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第21章 二次函数与反比例函数 复习课
复习目标
1.知道二次函数的图象,知道二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值.
2.知道反比例函数的图象性质,并能熟练地运用.
3.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的表达式.
4.能够运用二次函数和反比例函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想.
◎重点:二次函数和反比例函数的图象和性质,用待定系数法求二次函数和反比例函数表达式.
【预习导学】
体系构建
请仔细阅读本章的知识网络图,并完成核心知识梳理.
核心梳理
1.二次函数的关系式有几种形式
2.二次函数与一元二次方程的关系:(1)当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有　 　个交点,对应的一元二次方程有　 　的实数解;(2)当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有　 　个交点,对应的一元二次方程有两个　 　的实数解;(3)当b2-4ac<0时,抛物线与x轴　 　交点,对应的一元二次方程　 　实数解.
　　3.填表:
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y=a(x+h)2+k 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
y=ax2+bx+c 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
【合作探究】
专题一：二次函数的图象和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个代数式中,值为正数的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一平面直角坐标系中的图象大致是 ( )
A.　　B.　　C.　　D.
　　3.如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A(-2,4),B(8,2),则能使y1>y2成立的x的取值范围是　 　.
专题二：抛物线的平移
4.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A,B,且过点C(5,4).
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线对应的表达式.
方法归纳交流　抛物线的平移规律:　 　.
专题三：二次函数表达式的确定
5.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则此函数的表达式为 ( )
A.y=-x2+2x+3
B.y=x2-2x-3
C.y=-x2-2x+3
D.y=-x2-2x-3
6.已知二次函数的顶点为(1,-3),且经过点P(2,0),求这个函数的表达式.
专题四：二次函数与一元二次方程
7.已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1.
(1)求证:不论m为何值时,函数的图象与x轴总有交点,并指出当m为何值时,只有一个交点.
(2)当m为何值时,函数的图象经过原点
(3)在(2)的图象中,写出y<0时x的取值范围及y>0时x的取值范围.
专题五：抛物线中三角形的面积
8.如图,直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B,C两点,已知点B的坐标为(1,1).
(1)求直线和抛物线的表达式.
(2)如果D为抛物线上一点,使得△AOD与△OBC的面积相等,求点D的坐标.
专题六：反比例函数的图象和性质
9.在反比例函数y=的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而增大,则k的值可以是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.反比例函数y=(a是常数)的图象分布在 ( )
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
11.双曲线y=与y=在第一象限内的图象如图所示,作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A,B两点,连接OA,OB,则△AOB的面积为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案(如图),设小矩形的长和宽分别为x,y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,则y与x的函数图象是 ( )
A. B.
C. D.
专题七：二次函数与反比例函数的实际应用
13.实验数据显示如下:一般成人喝250克低度白酒后,1.5小时内(包括1.5小时)其血液中酒精含量y(单位:毫克/百毫升)与时间x(单位:时)的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x表示;1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y=(k>0)表示(如图).
(1)求k的值.
(2)根据我国酒驾处罚规定:血液中酒精含量达到20毫克/百毫升即认定为酒驾.假设某驾驶员晚上7:00在家喝完半斤低度白酒,试判断他能不能在第二天早上6:00驾车
14.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.
(1)现要保证每天盈利6 000元,同时又要让顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元
(2)如果该商场单纯从经济角度看,那么每千克应涨价多少元,能使商场获利最多
15.桥的部分横截面如图所示,上方可看成是一个经过A,C,B三点的抛物线,以桥面的水平线为x轴,经过抛物线的顶点C且与x轴垂直的直线为y轴,建立的平面直角坐标系.已知垂直于桥面的相邻两柱之间的距离为2米(图中用线段AD,CO,BE等表示桥柱),
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式.
(2)求柱子AD的高度.
方法归纳交流　列与实际问题有关的二次函数表达式,首先要认真理解题意,明确各量之间的关系,同时还要注意自变量的　 　.
参考答案
【预习导学】
核心梳理
1.一般式:y=ax2+bx+c.顶点式:y=a(x+h)2+k.交点式:y=a(x-x1)(x-x2).
2.(1)2　两个不相等　(2)1　相等　(3)无　无
3.a>0时,开口向上　a<0时,开口向下　x=-h　(-h,k)　最小值k　最大值k　a>0时,开口向上
a<0时,开口向下　x=-　-,　最小值　最大值
【合作探究】
1.B　2.C
3.x<-2或x>8
4.解:(1)把C(5,4)代入y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4,解得a=1,∴抛物线的表达式为y=x2-5x+4=x2-5x+-+4=x-2-,∴抛物线的顶点P的坐标为,-.
(2)答案不唯一,如:把抛物线y=x2-5x+4先向上平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,这时对应的抛物线的表达式为y=x+2+.
方法归纳交流　左加右减,上加下减
5.A
6.解:设所求函数的表达式为y=a(x-1)2-3.
∵图象经过点P(2,0),∴0=a(2-1)2-3,解得a=3,
∴所求函数的表达式为y=3(x-1)2-3,即y=3x2-6x.
7.解:(1)∵b2-4ac=[-(m+1)]2-4×2(m-1)=m2+2m+1-8m+8=m2-6m+9=(m-3)2.显然不论m为何值时,总有b2-4ac=(m-3)2≥0.故不论m为何值时,抛物线与x轴总有交点,且当m=3时,只有一个交点.
(2)∵函数的图象经过原点(0,0),∴0=2×02-(m+1)×0+m-1,∴m=1.即当m=1时,函数的图象经过原点.
(3)由(2)得y=2x2-2x.其图象如图所示.∵抛物线与x轴的两个交点分别为(0,0),(1,0),∴当y<0时,00时,x<0或x>1.
8.解:(1)设直线AB的表达式为y=kx+b,∵直线过点A(2,0),B(1,1),代入表达式求得k=-1,b=2,∴直线的表达式为y=-x+2.把B(1,1)代入y=ax2,求得a=1,∴抛物线的表达式为y=x2.
(2)由y=-x+2与y=x2,先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(-2,4),S△OBC=S△AOC-S△OAB=3.∵S△AOD=S△OBC且OA=2,∴点D的纵坐标为3.又∵D在抛物线y=x2上,∴x2=3,即x=±,∴D(-,3)或(,3).
9.D　10.C　11.A　12.A
13.解:(1)当x=1.5时,y=-200x2+400x=-200×2.25+400×1.5=150,
∴k=1.5×150=225.
(2)当y=20时,x=11.25小时,
∴他第二天早上6:00不能驾车.
14.解:(1)设每千克水果应涨价x元.依题意得方程(500-20x)(10+x)=6 000,整理,得x2-15x+50=0,解这个方程,得x1=5,x2=10.要使顾客得到实惠,应取x=5.答:每千克水果应涨价5元.
(2)设商场获利y元.y=(500-20x)(10+x)=-20·(x-7.5)2+6125,当x=7.5时,y最大.所以每千克涨价7.5元,能使商场获利最多.
15.解:(1)由题意可知点C的坐标为(0,1),点F的坐标为(-4,2),设抛物线的函数表达式为y=ax2+c.
∴解得
∴抛物线的函数表达式为y=x2+1.
(2)∵点A的横坐标为-10,
∴当x=-10时,y=7.25,
即柱子AD的高度为7.25 m.
方法归纳交流　取值范围

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