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5.1常量与变量培优训练浙教版2025—2026学年八年级上册
一、选择题
1．球的体积是V，球的半径为R，则，在这个公式中，变量是（　　）
A．V，π，R B．π和R C．V和R D．V和π
2．在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积Sah，当a为定长时，在此式中（　　）
A．S，h是变量，，a是常量
B．S，h，a是变量，是常量
C．S，h是变量，，S是常量
D．S是变量，，a，h是常量
3．徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中某一时刻的数据显示，则其中的常量是（　　）
A．金额 B．数量
C．金额和单价 D．单价
4．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过120km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表：
刹车时的速度（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
下列说法中，错误的是（　　）
A．自变量是刹车时的速度
B．刹车时的速度每小时增加10km，刹车距离就增加2.5m
C．当刹车距离为15m时，刹车时的速度为70km/h
D．当刹车时的速度为80km/h时，与其前方距离25m的车辆不会追尾
5．如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至AC′位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（　　）
A．∠BAC的度数 B．BC的长度
C．△ABC的面积 D．AC的长度
二、填空题
6．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为2，则最后输出因变量y的值为 　 　 ．
7．对于关系式y＝3x﹣5，下列说法：
①x是自变量，y是因变量；
②x的数值可以任意选择；
③y是变量，它的值与x无关；
④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；
⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是 　 　 ．
8．根据科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间H（时）可用公式（N是人的年龄）．请你用这个公式计算，13岁的小明每天需要睡眠时间 　 　 （时）．
9．声音在空气中传播的速度（声速）y（m/s）与温度x（℃）之间的关系如下：
温度/℃ 0 5 10 15 20
声速/（m/s） 331 334 337 340 343
在温度为20℃的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.1s后，听到了枪声，则他距离发令枪 　 　 m．
10．自变量x与因变量y的关系如图，当x每增加1时，y增加 　 　 ．
三、解答题
11．如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AB＝10cm，当点C，D在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量是 　 　 ，因变量是 　 　 ；
（2）如果长方形的长BC为x（cm），那请用含x的式子表示长方形ABCD的面积y（cm2）；
（3）当长方形的长BC从15cm变到20cm时，长方形的面积怎么变化？
12．在带领村民脱贫致富的过程中，某村委决定投资开发项目，现有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如表：
所需资金（亿元） 1 2 4 6 7 8
预计利润（千万元） 0.2 0.35 0.55 0.7 0.9 1
（1）如果预计要获得0.9千万元的利润，你可以怎样投资项目？
（2）如果该村可以拿出10亿元进行多个项目的投资，预计最大年利润是多少？说明理由．
13．一汽车油箱里有油40L，在行驶过程中，每小时耗油2.5L，回答下列问题：
（1）汽车行驶1h后油箱里还有油 　 　 L，汽车行驶6h后油箱里还有油 　 　 L；
（2）这一变化过程中共有 　 　 个变量，其中 　 　 是变量，　 　 是常量；
（3）设汽车行驶的时间为x h，油箱里剩下的油为Q L，请用含x的式子表示Q；
（4）这辆汽车最多能行驶多少小时？
14．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表：
刹车时车速v（km/h） 0 10 20 30 40 50
刹车距离s（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5
请回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 　 　 ，因变量是 　 　 ；
（2）当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是 　 　 m；
（3）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h．）
