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22.3　相似三角形的性质
素养目标
1.理解两个相似三角形中的对应特殊线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比.
2.理解两个相似三角形周长之比等于相似比.
3.理解两个相似三角形面积之比等于相似比的平方.
◎重点:相似三角形的性质.
【预习导学】
知识点一：相似三角形中的特殊线段
阅读课本本课时“思考”之前的内容,回答下列问题.
1.在“图22-23”中,作两个相似三角形的高,可以很容易得到两个直角三角形两个内角对应　 　,从而得到另外一组相似三角形.
2.如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,若AD,A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线,则由∠BAC=∠B'A'C'可得∠BAD=　 　,又因为∠B=　 　,所以△BAD∽△B'A'D',从而可知AD∶A'D'=　 　.若AD,A'D'分别是BC和B'C'的中线,则由=,可得=,即=,又因为∠B=　 　,所以△BAD∽△B'A'D',从而可知AD∶A'D'=　 　.
归纳总结　定理1:相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于　 　.
学法指导：两个全等的三角形,对应的高、中线、角平分线也相等.两个相似三角形,对应的高、中线、角平分线之比等于相似比.
知识点二：相似三角形的周长之比与面积之比
阅读课本本课时“思考”至“例1”前的内容,回答下面的问题.
1.如果△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,那么===　 　,由等比性质,得=　 　.
2.如果△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,AD,A'D'是对应高,那么由三角形的面积公式及定理1,可得==·=　 　.
归纳总结　定理2:相似三角形周长的比等于　 　.
定理3:相似三角形面积的比等于　 　.
1.若△ABC∽△AB'C,且面积比为4∶9,则其对应边上的高的比为 ( )
A. B. C. D.
2.已知△ABC的三边分别是5,6,7,与它相似△A'B'C'的最短边为10,则△A'B'C'的周长是　 　.
【合作探究】
任务驱动一
1.如图,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则P到AB的距离是 ( )
A. m B. m
C. m D. m
任务驱动二
2.△ABC与△A1B1C1是相似三角形,且=2,S△ABC=9,则=　 　.
任务驱动三
3.已知一个三角形的三边长分别是1,2,3,与其相似的三角形的最大边长为3,求较大三角形的周长.
方法归纳交流　利用相似三角形的性质求三角形的周长或面积,一般要知道　 　和其中一个三角形的　 　或　 　.
任务驱动四
4.如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB.
(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
1.如果两个相似三角形的面积之比为9∶4,那么这两个三角形的周长之比为 ( )
A.81∶16 B.27∶12
C.9∶4 D.3∶2
2.如图,李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,边DE与点B在同一直线上,已知直角三角形纸板中DE=16 cm,EF=12 cm,测得眼睛D离地面的高度为1.8 m,他与“步云阁”的水平距离CD为104 m,则“步云阁”的高度AB是 ( )
A.75.5 m
B.77.1 m
C.79.8 m
D.82.5 m
3.已知△ABC∽△DEF,且相似比为2∶3,则下列说法中,结论正确的是　 　.
①对应中线之比为2∶3;②对应角平分线之比为3∶2;③△ABC与△DEF的周长之比为4∶9;④△ABC与△DEF的面积之比为4∶9.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.相等
2.∠B'A'D'　∠B'　k　∠B'　k
归纳总结　相似比
知识点二
1.k　k
2.k2
归纳总结　相似比　相似比的平方
对点自测
1.C
2.36
【合作探究】
任务驱动一
1.C
任务驱动二
2.36
任务驱动三
3.解:∵边长分别是1,2,3的三角形的最大边为3,小于另一三角形的最大边3,
∴这个三角形的周长等于1+2+3=4+2,
∴它与另一三角形的相似比=3∶3=1∶,
它与另一三角形的周长的比也为1∶,
∴另一三角形的周长=(4+2)×=4+4.
方法归纳交流　相似比　周长　面积
任务驱动四
4.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD,
∴∠ABF=∠CEB,
∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB平行且等于CD,
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.
∵DE=CD,
∴=2=,=2=.
∵S△DEF=2,
∴S△CEB=18,S△ABF=8.
∵S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=16,
∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.
素养小测
1.D　2.C
3.①④

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