．分析天体运动的“两种模型”和“两条思路”
(1)两种模型：“跟地转”模型，卫星随中心天体同步转动(质点和中心天体角速度相同)；“绕地飞”模型是卫星(或自然天体)绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G ????????????????＝ma＝m ????????????＝mω2·r＝m ????????????????????·r。
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即????????????????????＝mg或GM＝gR2(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)。
?
2．卫星的发射与回收
(1)点火加速，v突然增大，G ???????????????? (2)点火减速，v突然减小，G?????????????????>m?????????????，卫星将做近心运动。
(3)同一卫星在不同圆轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
?
3．“双星及多星模型”三点提醒
(1)双星(多星)模型的圆心是整个多星模型中所有星体的质心，多个星体的运动轨迹构成了同心圆。
(2)各个星体的角速度、周期都是相同的。
(3)各个星体做匀速圆周运动的向心力由合外力提供。
[典例7]　(天体运动参量的描述)(2024·苏州实验中学12月调研)科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯舱沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换。假设Q物体乘坐太空电梯舱到达图示的a位置(与运行的卫星P同高度)并停在此处。下列说法正确的是(　　)
A．Q物体与卫星P的速度相同
B．Q物体与卫星P的周期相同
C．Q物体处于完全失重状态
D．Q物体的向心加速度小于卫星P的向心加速度
√
D　[Q物体停在太空电梯中时与地球同步卫星的角速度相同，根据万有引力提供向心力有G????????????????＝mrω2，解得ω＝????????????????，可知卫星P的角速度大于地球同步卫星的角速度，即卫星P的角速度大于此时Q物体的角速度，P、Q在同一高度做圆周运动，由v＝rω和T＝????????????可知二者的速度和周期不同；根据公式a＝rω2，可得Q物体的向心加速度小于卫星P的向心加速度，故选项A、B错误，D正确；对Q物体由牛顿第二定律有G ????????????????－N＝mrω2，根据前面分析可知Q物体的角速度小于处于同一高度的卫星的角速度，故此时万有引力与电梯对其支持力的合力提供向心力，此时支持力不为零，Q物体处于失重状态，但不是完全失重状态，故选项C错误。]
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【教师备选资源】
(2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的????倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是(　　)
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
?
√
B　[由于恒星自转，不同纬度处重力加速度不同，A错误；根据两极处万有引力等于重力，即mg＝G?????????????????得g＝????????????????，已知恒星坍缩后质量不变、体积减小，则R减小，g变大，B正确；根据G ????????????????＝????????????????????，得第一宇宙速度v1＝????????????，恒星坍缩后R变小，第一宇宙速度v1变大，C错误；由题意得逃逸速度v2＝????v1＝????????????????，中子星比白矮星的密度和质量大，v2＝????????????????????????????????????????，故中子星逃逸速度大，D错误。]
?
[典例8]　(天体密度的计算)(2024·1月九省联考安徽卷)如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近(可视为相切)，卫星1和卫星2轨道的远地点到星球表面的最近距离分别为h1、h2，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为gc。则星球的平均密度为(　　)
A．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 　　B．??????????????????????????????????????????????????????????????????????
C．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? D．??????????????????????????????????????????????????????????????????????
?
√
A　[卫星1、卫星2轨道的半长轴分别为a1＝????????+????????????，a2＝????????+????????????，由开普勒第三定律得????????????????＝????????????????????????＝k，整理得R＝??????????????????????????????????????????????????。星球表面的重力加速度为gc，根据万有引力提供重力得G????????????????＝mgc，星球质量的表达式为M＝????????????ρR3，联立得ρ＝????????????????????????????＝??????????????????????????????????????????????????????????????????????，故选A。]
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[典例9]　(空间站的变轨)(2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
√
A　[根据a＝????????????????可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。]
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【教师备选资源】
(2023·湖北卷)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　)
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
√
B　[由题意得火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，
根据开普勒第三定律得????火????地＝????火????地????＝????????????，A错误；当火星与地球相距最远
时，火星和地球分居太阳两侧，两者的速度方向相反，故地球和火星相对速度最大，B正确；忽略天体自转产生的影响，根据物体在天体表面所受的重力等于万有引力得g＝????????????????，根据题目中所给条件无法计算出比例关系，C错误；设经过时间t会再次出现“火星冲日”，地球比火星多运动一周，则????????地?????????火＝
1，所以t＝?????????????????????????年>1年，D错误。]
?