15．商场为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为460元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如表：
降价的钱数/元 5 10 15 20 25 30
日销量/件 122 124 126 128 130 132
（1）表中的自变量和因变量分别是什么？
（2）当降价15元时，日销售量是多少件？当降价25元时，日销售量是多少件？
（3）从表中可以看出每降价5元，日销量增加多少件？请你估计降价之前的日销量为多少件？
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：∵π是常亮，
∴球的体积V随球的半径R的变化而变化，
∴V和R是变量，
故选：C．
2．【解答】解：由题意知，a为定长，可视为常量，
那么关系式Sah中，S、h是变量，、a是常量．
故选：A．
3．【解答】解：单价是常量．
故选：D．
4．【解答】解：A．刹车距离随着刹车时的速度的变化而变化，所以刹车时的速度是自变量，刹车距离是因变量，因此选项A不符合题意；
B．由表格中刹车距离与刹车时的速度对应值的变化规律可知，刹车时的速度每小时增加10km，刹车距离就增加2.5m，因此选项B不符合题意；
C．表格中刹车距离与刹车时的速度对应值的变化规律可知，当刹车距离为15m时，刹车时的速度为60km/h，因此选项C符合题意；
D．当刹车时的速度为80km/h时，刹车距离为2.5×8＝20，而20＜25，所以与其前方距离25m的车辆不会追尾，因此选项D不符合题意．
故选：C．
5．【解答】解：木条AC绕点A自由转动至AC′过程中，AC的长度始终不变，
故AC的长度是常量；
而∠BAC的度数、BC的长度、△ABC的面积一直在变化，均是变量．
故选：D．
二、填空题
6．【解答】解：由题意可得，当x＝2时，y＝x（x+1）＝2×（2+1）＝6＞5，
∴输出y＝6，
故答案为：6．
7．【解答】解：①x是自变量，y是因变量；故正确；
②x的数值可以任意选择；故正确；
③y是变量，它的值与x有关；y随x的变化而变化，故错误；
④用关系式表示的可以用图象表示，故错误；
⑤y与x的关系还可以用图象表示，故正确．
故答案为：①②⑤．
8．【解答】解：当N＝13时，
故答案为：9.7．
9．【解答】解：20℃时，音速为343米/秒，
∴343×0.1＝34.3（米），
∴这个人距离发令点34.3米．
故答案为：34.3．
10．【解答】解：已知y＝3x+10，当x每增加1时，即设x′＝x+1，
∴对应的y′＝3（x+1）+10＝3x+13，
∴y′﹣y＝3x+13﹣（3x+10）＝3，
∴当x每增加1时，y增加3，
故答案为：3．
三、解答题
11．【解答】解：（1）在这个变化过程中，ABCD的面积随BC（AD）的长度变化而变化，
∴在这个变化过程中，自变量为BC（AD）的长，因变量为长方形ABCD的面积，
故答案为：BC（AD），长方形ABCD的面积；
（2）长方形的面积＝AB×BC，即y＝10x；
（3）当BC＝15cm时，y＝10x＝10×15＝150（cm2），
当BC＝20cm时，y＝10x＝10×20＝200（cm2），
所以当长BC从15cm变到20cm时，长方形的面积从150cm2变到200cm2．
12．【解答】解：（1）可以投资一个7亿元的项目，
也可以投资一个2亿元，再投资一个4亿元的项目，
还可以投资一个1亿元，再投资一个6亿元的项目，
答：可以投资一个7亿元的项目；也可以投资一个2亿元，再投资一个4亿元的项目；还可以投资一个1亿元，再投资一个6亿元的项目；
（2）共三种方案：①1亿元，2亿元，7亿元，利润是1.45亿元，
②2亿元，8亿元，利润是1.35亿元，
③4亿元，6亿元，利润是1.25亿元，
∴最大利润是1.45亿元．
13．【解答】解：（1）40﹣2.5＝37.5（L），
40﹣2.5×6＝25（L），
故答案为：37.5；25．
（2）这一变化过程中共有2个变量，
其中邮箱里剩下的油量和行驶的时间是变量，
每小时耗油的油量是常量，
故答案为：2；邮箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量．
（3）Q＝40﹣2.5x．
（4）40﹣2.5x＝0，
解得x＝16．
答：这辆汽车最多能行驶16小时．
14．【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离．
故答案为：刹车时车速，刹车距离．
（2）由表格可知，刹车时车速增加10km/h，刹车距离增加2.5m，
12.5+2.5＝15（m），
∴当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是15．
故答案为：15．
（3）∵刹车时车速增加10km/h，刹车距离增加2.5m，
∴刹车距离s是刹车时车速v的一次函数．
设s＝kv+b（k、b为常数，且k≠0）．
将v＝0，s＝0和v＝10，s＝2.5分别代入s＝kv+b，
得，
解得，
∴s＝0.25v（0≤v≤140）．
当s＝32时，得0.25v＝32，解得v＝128，
128＞120，
∴刹车时车速是128km/h，事故发生时，汽车是超速行驶．
15．【解答】解：（1）表格中的自变量是降价的钱数，因变量是日销售量；
（2）当降价15元时，日销售量是126件，当降价25元时，日销售量是130件；
（3）从表中可以看出每降价5元，日销量增加2件，
当降价的钱数为0元时，日销量为122﹣2＝120件．
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