资源简介

1　平均数与方差(4)
第六章　数据的分析
1.通过对几组数据差异的分析，逐步抽象出刻画数据离散程度的三个量，求出相应的值并应用，提高学生的理解能力和抽象总结能力.
2.经历表示数据离散程度的几个量的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养学生的数学应用能力.
3.通过例子，让学生较为全面地理解方差及其在现实生活中的应用，提高学生的应用意识.让学生体会数据的离散程度在现实生活中的广泛应用，应视情况分析方差或标准差对于问题的影响.
学习目标
1.数据的离散程度：在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况.在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画.
新课讲授
探究：方差、标准差
2.离差平方和、方差、标准差：
(1)离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，
即S=(????1－????)2＋(????2－????)2＋…＋(????????－????)2.
(2)方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，
即s2＝1????[(x1－????)2＋(x2－????)2＋…＋(xn－????)2].
其中，????是x1，x2，…，xn的平均数.而标准差则是方差的
算术平方根.
?
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方差、平均数的内在联系：
样本数据
平均数
方差
x1，x2，…，xn
?x
s2
x1+a，x2+a，…，xn+a
?x+a
s2
kx1，kx2，…，kxn
k?x
k2s2
kx1+a，kx2+a，…，kxn+a
k?x+a
k2s2
新课讲授
3.方差、标准差的意义：一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定.反映在统计图中，一组数据的波动越小，这组数据的方差或标准差越小.
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1.求方差的步骤：第一步，先求原始数据的平均数；第二步，求原始数据中各数据与平均数的差；第三步，求所得各个差的平方；第四步，求所得各平方数的平均数，可概括为“一均，二差，三方，四均”.
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2.使用科学计算器可以方便地计算一组数据的标准差，大致步骤是：进入统计计算状态，输入数据，按键得出标准差.
3.标准差的单位与原数据的单位一致；方差的单位是原数据单位的平方，一般不加单位.
例1.计算下面这一组数据的方差：2022，2023，2024，2025，2026.
典例分析
解：方法一(公式法)：因为?x=15×(2022+2023+2024+2025+2026)
=2024，
所以s2=[15×(2022－2024)2+(2023－2024)2+(2024－2024)2
+(2025－2024)2+(2026－2024)2]=2.
?
解：方法二(新数据法)：选取一个适当的数a=2024，计算该组数据
与a的差可得一组新数据－2，－1，0，1，2.
因为?x′=15×(－2－1+0+1+2)=0，
所以s′2=15×[(－2－0)2+(－1－0)2+(0－0)2+(1－0)2+(2－0)2]=2，
所以原数据的方差为2.
?
例1.计算下面这一组数据的方差：2022，2023，2024，2025，2026.
典例分析
1.若样本x1，x2，…，xn的方差为2，则样本2x1+5，
2x2+5，…，2xn+5的方差是(??)
A.2 B.4 C.7 D.8
D
小牛试刀
2.一组数据6，4，a，3，2的平均数是5，则这组数据的标准差是(　　)
A.8 B.5 C.22 D.3
?
C
小牛试刀
例2.某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一名参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩(单位：环)如下表：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
甲
10
8
9
8
10
9
10
8
乙
10
7
10
10
9
8
8
10
典例分析
(1)根据表中的数据，计算出甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩
是______环.
9
9
(2)分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差.
解：s2甲＝18[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]
＝0.75，
s2乙＝18[(10－9)2＋(7－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2]
＝1.25.
?
例2.某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一名参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩(单位：环)如下表：
典例分析
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
甲
10
8
9
8
10
9
10
8
乙
10
7
10
10
9
8
8
10
(3)根据(1)(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由.
解：推荐甲参加全国比赛更合适.理由如下：甲、乙的平均成绩相等，
说明实力相当，但甲8次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥比乙稳定，故推荐甲参加全国比赛更合适.
例2.某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一名参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩(单位：环)如下表：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
甲
10
8
9
8
10
9
10
8
乙
10
7
10
10
9
8
8
10
典例分析
3.为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：cm)的平均数与方差为?x甲=?x丙=13 cm，?x乙=?x丁=15 cm，s2甲=s2丁=3.6，
s2乙=s2丙=6.3.则麦苗又高又整齐的是(??)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
D
小牛试刀
4.如图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2024年
5月27日至31日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别
为s2甲，s2乙，则s2甲_______s2乙(填“>”“=”“<”).
<
小牛试刀
1.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了
10棵，每棵产量的平均数(单位：千克)及方差S2，如表所示：
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，
应选的品种是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
B
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
甲
乙
丙
丁
?x
24
24
23
20
S2
2.1
1.9
2
1.9
学以致用
2.科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，从甲、乙、丙、丁
选个开花时间最短的并且最平稳的是(　　)
种类
甲种类
乙种类
丙种类
丁种类
平均数
2.3
2.3
2.8
3.1
方差
1.05
0.78
1.05
0.78
B
A.甲种类　　　 B.乙种类　　　　　　　C.丙种类　　　D.丁种类
学以致用
3.为了稳定市场，确保农民增收，某农产品3月以后的每月
市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与
前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是
该农产品今年前七个月的市场收购价格(不完整)，则前七
个月该农产品的市场收购价格的方差为(　　)
月份
1
2
3
4
5
6
7
价格/(元/担)
68
78
67
71
72
70
B
A.757　　　　B.767　　　　C.11　　　　　　D.787
?
学以致用
课堂小结
方差、标准差
在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况.在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画.
一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定.
应用
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