1．(热点情境·生产劳动)如图甲所示为东汉杜诗发明的“杜诗水排”，图乙是其水排装置图，当水流带动下卧轮转动时，通过转轴带动上卧轮转动，最后依靠弦索带动小轮完成后续的动力传动，a、b、c分别位于下卧轮、上卧轮和小轮的边缘，下列说法正确的是(　　)
随堂练 临考预测 名师押题
A．c点的加速度等于b点的加速度
B．a点的线速度大于b点的线速度
C．弦索对上卧轮的摩擦力方向与上卧轮转动方向相同
D．河水的速度一定等于下卧轮上被水冲击点的线速度
√
B　[由题图乙知c点与b点位于轮的边缘，且通过弦索传动，所以二
者的线速度相等，根据a＝????????????可知c点的加速度大于b点的加速度，故
A错误；a点与b点在同一转轴上，二者的角速度相等，由于a点做圆周运动的半径大于b点做圆周运动的半径，根据v＝ωr，可知a点的线速度大于b点的线速度，故B正确；弦索对上卧轮的摩擦力是阻力，方向与上卧轮转动方向相反，故C错误；由于水一定对下卧轮有冲击力，所以河水的速度一定大于下卧轮上被水冲击点的线速度，故D错误。]
?
2．(热点情境·航天科技)2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。10月30日11时00分，神舟十九号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接。中国空间站轨道高度h为400～450千米，倾角(轨道平面与赤道平面夹角)为42～43°，绕地球运行的周期T1约为1.5 h，向心加速度为a1，线速度为v1，地球自转周期T2为 24 h，赤道上A点有一静止的物体，随地球自转的加速度为a2，线速度为v2，地球的半径为R，下列说法正确的是(　　)
A．某时刻中国空间站出现在A点正上方，下一次出现在A点正上方需要12 h
B．a1>a2
C．v1 D．由开普勒第三定律可得????????????????+????????＝????????????????????
?
√
B　[空间站的轨道平面与赤道平面间的夹角为42～43°，因此轨道与赤道平面的交点有两个，A点正上方和A点关于地心对称的B点正上方，空间站再次出现在A点正上方时地球应自转180°或360°，当地球自转180°时所需要的时间为12 h，为T1的8倍，此时空间站在B点的正上方；当地球自转360°时，空间站再次出现在A点正上方的时间应为24 h，A错误；空间站的向心加速度为a1＝????????????????????????(R＋h)，物体随地球自转的向心加速度为a2＝????????????????????????R，则a1>a2，B正确；v1＝????????????+????????????，v2＝????????????????????，则v1>v2，C错误；静止在赤道上的物体不是卫星，不适用开普勒第三定律，D错误。]
?
3．(高考新动向·曲线运动新考法)(2024·浙江温州3月模拟)如图甲为滑雪比赛U形场地，在某次比赛中运动员以速度v0从PQ上的O点滑出滑道，图乙为简化示意图，设滑道边缘线PQ的倾角为θ，运动员滑出时速度方向与PQ的夹角为α，腾空后落在PQ上的A点。已知α＋θ＝90°，重力加速度为g，运动员可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．O、A两点间的距离为????????????????????????????????????
B．运动员腾空过程中离PQ的最大距离为????????????????????????????????????????
C．若仅减小夹角α，则运动员腾空时间可能保持不变
D．若仅增大v0的大小，则运动员再落到PQ上时的速度方向改变
?
√
A　[可将运动员的初速度v0和加速度g分别在沿斜面方向和垂直斜面方向正交分解，运动员的斜抛运动可视为这两个方向上匀变速直线运动的合运动，运动员在垂直斜面方向运动时间t＝????????????????????????????????????????????????＝????????????????，运动员腾空中离PQ的最大距离为H＝????????????????????????????????????????????????????＝????????????????????????????????????，O、A两点间的距离为l＝v0sin θ·t＋????????gt2sin θ＝????????????????????????????????????，选项A正确，B错误；运动员腾空时间t＝????????????????????????????????????????????????，若仅减小夹角α，则运动员腾空时间减小，选项C错误；运动员再落在PQ上时，垂直斜面方向的速度v1＝v0cos θ，沿斜面向下的速度v2＝v0sin θ＋g sin θ·t＝3v0sin θ，则合速度与斜面的夹角β满足tan β＝????????????????＝????????????????????????，与初速度无关，选项D错误。]
?
