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21.4　第1课时　建立二次函数模型解决实际问题
素养目标
1.建立二次函数模型,解决几何图形面积的最值问题.
2.会用二次函数解决拱桥、隧道等抛物线形物体的相关问题.
3.体会数学建模的思想,感受数学的应用价值.
◎重点:建立二次函数模型.
【预习导学】
知识点一：图形面积问题
阅读课本本课时“例1”,回答下列问题.
1.设水面的一边长为x,则另一边长为　 　,面积可表示为S=　 　.
2.说一说:开口向下的二次函数,有最　 　值,即顶点坐标的　 　坐标.
归纳总结　解二次函数最值问题的一般步骤:
(1)设未知数,列出二次函数的表达式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
知识点二：抛物线形物体的相关问题
阅读课本本课时“例2”,回答下列问题.
(1)在“例2”中,以桥面所在的直线为x轴有什么好处 以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系有什么好处
(2)建立坐标系的过程运用了什么数学思想
　　归纳总结　用函数的思想方法解决抛物线形拱桥问题:①先建立恰当的　 　;②根据已知条件,对应二次函数上的点,求出函数　 　;③根据已知条件找到抛物线上某些特殊位置的　 　坐标,利用二次函数知识解决问题.
1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,设矩形的长为x m,则该矩形的宽为　 　m.若用S表示该矩形场地的面积,则S关于x的函数表达式为　 　,将该函数表达式配方成顶点式,得　 　.因为抛物线S的开口向下,故当x=　 　时,函数S的最大值为　 　.
2.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度OC是4 m时,水面的宽度AB为　 　.
【合作探究】
任务驱动一
1.如图1,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18米),墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长33米.
问:(1)若鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米
(2)鸡场面积可能达到200平方米吗
(3)如图2,若要在鸡场内用竹篱笆加建一道隔栏,则鸡场最大的面积可达多少平方米
任务驱动二
2.如图,有一个抛物线形的拱形立交桥,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的平面直角坐标系中,若要在离跨度中心点M的5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶,铁柱应取多长
　　方法归纳交流　解决这类题的基本思路:(1)理解题意;(2)找出问题中的两个变量,用待定系数法或根据实际意义求出　 　;(3)结合函数　 　或　 　求解;(4)注意自变量的　 　,检验结果的合理性.
1.如图,一边靠墙(墙有足够长),三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园,这个花园的最大面积是 ( )
A.16 m2 B.12 m2
C.18 m2 D.以上都不对
2.如图,这是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2 m,则水面宽度增加___________m.
如图,一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接,主悬钢索是抛物线形状,两端到桥面的距离OM与AN相等,小强骑自行车从桥的一端O沿直线匀速穿过桥面到达另一端A,当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同,那么他通过整个桥面OA共需　 　秒.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.20-x　-x2+20x
2.大　纵
知识点二
(1)这样建立x轴,则某点处的纵坐标就是该点悬索的高度;以对称轴为y轴,则二次函数表达式较简单,为y=ax2+k的形式.
(2)运用了数学建模的思想,将一个实际问题转化为可以用二次函数解决的问题.
归纳总结　①平面直角坐标系　②表达式　③横
对点自测
1.(30-x)　S=x(30-x)(02.16 m
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)设宽为x米,则x(33-2x+2)=150,解得x1=10,x2=(不合题意,舍去),
∴长为15米,宽为10米.
(2)设面积为W平方米,则W=x(33-2x+2).变形为W=-2x-2+,
∴鸡场面积的最大值为153<200,即不可能达到200平方米.
(3)设此时面积为Q平方米,宽为x米.则Q=x(33-3x+2),变形得Q=-3x-2+,∴此时鸡场面积的最大值为.
任务驱动二
2.解:由题意,知抛物线的顶点坐标为(20,16),点B(40,0),
∴可设抛物线的表达式为y=a(x-20)2+16.
∵点B(40,0)在抛物线上,∴a(40-20)2+16=0,
∴a=-,∴y=-(x-20)2+16.
∵竖立柱脚的点为(15,0)或(25,0),
∴当x=15时,y=-(15-20)2+16=15(m);
当x=25时,y=-(25-20)2+16=15(m),
∴铁柱应取15 m.
方法归纳交流　(2)函数表达式　(3)图象　性质　(4)取值范围
素养小测
1.C
2.4-4
3.46

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