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
专题限时集训(三)　力与曲线运动
1．(2024·1月九省联考安徽卷)某同学在水平匀速直线行驶的实验车上，利用实验装置竖直向上提起小球，从某时刻开始计时，坐在实验车上的人观测小球运动的情况，作出速度的平方(v2)与提起高度(y)的关系图像如图所示。则地面上静止的观察者看到小球的运动轨迹可能是(　　)
√
13
A　　　　B　　　　C　　　　　D
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
C　[由速度与位移关系公式?????????????????????＝2ay结合题图可知，开始时小球在竖直方向上做匀速运动，之后做匀加速直线运动，加速度竖直向上。结合小球在水平方向一直做匀速直线运动可知，地面上静止的观察者看到的运动轨迹是先做匀速直线运动，后做类斜抛运动。故选C。]
?
13
题号
1
3
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9
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11
12
2．(2024·1月九省联考吉林、黑龙江卷)某“失重”餐厅的传菜装置如图所示，运送菜品的小车沿等螺距轨道向下匀速率运动，该轨道各处弯曲程度相同，在此过程中，小车(　　)
A．机械能保持不变
B．动量保持不变
C．处于失重状态
D．所受合力不为0
√
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
D　[小车沿等螺距轨道向下匀速率运动，速度大小不变，动能不变，小车高度减小，即重力势能减小，可知，小车的机械能减小，故A错误；小车做螺旋运动，速度大小不变，方向改变，根据动量表达式p＝mv可知，小车的动量大小不变，动量的方向发生变化，即动量发生了变化，故B错误；由于小车沿等螺距轨道向下做匀速率运动，沿轨道方向的速度大小不变，即小车沿轨道方向的合力为0，即沿轨道方向的加速度为0，又由于该轨道各处弯曲程度相同，则轨道对小车的指向轨道轴心的作用力提供圆周运动的向心力，该作用力方向沿水平方向，可知小车的加速度方向沿水平方向，小车不存在竖直方向的加速度，即小车既不处于超重状态，也不处于失重状态，故C错误；根据上述分析可知，小车沿轨道方向的合力为0，轨道对小车的指向轨道轴心的作用力提供圆周运动的向心力，即小车的合力不为零，合力方向总指向轨道轴心，故D正确。故选D。]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
3．如图所示，一细木棍斜靠在地面与竖直墙壁之间，木棍与水平面之间的夹角为45°，A、B为木棍的两个端点，A点到地面的距离为1 m。重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计。现一跳蚤从竖直墙上距地面0.55 m的C点以水平速度v0跳出，要到达细木棍上，v0最小为(　　)
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
√
13
题号
1
3
5
2
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11
12
C　[跳蚤做平抛运动，若要想以最小水平速度跳到木棍上，则落到木棍上时应恰好满足速度方向与水平方向成45°角，即木棍恰好与跳蚤运动轨迹相切，如图所示。
设下降高度为h，则h＝????????gt2
竖直方向速度vy＝gt＝v0
由几何关系可得x＝h＋(1－0.55) m
由水平方向的运动规律可得x＝v0t
解得v0＝3 m/s，故选C。]
?
13
题号
1
3
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12
4．(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的????????，月球半径约为地球半径的????????。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　)
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的????????倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的????????倍
?
√
13
√
题号
1
3
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2
4
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11
12
BD　[地球上的第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力定律知????????????????????＝m????????????，结合mg＝????????????????????得第一宇宙速度v＝????????，又g月＝????????g地，R月＝????????R地，可知返回舱相对月球的速度小于地球上的第一宇宙速度，选项A错误，B正确；根据万有引力定律知，
在近地(月)轨道上有????????????????????＝m????????????????????R，又GM＝gR2，得T＝????????????????????，可
得????月????地＝????月????地·????地????月＝????????，可知选项C错误，D正确。]
?
13
题号
1
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12
5．(2024·江西卷)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是(　　)
A．????????????????????????＝????????????????，????????????????＝???????????????????????? B．????????????????????????＝????????????????，????????????????＝????????????????????????
C．????????????????????????＝????????????????，????????????????＝???????????????????????? D．????????????????????????＝????????????????，????????????????＝????????????????????????
?
13
√
题号
1
3
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11
12
A　[由????????????????????＝m????????????＝m????????????????????r，得v＝????????????，T＝????????????????????????????，又Ek＝????????mv2，
所以????????????????????????＝????????????????，????????????????＝????????????????????????，故A正确。]
?
13
题号
1
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12
6．如图所示为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴一重物，当车轮高速旋转时，重物由于离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，从而接通电路，LED灯就会发光。下列说法正确的是(　　)
A．气嘴灯做圆周运动时，重物受到重力、弹簧弹力和向心力
B．气嘴灯运动至最高点时处于超重状态
C．以相同转速匀速行驶时，重物质量越小，在最低点时LED灯越容易发光
D．以相同转速匀速行驶时，若LED灯转到最
高点时能发光，则在最低点时也一定能发光
√
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题号
1
3
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D　[根据题意可知，气嘴灯做圆周运动时，重物受重力和弹簧弹力，其合力提供向心力，故A错误；气嘴灯运动至最高点时，合力指向圆心，具有向下的加速度，处于失重状态，故B错误；在最低点时，由牛顿第二定律有F－mg＝mω2r，解得F＝mg＋mω2r，以相同转速匀速行驶时，重物质量越小，在最低点时，弹簧的形变量越小，弹簧弹力越小，M和N越不易接触，导致LED灯越不容易发光，故C错误；在最高点时，由牛顿第二定律有F＋mg＝mω2r，解得F＝mω2r－mg，以相同转速匀速行驶时，在最高点时弹簧的弹力小于最低点时弹簧的弹力，若LED灯转到最高点时能发光，则在最低点时也一定能发光，故D正确。]
13
题号
1
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12
7．(多选)如图所示，MN为半径为R、固定于竖直平面内的光滑????????圆管轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪。现发射质量为m的小钢珠，小钢珠从M点离开弹簧枪，从N点飞出落到OP上距O点2R的Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，则该次发射(　　)
A．小钢珠在M点时，弹簧处于原长状态
B．小钢珠经过N点时的速度大小为????????????
C．小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小为2mg
D．小钢珠落到Q点时的速度方向与OP间的夹角为45°
?
√
13
√
√
题号
1
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12
ABD　[小钢珠从M点离开弹簧枪，说明小钢珠在M点时，弹簧处于原长状态，A正确；小钢珠离开N点后做平抛运动，水平位移2R＝vNt，竖直方向R＝????????gt2，解得vN＝????????????，故B正确；小钢珠到达N点时，由牛顿第二定律可得F＋mg＝????????????????????，解得F＝mg，方向竖直向下，由牛顿第三定律可知，小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小为mg，故C错误；小钢珠落到Q点时的竖直方向的速度为vy＝gt＝g????????????＝????????????＝vN，则速度与水平方向夹角满足tan θ＝????????????????＝1，则小钢珠落到Q点时的速度方向与OP间的夹角为45°，故D正确。]
?
13
题号
1
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8．(2024·安徽滁州模拟)自由式滑雪大跳台比赛中某段过程简化为如图可视为质点的小球的运动，小球从倾角为α＝30°的斜面顶端O点以速度v0飞出，已知v0＝20 m/s，且与斜面的夹角为θ＝60°。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2。求：
(1)小球从O点运动到A点所用的时间t；
(2)小球离斜面最远的距离L；
(3)O、C两点间距离x。
13
题号
1
3
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11
12
[解析]　(1)小球做斜上抛运动，如图所示，垂直斜面方向分解速度和加速度，v1＝v0sin θ，a1＝g cos α，到垂直斜面方向最高点的时间t＝????????????????，得t＝2 s。
(2)垂直斜面方向有L＝????????????????????????，代入数据得
L＝10???? m。
?
13
题号
1
3
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9
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11
12
(3)由垂直斜面方向运动的对称性可得小球从O到A与A到B所用时间相等。平行斜面方向xOB＝v2·2t＋????????a2(2t)2，其中v2＝v0cos θ，a2＝g sin α
小球在水平方向做匀速直线运动，C为OB中点，则x＝????????xOB，代入数据解得x＝40 m。
?
13
[答案]　(1)2 s　(2)10???? m　(3)40 m
?
题号
1
3
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11
12
9．(多选)(2024·广东卷)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的????????????和????????。地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有(　　)
A．该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B．该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
?
√
13
√
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
10
11
12
AC　[在星球表面，根据G????????????????＝mg可得g＝????????????????，又行星的质量和半径分别为地球的????????????和????????，地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2，可得该行星表面的重力加速度大小g′＝4 m/s2，故A正确；在星球表面上空，根据万有引力提供向心力有G????????????????＝m????????????， 可得星球的第一宇宙速度v＝????????????，行星的质量和半径分别为地球的????????????和????????，可得该行
?
13
题号
1
3
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2
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11
12
星的第一宇宙速度v行＝????????v地，地球的第一宇宙速度为 7.9 km/s，所以该行星的第一宇宙速度v行＝????????×7.9 km/s，故B错误；“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，对探测器受力分析，可知探测器与保护背罩之间的作用力F＝mg′＝4 000 N，“背罩分离”后，背罩所受的合力大小为 4 000 N，对背罩，根据牛顿第二定律得F＝m′a，解得a＝80 m/s2，故C正确；“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率P＝mg′v＝1 000×4×60 W＝240 kW，故D错误。故选AC。]
?
13
题号
1
3
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2
4
6
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11
12
10．(2024·河北石家庄二中实验学校9月学情调研)雪上项目室内训练基地利用工作起来似巨型“陀螺”的圆盘滑雪机模拟一些特定的训练环境和场景，其转速和倾角根据需要可调节。一运动员的某次训练过程简化为如图所示模型：圆盘滑雪机绕垂直于盘面的固定光滑转轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离为10 m处的运动员(保持图中滑行姿势，可看成质点)与圆盘始终保持相对静止，运动员质量为60 kg，与盘面间的动摩擦因数为 0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为15°，
g取10 m/s2，已知sin 15°≈0.260，cos 15°
≈0.966。则下列说法正确的是(　　)
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．运动员随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到两个力的作用
B．ω的最大值约为0.47 rad/s
C．ω取不同数值时，运动员在最高点受到的摩擦力一定随ω的增大而增大
D．运动员由最低点运动到最高点的过程中摩擦力对其所做的功约为3 870 J
√
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[当运动员随圆盘在倾斜面内做匀速圆周运动，在圆盘最高点时，受到重力和支持力的作用，还可能受摩擦力，故A错误；在圆盘最下方，根据μmg cos 15°－mg sin 15°＝????????????????????????r ，解得ωmax≈
0.47 rad/s，故B正确；ω取不同数值时，运动员在最高点受到的摩擦力可能大小相等，方向相反，故C错误；运动员由最低点运动到最高点的过程中，速度大小不变，动能不变，设Wf、WG分别为摩擦力做功和重力做功的大小，根据动能定理得Wf＝WG＝mg·2r sin 15°
≈3 120 J，故D错误。]
?
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
11．(多选)(2024·河南省部分重点高中高三4月大联考)如图所示，足够长光滑细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上质量为m的小球相连，细杆与竖直方向夹角为30°。弹簧原长为L，劲度系数为k。已知弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　)
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
A．当小球保持静止时，小球到O点的距离为L＋????????????????
B．当小球相对细杆静止，弹簧拉伸量为L时，杆对小球的弹力大小可能为2mg－????kL
C．当小球相对细杆静止，杆对小球弹力为0时，转轴的角速度为????????????????????????+????????????
D．转轴转速自0开始缓慢增加的过程中，细杆对小球的弹力一直增大
?
√
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
BC　[当小球静止时，弹簧弹力等于小球重力沿杆方向的分力，则有kx＝mg cos 30°，解得x＝????????????????????，小球到O点的距离d1＝L＋x＝L＋????????????????????，A错误；弹簧拉伸量为L时，竖直方向上小球合力为零，若小球所受细杆的支持力垂直细杆斜向上，则有kL cos 30°＋N sin 30°
＝mg，解得N＝2mg－????kL，若小球所受细杆的支持力垂直细杆斜向下，则有kL cos 30°＝mg＋N sin 30°，解得N＝????kL－2mg，B正确；设转轴的角速度为ω时，小球对杆的作用力为零，设此时弹
?
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
簧形变量为x′，则有kx′cos 30°＝mg，kx′sin 30°＝mω2(L＋x′)sin 30°，
解得ω＝????????????????????????+????????????，C正确；初始时细杆对小球有作用力，C选项状态下细杆对小球无作用力，所以细杆对小球作用力不会一直增大，D错误。故选BC。]
?
13
题号
1
3
5
2
4
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8
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9
10
11
12
12．一“永动机”玩具的模型如图所示，abcd是一组光滑细金属双轨，轨道间距为l＝0.8 cm，bc段水平。按下一个隐蔽开关后，把质量m＝3.6 g的钢球从软木盘中心洞口O处无初速度释放，钢球便沿轨道运动至d点并斜向上飞出，速度与水平方向成53°夹角，之后恰好落到洞口O点附近的G点，接着在洞口附近来回运动一段时间后，再次从洞口无初速落下，此后不断重复以上过程。不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 53°＝0.8。
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(1)已知钢球直径d＝1 cm，求钢球在bc段上滚动时，每条轨道对钢球的支持力F的大小；
(2)若将钢球视作质点，Gd处在同一高度，水平距离s＝60 cm，求钢球从d点飞出后能上升的最大高度h；
(3)要使钢球能“永动”，求小球每运动一圈，玩具中隐蔽的加速装置需对小球做的功W。
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解析]　(1)对钢球受力分析如图所示，钢球在bc段上滚动时，支持力与竖直方向夹角θ满足
sin θ＝ ????????????????＝????????
竖直方向根据受力平衡可得2F cos θ＝mg
联立解得F＝0.03 N。
?
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)Gd间的运动可以视为两段平抛运动，利用平抛知识可知，水平方向有
????????＝vx t
竖直方向有vy＝gt
d点速度与水平方向夹角满足tan 53°＝????????????????
又h＝????????gt2
联立解得t＝0.2 s，h＝0.2 m。
?
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
(3)d点抛出时的竖直分速度为vy＝gt＝2 m/s
d点速度为vd＝????????????????????????????°＝2.5 m/s
每次补偿的能量为W＝Ekd＝????????????????????????＝1.125×10-2 J。
?
13
[答案]　(1)0.03 N　(2)0.2 m　(3)1.125×10-2 J
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13．如图甲所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m＝0.1 kg的小物块，它与水平台阶间的动摩擦因数μ＝0.5，且与台阶边缘O点的距离s＝4 m。在台阶右侧固定了一个以坐标原点O为圆心的圆弧形挡板，现用F＝1 N的水平恒力拉动小物块，作用一段距离后撤去拉力，小物块最终从O点水平抛出并击中挡板。(g取10 m/s2)
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(1)若小物块恰能击中挡板的上边缘P点，P点的坐标为(1.6 m，0.8 m)，求其离开O点时的速度大小及刚击中P点时速度的大小和方向；
(2)为使小物块能击中挡板，求拉力F作用距离的范围；
(3)撤掉圆弧形挡板，在xOy坐标系中有挡板，其形状满足y＝6－x2，如图乙所示。改变拉力F的作用距离，求小物块击中挡板时动能的最小值(取????＝2.45)。
?
13
题号
1
3
5
2
4
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[解析]　(1)小物块从O到P做平抛运动，有xP＝v0t，yP＝????????gt2，vy＝gt，v2＝????????????+????????????
代入数据解得v0＝4 m/s，v＝4???? m/s
因为刚击中P点时水平速度与竖直速度大小相等，则速度方向与水平方向夹角为θ＝45°斜向右下。
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题号
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(2)为了击中挡板，小物块必须能运动到O点，则有Fx1－μmgs＝ΔEk＝0，解得x1＝2 m
为了击中挡板，小物块不能飞出挡板，由(1)项可知，小物块的平抛初速度不能超过4 m/s
则有Fx2－μmgs＝????????????????????????，解得x2＝2.8 m
故拉力F作用距离的范围为2 m?
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(3)设小物块击中挡板的任意点坐标为(x，y)，则有x＝v0t′，y＝????????gt′2
由动能定理得mgy＝?????????????????????????????????，
又有y＝6－x2，联立可得Ek＝y＋?????????????????????(J)
由数学知识可知，当y＝????????????时，动能最小，即y＝???????? m，Ekmin＝2.2 J。
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[答案]　(1)4 m/s　4???? m/s，方向与水平方向夹角为45°斜向右下　(2)2 m?
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